人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)課件第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)資料

初中數(shù)學(xué)教學(xué)同步課件前言——讀的方法同學(xué)們往往不善于讀數(shù)學(xué)書(shū),在讀的過(guò)程中,易沿用死記硬背的方法。那么如何有效地讀數(shù)學(xué)書(shū)呢?平時(shí)應(yīng)做到:一是粗讀。先粗略瀏覽教材的枝干,并能粗略掌握本章節(jié)知識(shí)的概貌,重、難點(diǎn)；二是細(xì)讀。對(duì)重要的概念、性質(zhì)、判定、公式、法則、思想方法等反復(fù)閱讀、體會(huì)、思考,領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)及其因果關(guān)系,并在不理解的地方作上記號(hào)(以便求教)；三是研讀。要研究知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,研討書(shū)本知識(shí)安排意圖,并對(duì)知識(shí)進(jìn)行分析、歸納、總結(jié),以形成知識(shí)體系,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。讀書(shū),先求讀懂,再求讀透,使得自學(xué)能力和實(shí)際應(yīng)用能力得到很好的訓(xùn)練?！奥?tīng)”是直接用感官去接受知識(shí),而初中同學(xué)往往對(duì)課程增多、課堂學(xué)習(xí)量加大不適應(yīng),顧此失彼,精力分散,使聽(tīng)課效果下降。因此應(yīng)在聽(tīng)課程時(shí)注意做到:(1)聽(tīng)每節(jié)課的學(xué)習(xí)要求；(2)聽(tīng)知識(shí)的引入和形成過(guò)程；(3)聽(tīng)懂教學(xué)中的重、難點(diǎn)(尤其是預(yù)習(xí)中不理解的或有疑問(wèn)的知識(shí)點(diǎn))；(4)聽(tīng)例題關(guān)鍵部分的提示及應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法；(5)做好課后小結(jié)。前言——聽(tīng)的方法“思”指同學(xué)的思維。數(shù)學(xué)是思維的體操,學(xué)習(xí)離不開(kāi)思維,數(shù)學(xué)更離不開(kāi)思維活動(dòng),善于思考則學(xué)得活,效率高；不善于思考則學(xué)得死,效果差。可見(jiàn),科學(xué)的思維方法是掌握好知識(shí)的前提。七年級(jí)學(xué)生的思維往往還停留在小學(xué)的思維中,思維狹窄。因此在學(xué)習(xí)中要做到:(1)敢于思考、勤于思考、隨讀隨思、隨聽(tīng)隨思。在看書(shū)、聽(tīng)講、練習(xí)時(shí)要多思考；(2)善于思考。會(huì)抓住問(wèn)題的關(guān)鍵、知識(shí)的重點(diǎn)進(jìn)行思考；(3)反思。要善于從回顧解題策略、方法的優(yōu)劣進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)。前言——思考的方法孔子曰:“敏而好學(xué),不恥不問(wèn)?！睈?ài)因斯坦說(shuō)過(guò):“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要。”問(wèn)能解惑,問(wèn)能知新,任何學(xué)科的學(xué)習(xí)無(wú)不是從問(wèn)題開(kāi)始的。因此,同學(xué)在平時(shí)學(xué)習(xí)中應(yīng)掌握問(wèn)問(wèn)題的一些方法,主要有:(1)追問(wèn)法。即在某個(gè)問(wèn)題得到回答后,順其思路對(duì)問(wèn)題緊追不舍,刨根到底繼續(xù)發(fā)問(wèn);(2)反問(wèn)法。根據(jù)教材和教師所講的內(nèi)容,從相反的方向把問(wèn)題提出來(lái);(3)類(lèi)比提問(wèn)法。據(jù)某些相似的概念、定理、性質(zhì)等的相互關(guān)系,通過(guò)比較和類(lèi)推提出問(wèn)題;(4)聯(lián)系實(shí)際提問(wèn)法。結(jié)合某些知識(shí)點(diǎn),通過(guò)對(duì)實(shí)際生活中一些現(xiàn)象的觀察和分析提出問(wèn)題。此外,在提問(wèn)時(shí)不僅要問(wèn)其然,還要問(wèn)其所以然。前言——問(wèn)的方法很大一部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)沒(méi)有筆記可記,有記筆記的學(xué)生也是記得不夠合理。通常是教師在黑板上所寫(xiě)的都記下來(lái),用“記”代替“聽(tīng)”和“思”。有的筆記雖然記得很全,但收效甚微。因此,學(xué)生作筆記時(shí)應(yīng)做到以下幾點(diǎn):(1)在“聽(tīng)”,“思”中有選擇地記錄；(2)記學(xué)習(xí)內(nèi)容的要點(diǎn),記自己有疑問(wèn)的疑點(diǎn),記書(shū)中沒(méi)有的知識(shí)及教師補(bǔ)充的知識(shí)點(diǎn)；(3)記解題思路、思想方法；(4)記課堂小結(jié)。明確筆記是為補(bǔ)充“聽(tīng)”“思”的不足,是為最后復(fù)習(xí)準(zhǔn)備的,好的筆記能使復(fù)習(xí)達(dá)到事倍功半的效果。正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)的學(xué)習(xí)方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的兩大基石。這兩大基石的形成又離不開(kāi)平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐。所以暑期期間每天給自己一些時(shí)間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是很有必要的。前言——記筆記的方法21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)1.一元二次方程的求根公式是什么？【想一想】方程的兩根x1和x2與系數(shù)a、b、c還有其他關(guān)系嗎？2.如何用判別式b2-4ac來(lái)判斷一元二次方程根的情況？對(duì)一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.b2-4ac<0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.導(dǎo)入新知素養(yǎng)目標(biāo)1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.3.讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的科學(xué)探究過(guò)程.填表，觀察、猜想

方程

x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0【思考】你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語(yǔ)言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

x2+px+q=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

根與系數(shù)的關(guān)系探究新知知識(shí)點(diǎn)11,1212,-5-3-10-1,-4-54（1）若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎？(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探究新知【猜一猜】如果關(guān)于x的方程的兩根是x1

,x2

,則:如果方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q探究新知方程x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

2x2-3x-2=03x2-4x+1=0問(wèn)題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？請(qǐng)完善規(guī)律.①用語(yǔ)言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

ax2+bx+c=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.探究新知

-1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=（韋達(dá)定理）【注意】能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0常數(shù)項(xiàng)探究新知一次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)注意系數(shù)符號(hào)。學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)用求根公式證明.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用例1

利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.

（1）x2+7x+6=0;解：這里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.素養(yǎng)考點(diǎn)1探究新知（2）2x2-3x-2=0.解：這里

a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,

∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是

x1,x2,那么

x1+x2=,x1x2=-1.探究新知不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：

①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化為：二次項(xiàng)不是1，可以先把它化為11.鞏固練習(xí)例2

已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值.解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2，其中x1=2

.

所以：x1·x2=2x2=

即：x2=

由于x1+x2=2+=

得：k=－7.答：方程的另一個(gè)根是

，k=－7.利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或取值范圍素養(yǎng)考點(diǎn)2探究新知想一想，還有沒(méi)有別的做法？2.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值.解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數(shù)關(guān)系，得x1●2＝3k

即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一個(gè)根是－3,k的值是－2.鞏固練習(xí)例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

利用根與系數(shù)的關(guān)系求兩根的平方和、倒數(shù)和素養(yǎng)考點(diǎn)3探究新知（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)

,

(4)

.411214鞏固練習(xí)3.設(shè)x1,x2為方程x2-4x+1=0的兩個(gè)根，則:

例4

設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0

即-8k+4≥0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,

解得

k1=0,k2=4.經(jīng)檢驗(yàn)，k2=4不合題意，舍去.根與系數(shù)關(guān)系的綜合題目素養(yǎng)考點(diǎn)4探究新知

歸納總結(jié)探究新知

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3當(dāng)k=9或-3時(shí)，由于△＞0，∴k的值為9或-3.∴（）2-4×

=1鞏固練習(xí)4.當(dāng)k為何值時(shí)，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1.

一元二次方程x2﹣2x=0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為（

）

A．﹣2

B．1

C．2

D．0鞏固練習(xí)連接中考D1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一個(gè)根，則另一個(gè)根是___，m=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為-2和1，則：p=

,q=

.1-2-3課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題3.已知方程3x2-19x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值.解：將x=1代入方程中：3

-19+m=0.

解得

m=16,設(shè)另一個(gè)根為x1,則：

1×x1=∴x1=課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個(gè)根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系

所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=

解得：k=-7；

（2）因?yàn)閗=-7,所以

則：課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題設(shè)x1,x2是方程3x2+4x–3=0的兩個(gè)根.利用根系數(shù)之間的關(guān)系,求下列各式的值.

(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:根據(jù)根與系數(shù)的