節(jié)點(diǎn)變量法的優(yōu)化設(shè)計(jì)

精品文檔-下載后可編輯節(jié)點(diǎn)變量法的優(yōu)化設(shè)計(jì)1拓?fù)鋬?yōu)化模型的建立

1.1節(jié)點(diǎn)變量法目前，對(duì)于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，通常采用單元密度為設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)域內(nèi)的任一點(diǎn)的位移和密度采用Q4/U插值方法，如圖1(a)所示。單元內(nèi)任一點(diǎn)的密度均勻相等，通過節(jié)點(diǎn)的位移進(jìn)行雙線性插值計(jì)算得到單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移eu式中iu—單元節(jié)點(diǎn)位移iN—單元形函數(shù)m—單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)e—單元內(nèi)任一點(diǎn)的密度—單元密度這種插值方法只能保證位移場(chǎng)具有0C連續(xù)性，然而密度場(chǎng)只具有1C連續(xù)性，光滑性差，導(dǎo)致拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中出現(xiàn)棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定性[10]現(xiàn)象。以節(jié)點(diǎn)密度為設(shè)計(jì)變量，單元內(nèi)的位移和密度采用Q4/Q4單元插值方法，如圖1(b)所示，單元內(nèi)部每一點(diǎn)的密度不再是均勻相等，而是任意一點(diǎn)的位移和密度通過單元節(jié)點(diǎn)的位移和密度進(jìn)行雙線性插值求得[11,12]節(jié)點(diǎn)密度法保證了位移場(chǎng)與密度場(chǎng)都具有0C連續(xù)性，可以避免拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中的數(shù)值不穩(wěn)定性現(xiàn)象[13]；但是這種方法不能實(shí)現(xiàn)最小尺寸約束。節(jié)點(diǎn)變量法采用映射函數(shù)表示節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)變量與節(jié)點(diǎn)密度變量關(guān)系，來滿足拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的最小尺寸約束，獲得優(yōu)化結(jié)構(gòu)便于制造加工。映射函數(shù)采用類似于文獻(xiàn)[14,15]提出的方法，利用最大函數(shù)表示為max()iijjd(3)式中jd—第j節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)變量i—第i節(jié)點(diǎn)的子區(qū)域第節(jié)點(diǎn)的子區(qū)域是指以第節(jié)點(diǎn)為圓心，以設(shè)定最小半徑minr為半徑的區(qū)域，如圖2(a)所示。子區(qū)域內(nèi)的任一節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的距離滿足關(guān)系ijminirrrrj(4)式中r—i節(jié)點(diǎn)與j節(jié)點(diǎn)之間的距離ir—節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)的距離jr—節(jié)點(diǎn)與j節(jié)點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)的距離設(shè)定最小半徑minr為指定的約束最小尺寸的一半，它決定了最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的最小尺寸大小。表示在子域任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖2(b）所示。1.2拓?fù)鋬?yōu)化模型以應(yīng)變能力最小化為目標(biāo)函數(shù)來滿足連續(xù)體結(jié)構(gòu)的剛度最大化，以體積為約束，采用映射函數(shù)表示設(shè)計(jì)變量與單元節(jié)點(diǎn)的密度關(guān)系來達(dá)到最小尺寸約束目的。1.3靈敏度分析移動(dòng)漸近法(Methodofmovingasymptotes,MMA)采用顯式的線性凸函數(shù)來近似隱式的目標(biāo)和約束函數(shù)，構(gòu)造移動(dòng)近似子問題來得到一個(gè)原問題的近似解。MMA法對(duì)于各種結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題都具有很好的魯棒性[16]。MMA法是基于梯度的優(yōu)化方法，目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)的靈敏度分析是必要的。

2數(shù)值算例

以懸臂梁結(jié)構(gòu)為例采用節(jié)點(diǎn)變量法進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。懸臂梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域尺寸如圖3所示。懸臂梁結(jié)構(gòu)的長度L與寬度H之比為8:5，載荷作用在結(jié)構(gòu)右邊中點(diǎn)，載荷大小F=1N，左邊固定，材料的彈性模量E為100GPa，泊松比為0.3，體積比為0.4。為了對(duì)比說明，采用單元變密度法、過濾處理的單元變密度法和本文提出的節(jié)點(diǎn)密度法進(jìn)行懸臂結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)域離散為8050個(gè)4節(jié)點(diǎn)矩陣單元，最小半徑minr為2.5。采用不同方法獲得的懸臂梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖4所示。圖4(a)是直接采用單元變密度法獲得的拓?fù)鋱D，可以看到優(yōu)化結(jié)果存在棋盤格現(xiàn)象；圖4(b)是采用過濾處理的單元變密度法獲得的拓?fù)鋱D，過濾處理能夠消除棋盤格，但是結(jié)構(gòu)邊界容易出現(xiàn)中間密度單元；圖4(c)是采用節(jié)點(diǎn)變量法得到的拓?fù)鋱D,拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果清晰地顯現(xiàn)了設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)的黑白邊界,消除了棋盤格現(xiàn)象。這說明節(jié)點(diǎn)變量法能夠消除棋盤格現(xiàn)象，并且可以獲得清晰邊界結(jié)構(gòu)。對(duì)設(shè)計(jì)域進(jìn)行8050、160100及240150網(wǎng)格劃分，采用提出的方法進(jìn)行懸臂梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖5所示。由圖5可知，在不同網(wǎng)格劃分情況下，除了網(wǎng)格數(shù)越多邊界越光滑外，得到的拓?fù)鋱D是一致的，不存在網(wǎng)格依賴性。網(wǎng)格劃分為8050，采用最小半徑分別為1.5、2.5情況下，進(jìn)行懸臂梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，拓?fù)浣Y(jié)果如圖6所示。映射函數(shù)通過最小半徑來控制拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的最小尺寸，允許的最小尺寸是由兩倍最小半徑?jīng)Q定的。由圖6可知，與最小半徑為1.5相比，最小半徑為2.5時(shí)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果出現(xiàn)較大的尺寸結(jié)構(gòu)。這說明通過設(shè)定的最小半徑來控制優(yōu)化結(jié)果中的最小尺寸約束可行，并且設(shè)定的最小半徑越大，拓?fù)鋱D出現(xiàn)越大尺寸的結(jié)構(gòu)，便于加工制造。

3結(jié)論

(1)采用節(jié)點(diǎn)變量法進(jìn)行連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法是可行的，能夠得到清晰材料分布的拓?fù)鋱D。(2)采用節(jié)點(diǎn)變量法進(jìn)行連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果能夠避免棋盤格、網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定