2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)高分突破必練專題（人教版） 完全平方公式的幾何背景（兩大類型）（原卷版）

完全平方公式的幾何背景（兩大類型）【典例1】（2022秋?南昌縣期中）如圖1所示是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖2的方式拼成一個(gè)正方形．（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于；（2）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖2中陰影部分的面積：方法①；方法②；（3）觀察圖2，直接寫出（m+n）2，（m﹣n）2，mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【變式1-1】（2022春?玄武區(qū)校級(jí)期中）觀察圖形，用兩種不同的方法計(jì)算大長(zhǎng)方形面積，我們可以驗(yàn)證等式（）A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2 D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2【變式1-2】（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為a，b，已知a+b＝7，ab＝9，則陰影部分的面積為（）A．10 B．11 C．12 D．13【變式1-3】（2022春?阜寧縣期末）圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n（m＞n）的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖2形式拼成一個(gè)正方形，那么中間陰影部分的面積為（）A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2【典例2】（2022春?雙流區(qū)校級(jí)期中）著x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；（3）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝2，CF＝6，長(zhǎng)方形EMFD的面積是192，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【變式2】（2022春?鹽都區(qū)月考）閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設(shè)30﹣x＝a，x﹣10＝b，則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解決問題：（1）若x滿足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，則（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x滿足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，點(diǎn)E．F是BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC、CE為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長(zhǎng)方形CEPF的面積為100平方單位，則圖中陰影部分的面積和為平方單位．1．（2022春?盱眙縣期中）如圖，點(diǎn)C是線段BG上的一點(diǎn)，以BC，CG為邊向兩邊作正方形，面積分別是S1和S2，兩正方形的面積和S1+S2＝20，已知BG＝6，則圖中陰影部分面積為（）A．4 B．6 C．7 D．82．（2022春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，以長(zhǎng)方形ABCD的各邊為直徑向外作半圓得到一個(gè)新的圖形其周長(zhǎng)為16π，同時(shí)此圖形中四個(gè)半圓面積之和為44π，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為（）A．10 B．20 C．40 D．803．（2022春?太原期中）通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，用這種方法可得到整式乘法中的一些運(yùn)算法則或公式，例如，由圖1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即為多項(xiàng)式乘法法則．利用圖2可得的乘法公式為（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b24．（2022春?新泰市期中）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．（1）求圖2中的陰影部分的正方形的周長(zhǎng)；（2）觀察圖2，請(qǐng)寫出下列三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝24，運(yùn)用你由（2）所得到的等量關(guān)系，求圖中陰影部分面積．5．（2022秋?上蔡縣校級(jí)月考）（1）試用兩種不同的方法表示圖1中陰影部分的面積，從中你有什么發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)用等式表示出來(lái)；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問題：①如圖2，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a，b，且a+b＝ab＝9，求圖2中陰影部分的面積．②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，則（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是．6．（2022春?順德區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在邊長(zhǎng)為a米的正方形草坪上修建兩條寬為b米的道路．（1）為了求得剩余草坪的面積，小明同學(xué)想出了兩種辦法，結(jié)果分別如下：方法①：.方法②：.請(qǐng)你從小明的兩種求面積的方法中，直接寫出含有字母a，b代數(shù)式的等式是：．（2）根據(jù)（1）中的等式，解決如下問題：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．7．（2022春?上虞區(qū)期末）圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2b，寬為2a的長(zhǎng)方形，沿虛線平均分成四塊，然后按圖2拼成一個(gè)正方形．解答下列問題．（1）圖2中陰影部分的面積可表示為；對(duì)于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，這三者間的等量關(guān)系為．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論計(jì)算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，則x﹣y＝．（3）觀察圖3，從圖中你能得到怎樣的一個(gè)代數(shù)恒等式？再根據(jù)你所得到的這個(gè)代數(shù)恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），試求的值．8．（2022春?包頭期末）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)為（a+2b）m，寬為（a+b）m的長(zhǎng)方形土地，四個(gè)角留出四個(gè)邊長(zhǎng)為（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分進(jìn)行綠化．（1）用含a、b的式子表示要進(jìn)行綠化的土地面積；（結(jié)果要化簡(jiǎn)）（2）當(dāng)a＝6，b＝10時(shí)，求要進(jìn)行綠化的土地面積．9．（2022?平泉市一模）如圖，將一張矩形大鐵皮切割成九塊，切痕為虛線所示，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m厘米的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n厘米的小正方形，五塊是長(zhǎng)寬分別是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．（1）用含m、n的代數(shù)式表示切痕總長(zhǎng)L；（2）若每塊小矩形的面積為30平方厘米，四個(gè)正方形的面積和為180平方厘米，試求（m+n）2的值．10．（2022春?江都區(qū)期中）把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方式計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖①，從整體看，是一個(gè)面積為可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）（i）由圖②，可得等式：；（ii）利用（i）所得等式，若a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，則a2+b2+c2＝；（2）如圖③，將邊長(zhǎng)分別為a、b的兩個(gè)正方形拼在一起，B、C、G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a、b滿足a+b＝10，ab＝20．請(qǐng)求出陰影部分的面積；（3）圖④中給出了邊長(zhǎng)分別為a、b的小正方形紙片和兩邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片，現(xiàn)有足量的這三種紙片．（i）請(qǐng)用所給的紙片拼出一個(gè)面積為2a2+5ab+2b2的長(zhǎng)方形，并仿照?qǐng)D①②畫出拼法并標(biāo)注a、b；（ii）結(jié)合（i）拼圖試著分解因式2a2