基于l1數(shù)據(jù)保真項(xiàng)的二階變分圖像復(fù)原模型

基于l1數(shù)據(jù)保真項(xiàng)的二階變分圖像復(fù)原模型

0圖像復(fù)原模型在醫(yī)療、天文學(xué)、交通等領(lǐng)域收集的圖像通常是基于硬件限制的。由于容易受到模糊和噪聲的影響，觀察圖像和真實(shí)圖像之間是不可避免的差距。為此,必須采用計(jì)算機(jī)技術(shù),從降質(zhì)圖像中復(fù)原出原始的清晰圖像來(lái)提高后續(xù)圖像處理與分析的有效性和精確性。令u為原始清晰圖像,受脈沖噪聲和模糊效應(yīng)影響的降質(zhì)圖像f可表示為其中:k為(空間不變)模糊核;(x,y)為圖像坐標(biāo);ψ表示圖像受脈沖噪聲影響的邏輯運(yùn)算符。為便于論文的闡述,式(1)中的卷積形式kue067u改寫成矩陣和向量相乘形式Ku。為從降質(zhì)圖像f中恢復(fù)出清晰圖像u,圖像復(fù)原已在圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注。近年來(lái),變分和偏微分方程方法在圖像復(fù)原中得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前研究主要針對(duì)圖像受高斯噪聲影響的情形,為提高圖像復(fù)原的質(zhì)量,常采用L2數(shù)據(jù)保真項(xiàng)與正則項(xiàng)相結(jié)合的形式構(gòu)建圖像復(fù)原模型。1992年Rudin等人其中:‖u‖1圖像復(fù)原自適應(yīng)二次變分模型1.1tv正則項(xiàng)改進(jìn)為了克服傳統(tǒng)TV模型在復(fù)原過(guò)程中易產(chǎn)生的階梯效應(yīng),Bredies等人其中:Sym再利用Legendre-Fenchel對(duì)偶方法其中:v∈C實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該模型在含高斯噪聲模糊圖像復(fù)原中的有效性,在克服圖像平滑區(qū)域階梯效應(yīng)的同時(shí),能有效保留圖像的邊緣等重要結(jié)構(gòu)特征。但當(dāng)模糊圖像受脈沖噪聲的影響時(shí),模型式(6)因其數(shù)保真項(xiàng)為平方范數(shù),不適用于模糊圖像受脈沖噪聲影響的情形。為提高含脈沖噪聲模糊圖像的復(fù)原質(zhì)量,有必要結(jié)合模型式(2)中數(shù)據(jù)保真項(xiàng)的L1范數(shù)與模型式(6)中的二階正則項(xiàng)TGV,在消除噪聲和模糊效應(yīng)的同時(shí)能有效恢復(fù)圖像的邊緣等重要結(jié)構(gòu)特征,保證圖像的復(fù)原質(zhì)量。針對(duì)模型式(1)中TV正則項(xiàng)在圖像復(fù)原過(guò)程中易產(chǎn)生階梯效應(yīng)的缺陷,本文提出將L1-TV模型中的TV正則項(xiàng)用TGV正則項(xiàng)來(lái)代替進(jìn)而得到一種新的二階變分圖像復(fù)原模型L1-TGV,即其中:二階TGV正則項(xiàng)其中:其中,“ue0c9”表示點(diǎn)乘。當(dāng)式(8)中的參數(shù)c取常數(shù)值時(shí),g(i,j)可以根據(jù)圖像不同區(qū)域的局部結(jié)構(gòu)特征自適應(yīng)控制圖像復(fù)原模型式(7)的擴(kuò)散強(qiáng)度。具體而言,圖像的邊緣區(qū)域?qū)?yīng)較大的2帶約束的最優(yōu)化問(wèn)題本文圖像復(fù)原模型式(7)的數(shù)值求解是一類典型的無(wú)約束非光滑優(yōu)化問(wèn)題,常用的數(shù)值算法無(wú)法取得令人滿意的數(shù)值解。為獲得穩(wěn)定的數(shù)值解,本文擬采用交替方向乘子法(alternatingdirectionmethodofmultipliers,ADMM)為穩(wěn)定求解圖像復(fù)原模型式(10),首先引入輔助變量x、y和z,將無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題式(10)轉(zhuǎn)換成如下的帶約束的最優(yōu)化問(wèn)題:再利用增廣拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法,帶約束的最優(yōu)化問(wèn)題式(11)對(duì)應(yīng)的增廣拉格朗日函數(shù)為對(duì)于此類問(wèn)題可以直接通過(guò)經(jīng)典的閾值收縮算子(shrinkage-thresholdingoperator)其中:閾值收縮算子可定義為其中:“ｏ”表示矩陣對(duì)應(yīng)元素相乘。u和v的更新存在耦合關(guān)系,不能直接采用快速傅里葉變換(fastFouriertransform,FFT)及其逆變換,分別求解該問(wèn)題,因此需同時(shí)求解u和v。固定變量x為提高最小二乘問(wèn)題式(20)的求解精度,本文直接處理其對(duì)應(yīng)的一階最優(yōu)性條件:為便于理解和數(shù)值求解,將上述線性方程組式(21)~(23)改寫為如下的矩陣形式:為高效且穩(wěn)定地獲取方程式(24)的數(shù)值解,本文將在FFT框架下,采用矩陣的克拉默法則求解方程式(24)。對(duì)式(24)兩邊同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換,可得到如下矩陣形式的線性方程組:再利用矩陣的克拉默法則,第t+1次迭代(u,v這里F其中:為保證數(shù)值求解過(guò)程的穩(wěn)定性,拉格朗日乘子(ξ,ζ,δ)的更新策略為其中:2.4基于迭代求解的全基于模型針對(duì)含脈沖噪聲模糊圖像的復(fù)原模型L1-ATGV,本文提出利用ADMM算法進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化求解。首先引入輔助變量x、y和z,將原問(wèn)題式(10)改寫為無(wú)約束的增廣拉格朗日方程式(12),進(jìn)一步固定相應(yīng)的不同變量,將該問(wèn)題轉(zhuǎn)換為分離的(x,y,z)和(u,v)兩個(gè)子問(wèn)題。之后分別對(duì)這兩個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行迭代求解,(x,y,z)子問(wèn)題式(13)~(15)可以利用經(jīng)典的閾值收縮算子進(jìn)行快速求解;而(u,v)子問(wèn)題式(20)的最終解則可以通過(guò)矩陣的克拉默法則經(jīng)過(guò)多次分步迭代獲得。迭代終止時(shí),即可獲得最終的復(fù)原圖像。綜上所述,模型式(10)的具體求解步驟如算法1所示。算法1L1-ATGV模型的數(shù)值求解算法3l1-atgv有效性為評(píng)價(jià)本文圖像復(fù)原方法L1-TGV和L1-ATGV的有效性,考慮不同椒鹽噪聲和隨機(jī)值脈沖噪聲水平下模糊圖像的復(fù)原結(jié)果,并與傳統(tǒng)的FTVd其中:3.1局部放大處理為研究不同椒鹽噪聲水平對(duì)模糊圖像復(fù)原質(zhì)量的影響,先利用窗口大小為9×9,標(biāo)準(zhǔn)差為5的高斯模糊核對(duì)圖1中的八幅實(shí)驗(yàn)圖像生成模糊圖像,再添加10%、20%和30%的椒鹽噪聲產(chǎn)生含椒鹽噪聲模糊圖像。本文方法所采用的參數(shù)為β不同椒鹽噪聲水平(10%、20%和30%)下模糊圖像cameraman的復(fù)原效果如圖2所示。受椒鹽噪聲和模糊效應(yīng)的影響,在降質(zhì)圖像中難以發(fā)現(xiàn)圖像的邊緣和紋理等結(jié)構(gòu)信息,嚴(yán)重影響了圖像識(shí)別和理解等后續(xù)處理。為便于分析比較,復(fù)原圖像局部放大情形如圖3所示。FTVd、L1-HTV、L1-TGV和L1-ATGV在消除噪聲的同時(shí)均能從降質(zhì)圖像中恢復(fù)目標(biāo)的主要輪廓結(jié)構(gòu)信息。因FTVd模型對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解中含有明顯的分片常數(shù)效應(yīng),易在圖像平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)而降低圖像復(fù)原質(zhì)量,許多細(xì)節(jié)部分復(fù)原的效果比較模糊。L1-HTV通過(guò)引入混合正則項(xiàng)能有效抑制FTVd中的階梯效應(yīng),提升圖像平滑區(qū)域的復(fù)原效果,但依舊容易模糊圖像的局部紋理細(xì)節(jié)信息。比較而言,通過(guò)引入二階TGV正則項(xiàng),本文提出的L1-TGV和L1-ATGV不僅能夠克服階梯效應(yīng),并且保留了圖像的大部分重要細(xì)節(jié)特征,如局部放大圖中的人臉和相機(jī)部分等。含椒鹽噪聲模糊圖像復(fù)原的客觀評(píng)價(jià)結(jié)果如表1~3所示。L1-TGV和L1-ATGV在信噪比、相對(duì)誤差和結(jié)構(gòu)相似度等方面均能取得較FTVd和L1-HTV更優(yōu)的成像效果。本文引入的邊緣檢測(cè)算子可較好地區(qū)分圖像的邊緣和平滑區(qū)域,L1-ATGV在消除噪聲和模糊圖像時(shí)能更好地抑制階梯效應(yīng)和恢復(fù)圖像的結(jié)構(gòu)信息,相應(yīng)的SNR、ReErr和SSIM客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)能夠得到進(jìn)一步的提升。3.2模糊圖像的性能評(píng)價(jià)類似地,先利用半徑為9的均值模糊核對(duì)圖1中的八幅實(shí)驗(yàn)圖像生成模糊圖像,然后分別加入10%、20%和30%的隨機(jī)值脈沖噪聲,產(chǎn)生含隨機(jī)值脈沖噪聲的模糊圖像,參數(shù)設(shè)置和3.1節(jié)中的椒鹽噪聲實(shí)驗(yàn)一致。通過(guò)與常用FTVd和L1-HTV的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較,可以凸顯本文提出的圖像復(fù)原方法L1-TGV和L1-ATGV在提升圖像質(zhì)量的優(yōu)越性。圖4展示了圖像Lena在不同隨機(jī)值脈沖噪聲水平下模糊圖像的復(fù)原結(jié)果,圖5為相對(duì)應(yīng)復(fù)原圖像的局部放大圖。表4~6為八幅實(shí)驗(yàn)圖像相對(duì)應(yīng)復(fù)原圖像的各項(xiàng)客觀評(píng)價(jià)結(jié)果。通過(guò)對(duì)比分析可知,利用FTVd方法復(fù)原得到的圖像存在明顯的階梯效應(yīng),復(fù)原圖像的許多細(xì)節(jié)信息丟失;盡管通過(guò)L1-HTV方法復(fù)原的圖像克服了階梯效應(yīng),但圖像的一些重要部分如眼睛、頭發(fā)及帽子邊緣沒(méi)有保留細(xì)節(jié)特征,復(fù)原效果還有待于進(jìn)一步改進(jìn);而通過(guò)本文提出的L1-TGV和L1-ATGV方法復(fù)原的圖像抑制了階梯效應(yīng),圖像的大部分局部細(xì)節(jié)信息得到了保留。本文引入的邊緣檢測(cè)算子可較好地區(qū)分圖像具有不同結(jié)構(gòu)特征的局部區(qū)域,因此L1-ATGV較L1-TGV獲得的復(fù)原圖像更接近真實(shí)清晰圖像,比如人臉和頭發(fā)部分的復(fù)原效果更清晰自然。根據(jù)表4~6中的客觀評(píng)價(jià)結(jié)果,與FTVd和L1-HTV方法相比,本文提出的L1-TGV和L1-ATGV方法所得到的復(fù)原圖像具有更高的信噪比(SNR),更小的相對(duì)誤差(ReErr)和更高的結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)。4正則項(xiàng)在圖像局部預(yù)處理針對(duì)傳統(tǒng)L1-TV模型在含脈沖噪聲模糊圖像復(fù)原過(guò)程中易導(dǎo)致階梯效應(yīng)和圖像重要細(xì)節(jié)信息丟失的缺陷,本文提出了一種二階變分圖像復(fù)原模型L1-TGV,利用二階TGV正則項(xiàng)提升圖像復(fù)原質(zhì)量。為進(jìn)一步提高復(fù)原圖像的視覺(jué)效果,在二階TGV正則項(xiàng)中引入邊緣檢測(cè)算子,提出了能夠自適應(yīng)平衡邊緣保留與平滑增強(qiáng)去噪的圖像復(fù)原模型L1-ATGV。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的方法在圖像復(fù)原過(guò)程中不僅能有效地克服階梯效應(yīng),而且在消除模糊和脈沖噪聲的同時(shí)可保留圖像的重要細(xì)節(jié)信息。與經(jīng)典的FTVd和L1-HTV方法相比,顯著改善了復(fù)原圖像的視覺(jué)效果,更在客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)方面(即SNR、ReErr和SSIM等)均有較大改善。但本文提出的圖像復(fù)