《高斯求和》課件

《高斯求和》ppt課件1大家好，你們猜猜這是誰？這是德國著名的數(shù)學(xué)家高斯！他非常非常的厲害，接下來我們來聽聽他的故事。大家好，你們猜猜這是誰？這是德國著名的數(shù)學(xué)家高斯21+2+3+4+5+······+96+97+98+99+100哇唔！！這要算好久好久啊??！小朋友們，你們有沒有什么好方法？1+2+3+4+5+······+96+97+98+9931+2+3+4+5······+96+97+98+99+100100+99+98+97+96+······+5+4+3+2+1=101+101+101+101+······+101+101+101+101100個(gè)101=101×100=101001+2+3+4+5······+96+97+98+99+100=10100÷2=5050我們來看看高斯是怎么來做的。1+2+3+4+5······+96+97+98+99+4高斯求和高斯求和5【例1】認(rèn)識等差數(shù)列（1）2、4、6、8、10、12、14、16（2）101、98、95、92、89、86、83（3）6、6、6、6、6、6、6、6、6這三個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列，相鄰兩數(shù)的差都相等。其中第一個(gè)叫首項(xiàng)；最后一項(xiàng)叫末項(xiàng)，因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)數(shù)的差相等，所以這個(gè)差叫公差。2101616836公差:2公差:3公差:0那什么是項(xiàng)數(shù)呢？數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)是項(xiàng)數(shù)。（4）1、2、4、7、11、15、21、28（5）1、2、1、2、1、2、1、2、1【例1】認(rèn)識等差數(shù)列（1）2、4、6、8、10、12、14、6題組一相鄰兩數(shù)的差都相等的數(shù)列叫（），其中第一個(gè)叫（）；最后一個(gè)叫（）；數(shù)列中的個(gè)數(shù)是（），因?yàn)橄噜弮蓴?shù)的差都相等，所以叫（）。2.下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是（）。A.7、8、7、8、7、8、7、8、7B.0、5、10、15、20、25、30、35C.50、48、46、44、42、40、38、36、34、32等差數(shù)列首項(xiàng)末項(xiàng)項(xiàng)數(shù)公差A(yù)題組一相鄰兩數(shù)的差都相等的數(shù)列叫（71+2+3+4+5······+96+97+98+99+100100+99+98+97+96+······+5+4+3+2+1=101+101+101+101+······+101+101+101+101100個(gè)101=101×100=101001+2+3+4+5······+96+97+98+99+100=10100÷2=50501+2+3+4+5······+96+97+98+99+81+2+3+4+5······+96+97+98+99+100=（1+100）×100÷2=101×100÷2=101×50=5050和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷21+2+3+4+5······+96+97+98+99+9等差數(shù)列的和的大??？和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的和跟首項(xiàng)，末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)有關(guān)。等差數(shù)列的和的大?。亢?（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的10【例2】求和：1+2+3+4+······+19+20和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=（1+20）×20÷2=21×20÷2=21×10=210【例2】求和：1+2+3+4+······+19+20和11題組二（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=（1+19）×10÷2=20×10÷2=20×5=100（2）2+4+6+8+10+12+14+16+18=（2+18）×9÷2=20×9÷2=9×10=90題組二（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17+1912題組二（3）2+9+16+23+30+37+44+51+58=（2+58）×9÷2=60×9÷2=30×9=270（4）25+21+17+13+9+5+1=（25+1）×7÷2=26×7÷2=13×7=91題組二（3）2+9+16+23+30+37+44+51+5813題組二（5）90+85+80+75+70+65+60+55+50+45+40=（90+40）×11÷2=130×11÷2=65×11=715題組二（5）90+85+80+75+70+65+60+55+14【例3】計(jì)算4+7+10+13+······+28+31+34+37第二項(xiàng)：4和7之間有個(gè)間隔，相差第三項(xiàng)：4和10之間有個(gè)間隔，相差1323×2第四項(xiàng)：4和13之間有個(gè)間隔，相差第五項(xiàng)：4和16之間有個(gè)間隔，相差33×343×4··············末項(xiàng)：4和37之間有個(gè)間隔，相差？？（7-4）（10-4）（13-4）（16-4）（37-4）3×1111間隔數(shù)與項(xiàng)數(shù)有什么關(guān)系呢？項(xiàng)數(shù)＝相隔數(shù)＋1項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1【例3】計(jì)算4+7+10+13+······+28+15【例3】計(jì)算4+7+10+13+······+28+31+34+37項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1項(xiàng)數(shù)＝（37－4）÷（7－4）＋1＝33÷3＋1＝11＋1＝12和＝（37＋4）×12÷2＝41×12÷2＝41×6＝246【例3】計(jì)算4+7+10+13+······+28+16比一比看誰記得快和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2項(xiàng)數(shù)=

（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1比一比看誰記得快和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2項(xiàng)數(shù)=（末17題組三（1）10+11+12+13+······+49+50項(xiàng)數(shù)=（50－10）÷（11－10）＋1=40÷1＋1=40＋1=41和=（10+50）×41÷2=60×41÷2=30×41=1230項(xiàng)數(shù)=

（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1題組三（1）10+11+12+13+······+49+5018題組三（2）1+3+5+7+9+······+97+99項(xiàng)數(shù)=（99－1）÷（3－1）＋1=98÷2＋1=49＋1=50和=（1+99）×50÷2=100×50÷2=100×25=2500題組三（2）1+3+5+7+9+······+97+99項(xiàng)數(shù)19題組三（3）6+10+14+18+······+94+98項(xiàng)數(shù)=（98－6）÷（10－6）＋1=92÷4＋1=23＋1=24和=（6+98）×24÷2=104×24÷2=104×12=1248題組三（3）6+10+14+18+······+94+98項(xiàng)20題組三（4）28+25+22+19+······+4+1項(xiàng)數(shù)=（28－1）÷（28－25）＋1=27÷3＋1=9＋1=10和=（28+1）×10÷2=29×10÷2=29×5=145題組三（4）28+25+22+19+······+4+1項(xiàng)數(shù)21題組三（5）97+92+87+82+······+12項(xiàng)數(shù)=（97－12）÷（97－92）＋1=85÷5＋1=17＋1=18和=（12+97）×18÷2=109×18÷2=109×9=981題組三（5）97+92+87+82+······+12項(xiàng)數(shù)22題組三（6）在14和30之間插進(jìn)三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列。這三個(gè)數(shù)分別是多少？（首項(xiàng)－末項(xiàng)）（30－14）÷（5－1）=16÷4=414＋4＝1818＋4＝2222＋4＝26公差=÷（項(xiàng)數(shù)－1）公差=題組三（6）在14和30之間插進(jìn)三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)23【例4】計(jì)算3+7+11+15+······（共20項(xiàng)）第二項(xiàng)：3和7之間有個(gè)間隔，相差第三項(xiàng)：3和11之間有個(gè)間隔，相差1=42=4×2第四項(xiàng)：3和15之間有個(gè)間隔，相差3=4×3··············末項(xiàng)：3和末項(xiàng)之間有個(gè)間隔，相差？7-312-315-3-3=4×1919末項(xiàng)－首項(xiàng)＝公差×（項(xiàng)數(shù)－1）末項(xiàng)＝公差×（項(xiàng)數(shù)－1）＋首項(xiàng)【例4】計(jì)算3+7+11+15+······（共2024【例4】計(jì)算3+7+11+15+······（共20項(xiàng)）末項(xiàng)＝公差×（項(xiàng)數(shù)－1）＋首項(xiàng)末項(xiàng)＝（7-3）×（20－1）＋3＝4×19＋3＝76＋3＝79和＝（3＋79）×20÷2＝82×20÷2＝82×10＝820【例4】計(jì)算3+7+11+15+······（共2025題組四（1）5+10+15+20+······（共有11項(xiàng)）末項(xiàng)=（10－5）×（11－1）＋5=5×10＋5=50＋5=55和=（5+55）×11÷2=60×11÷2=30×11=330末項(xiàng)＝公差×（項(xiàng)數(shù)－1）＋首項(xiàng)題組四（1）5+10+15+20+······（共有11項(xiàng)）26題組四（2）3+6+9+15+······（共有15項(xiàng)）末項(xiàng)=（6－3）×（15－1）＋3=5×14＋5=70＋5=55和=（5+55）×11÷2=60×11÷2=30×11=330題組四（2）3+6+9+15+······（共有15項(xiàng)）末項(xiàng)27題組四（3）4+7+10+13+······（共有13項(xiàng)）末項(xiàng)=（7－4）×（13－1）＋4=3×12＋4=36＋4=40和=（4+40）×13÷2=44×13÷2=22×13=286題組四（3）4+7+10+13+······（共有13項(xiàng)）末28題組四（4）11+16+21+26+······（共有16項(xiàng)）末項(xiàng)=（16－11）×（16－1）＋11=5×15＋11=75＋11=86和=（11+86）×16÷2=97×16÷2=97×8=776題組四（4）11+16+21+26+······（共有16項(xiàng)29【例5】計(jì)算1456－1－3－5－······－37－39觀察數(shù)列有什么特點(diǎn)？減數(shù)是等差數(shù)列能不能不能變成求和？1456－1－3－5－······－37－39=1456－（1＋3＋5＋······＋37＋39）=（1＋39）×20÷2=40×20÷2=800÷2=400原式=1456－400只要求:1＋3＋5＋······＋37＋39=1056項(xiàng)數(shù)=（39－1）÷（3－1）＋1=38÷2＋1=19＋1=20項(xiàng)數(shù)=（首項(xiàng)－末項(xiàng)）÷公差＋1【例5】計(jì)算1456－1－3－5－······－37－330（1）200－

1－

2－

3－

4－······－

19=200－

（1＋2＋3＋4＋······＋19）=200－

（1＋19）×19÷2=200－

20×19÷2=200－

380÷2=200－

190=10項(xiàng)數(shù)=（19－1）÷（2－1）＋1=18÷1＋1=19＋1=19項(xiàng)數(shù)=（首項(xiàng)－末項(xiàng)）÷公差＋1題組五（1）200－1－2－3－4－····31（2）420－38－36－34－······

－4

－2=420－（38＋36＋34＋······＋4

＋2）=420－（38＋2）×19÷2=420－40×19÷2=420－760÷2=420－

380=40項(xiàng)數(shù)=（38－2）÷（38－36）＋1=36÷2＋1=18＋1=19項(xiàng)數(shù)=（首項(xiàng)－末項(xiàng)）÷公差＋1題組五（2）420－38－36－34－······－4－232【例6】某電影廳有25排座位，第一排有20個(gè)座位，以后每排都比前一排多2個(gè)座位，這個(gè)電影廳一共有多少個(gè)座位？末項(xiàng)＝公差×（項(xiàng)數(shù)－1）＋首項(xiàng)座位的排列成等差數(shù)列20+22+24+26+······（共有25項(xiàng)）末項(xiàng)=2×（25－1）＋20=2×24＋20=48＋20=68和=（20+68）×25÷2=88×25÷2=44×25=1100【例6】某電影廳有25排座位，第一排有20個(gè)座位，以后每排都33（1）某電影廳有20排座位，以后每排都比前一排多2個(gè)座位，最后一排有68個(gè)座位，這個(gè)電影廳一共有多少個(gè)座位？座位的排列成等差數(shù)列68+66+64+62+······（共有20項(xiàng)）68=2×（20－1）＋末項(xiàng)68=2×19＋末項(xiàng)68=38＋末項(xiàng)末項(xiàng)=30和=（30+68）×20÷2=98×20÷2=98×10=980（個(gè)）題組六首項(xiàng)＝公差×（項(xiàng)數(shù)－1）＋末項(xiàng)（1）某電影廳有20排座位，以后每排都比前一排多2個(gè)座位，最34（2）一堆粗細(xì)均勻的原木，最上面的一層有3根，每向下一層增加1根，共有10層，這堆圓木共有多少根？原木的排列成等差數(shù)列3+4+5+6+······（共有10項(xiàng)）末項(xiàng)=1×（10－1）＋3=1×9＋3=9＋3=12和=（3+12）×10÷2=15×10÷2=15×5=75（根）題組六末項(xiàng)＝公差×（項(xiàng)數(shù)－1）＋首項(xiàng)（2）一堆粗細(xì)均勻的原木，最上面的一層有3根，每向下一層增加351.208－207+206－205+204－203+······

－3+2

－1=208+206+204+······+2

－207－205－203－······－3－1=（208+206+······+2）－（207+205+······+3+1）項(xiàng)數(shù)1=（208－2）÷（208－206）＋1=206÷2＋1=103＋1=104項(xiàng)數(shù)1=（207－1）÷（207－205）＋1=206÷2＋1=103＋1=104=（208+2）×104÷2－（207+1）×104÷2=210×104÷2－208×104÷2=210×52－208×52=（210－

208）×52=2×52=1041.208－207+206－205+204－203+··361.208－207+206－205+204－203+······

－3+2

－1=（208－207）+（206－205）+······+（2－1）=1+1+1+······+1104個(gè)1=104×1=104方法二1.208－207+206－205+204－203+··372.（2+4+6+······+2008）－（1+3+5+······+2007）項(xiàng)數(shù)1=（2008－2）÷（4－2）＋1=2006÷2＋1=1003＋1=1004項(xiàng)數(shù)1=（2007－1）÷（3－1）＋1=2006÷2＋1=1003＋1=1004=（2+2008）×1004÷2－（1+2007）×1004÷2=2010×1004÷2－2008×1004÷2=2010×502－2008×502=（2010－

2008）×502=2×502=10042.（2+4+6+······+2008）－（1+3+5+382.（2+4+6+······+2008）－（1+3+5+······+2007）=2+4+6+······+2008－1－3－5－······－2007=（2－1）+（4－3）+（6－5）+······+（2008－2007）=1+1+1+······+1=1004×1=1004方法二1004個(gè)12.（2+4+6+······+2008）－（1+3+5+39在前100個(gè)自然數(shù)中，除以3余2的所有數(shù)相加的和是多少？解析：這列等差數(shù)列的和為：5+8+11+14+······+98項(xiàng)數(shù)=（98－5）÷（8－5）+1=93÷3+1=31+1=32=（5+98）×32÷2=103×32÷2=103×16=1648在前100個(gè)自然數(shù)中，除以3余2的所有數(shù)相加的和是多少？解析404.從1到60的連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使這兩數(shù)相加的和大于60，有多少種不同的取法？解析60：1~5959種59：2~5857種58：3~5755種············32：29~313種31：301種57：4~5653種59+57+55+53+······+3+14.從1到60的連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使這兩數(shù)相加的和414.從1到60的連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使這兩數(shù)相加的和大于60，有多少種不同的取法？59+57+55+5