新人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一《1.4.1用空間向量研究直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系（第3課時(shí)）》教案

1.4.1用空間向量研究直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系（第三課時(shí)）(人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章)教學(xué)目標(biāo)1..能用向量語(yǔ)言表述直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線(xiàn)、平面垂直關(guān)系的判定定理.3.能用向量方法證明空間中直線(xiàn)、平面的垂直關(guān)系.二、教學(xué)重難點(diǎn)1.用向量語(yǔ)言表述直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直關(guān)系2.用向量方法證明空間中直線(xiàn)、平面的垂直關(guān)系三、教學(xué)過(guò)程1.創(chuàng)設(shè)情境，從圖形中探究新知問(wèn)題1：類(lèi)似空間中直線(xiàn)、平面平行的向量表示，在直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？觀(guān)察下圖回答?！绢A(yù)設(shè)的答案】位置關(guān)系向量表示線(xiàn)線(xiàn)垂直設(shè)直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別為u1,u2,則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2=0線(xiàn)面垂直設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則l⊥α?u∥n??λ∈R,使得u=λn面面垂直設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比直線(xiàn)、平面平行的向量表示，提出運(yùn)用向量解空間中的垂直問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行問(wèn)題的解法方法，類(lèi)比學(xué)習(xí)用空間向量解決空間中的垂直問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)空間幾何問(wèn)題代數(shù)化的基本思想.熱身活動(dòng)1.判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)若兩條直線(xiàn)的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線(xiàn)一定垂直相交.()(2)若一直線(xiàn)與平面垂直,則該直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的所有直線(xiàn)的方向向量的數(shù)量積為0.()(3)兩個(gè)平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線(xiàn)的方向向量與另一平面內(nèi)的直線(xiàn)的方向向量垂直.()(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.()【預(yù)設(shè)的答案】(1)×(2)√(3)×(4)√【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步將空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量語(yǔ)言。2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=()A.2 B.-5 C.4 D.-2【預(yù)設(shè)的答案】B因?yàn)棣痢挺?所以?xún)善矫娴姆ㄏ蛄看怪?，所?2-8-2k=0,解得k=-5.【設(shè)計(jì)意圖】由基本問(wèn)題出發(fā)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)面面垂直則法向量互相垂直，從而法向量數(shù)量積為0.培養(yǎng)學(xué)生將空間中的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的代數(shù)運(yùn)算的思維意識(shí)。2.線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面垂直，面面垂直的空間向量法初步應(yīng)用【活動(dòng)預(yù)設(shè)】【預(yù)設(shè)的答案】【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會(huì)“基底法”比“坐標(biāo)法”更具有一般性。即不易建立空間直角坐標(biāo)系的時(shí)候，也能用基底法證明線(xiàn)面垂直。【預(yù)設(shè)的答案】【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會(huì)利用法向量證明平面與平面垂直的一般思路。教學(xué)時(shí)要突出直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量的作用，即通過(guò)直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，把直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的關(guān)系完全轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量之間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算，得到空間圖形的位置關(guān)系。例3.如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.【活動(dòng)預(yù)設(shè)】學(xué)生可能傾向于建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法直接計(jì)算eq\o(AB1,\s\up6(→))與兩個(gè)不共線(xiàn)向量eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))的數(shù)量積為0，從而得到線(xiàn)面垂直。【預(yù)設(shè)的答案】（方法一）..以它們?yōu)榭臻g的一個(gè)基底。（方法二） （方法三）：【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)多種證明方法讓學(xué)生體會(huì)利用空間向量證明線(xiàn)面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線(xiàn)所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線(xiàn)所在向量與兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.在舊版教材中，“基底法”涉及的很少。事實(shí)上，基底法更具一般性，也就是在不易建立空間直角坐標(biāo)系的時(shí)候，采用基底法證明垂直問(wèn)題是非常有效的方法。借此發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。(2)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線(xiàn)方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說(shuō)明直線(xiàn)方向向量與平面法向量共線(xiàn),從而證得結(jié)論.(3)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線(xiàn)方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線(xiàn)的方向向量與兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(4)通過(guò)典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。3.歸納小結(jié)，方法總結(jié)問(wèn)題2.本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？【預(yù)設(shè)的答案】線(xiàn)面的位置關(guān)系向量的位置關(guān)系向量的運(yùn)算向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.利用空間向量法證明線(xiàn)面垂直的方法有兩種：①利用判定定理，即通過(guò)證明向量數(shù)量積為0來(lái)驗(yàn)證直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)的方向向量垂直；②求出平面的法向量，驗(yàn)證直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量平行3.利用空間向量法證明面面垂直有兩種方法：①證明其中一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，即轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直；②證明兩平面的法向量垂直【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生對(duì)空間向量法解決立體幾何中的垂直問(wèn)題的方法系統(tǒng)化，提高學(xué)生的概括能力。從而解決問(wèn)題的思路更加清晰。體會(huì)立體幾何問(wèn)題代數(shù)化的優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力。也為后面空間向量法求距離，角度做鋪墊。四、課外作業(yè)1.若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個(gè)平面的法向量的是()A.n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1)B.n1＝(1，1，2)，n2＝(－2，1，1)C.n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1)D.n1＝(1，2，1)，n2＝(0，－2，－2)答案A解析∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，∴n1·n2＝0，故選A.2.已知直線(xiàn)l1的方向向量a＝(2，4，x)，直線(xiàn)l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值是()A.－3或1 B.3或－1C.－3 D.1答案A解析∵|a|＝eq\r(22＋42＋x2)＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－eq\f(1,2)x，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y＝－3，當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝1，∴x＋y＝1或－3.3．已知平面α的法向量為n＝(2，－2,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，則直線(xiàn)AB與平面α的位置關(guān)系為()A．AB⊥αB．AB?αC．AB與α相交但不垂直D．AB∥α答案A解析平面α的法向量為n＝(2，－2,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)，∴n＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴n∥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥α，即直線(xiàn)AB與平面α垂直．故選A．4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),則()A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不對(duì)答案:B解析:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面5.若直線(xiàn)l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),則直線(xiàn)l與β的位置關(guān)系是.

答案:l⊥β解析:因?yàn)閍∥b,所以l⊥β.6.已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，點(diǎn)P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_(－1,0,2)__．[解析]由題意得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x,1，－z)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,0,1)，由eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝x－1＋z＝0，由eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2x－z＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,z＝2.))故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1,0,2)．7.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點(diǎn),求證:平面BEF⊥平面ABC.證明:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,取A(0,0,a),則易得B(0,0,0),C32a,32a,0,D(0,3a,0),E34a,34a,a2,F0∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∴CD=-32設(shè)平面BEF的法向量n=(x,y,z),∴n·EF=0,即(x,y,z)·-34a,3由n·BF=0,即(x,y,z)·0,3有32ay+a2z=0,∴z=-取y=1,得n=