浙江省浙大附中2023年數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是（）A．18 B．24 C．30 D．362．同時(shí)拋擲一顆紅骰子和一顆藍(lán)骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于4”為事件A，“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”為事件B，則（）A． B． C． D．3．4名老師、2位家長(zhǎng)以及1個(gè)學(xué)生站在一排合影，要求2位家長(zhǎng)不能站在一起，學(xué)生必須和4名老師中的王老師站在一起，則共有（）種不同的站法．A．1920 B．960 C．1440 D．7204．某食堂一窗口供應(yīng)2葷3素共5種菜，甲、乙兩人每人在該窗口打2種菜，且每人至多打1種葷菜，則兩人打菜方法的種數(shù)為（）A．64 B．81 C．36 D．1005．如圖，在矩形中的曲線(xiàn)分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3 C．4 D．57．設(shè)是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向的一條漸近線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足為，交另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)．若，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A． B．2 C． D．8．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為()A． B． C． D．9．一根細(xì)金屬絲下端掛著一個(gè)半徑為1cm的金屬球，將它浸沒(méi)底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當(dāng)金屬球被拉出水面時(shí)，容器內(nèi)的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm10．在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量和，下圖是由這兩個(gè)變量近8年來(lái)的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類(lèi)型是()A． B．C． D．（）11．在中，，則角為（）A． B． C． D．12．七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，現(xiàn)從該正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0有一個(gè)根為1+i，則14．設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)_________.15．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______.16．，若，則的最大值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，為右焦點(diǎn)，圓，為橢圓上一點(diǎn)，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)作與圓相切于點(diǎn)，使得點(diǎn)，在的兩側(cè).（Ⅰ）求橢圓的焦距及離心率；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.18．（12分）已知集合=，集合=.（1）若，求；（2）若AB，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）袋中裝有黑色球和白色球共個(gè)，從中任取個(gè)球都是白色球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出個(gè)球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一個(gè)人摸到白色球后終止，每個(gè)球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的，用表示摸球終止時(shí)所需摸球的次數(shù).（1）求隨機(jī)變量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.20．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）若為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的平面角為，且，試判斷點(diǎn)的位置．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面平面.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由于選出的3名學(xué)生男女生都有，所以可分成兩類(lèi)，一類(lèi)是1男2女，一類(lèi)是2男1女.【詳解】由于選出的3名學(xué)生男女生都有，所以可分成兩類(lèi)：（1）3人中是1男2女，共有；（2）3人中是2男1女，共有；所以男女生都有的選法種數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)與分步計(jì)算原理，考查分類(lèi)討論思想及簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題.2、B【解析】

為拋擲兩顆骰子，紅骰子的點(diǎn)數(shù)小于4同時(shí)兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7的概率，利用公式求解即可．【詳解】解：由題意，為拋擲兩顆骰子，紅骰子的點(diǎn)數(shù)小于4時(shí)兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7的概率．拋擲兩顆骰子，紅骰子的點(diǎn)數(shù)小于4，基本事件有個(gè)，紅骰子的點(diǎn)數(shù)小于4時(shí)兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7，基本事件有3個(gè)，分別為（1，6），（2，5），（3，4），．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

先將學(xué)生和王老師捆綁成一個(gè)團(tuán)隊(duì)，再將團(tuán)隊(duì)與另外3個(gè)老師進(jìn)行排列，最后將兩位家長(zhǎng)插入排好的隊(duì)中即可得出．【詳解】完成此事分三步進(jìn)行：（1）學(xué)生和王老師捆綁成一個(gè)團(tuán)隊(duì)，有種站法；（2）將團(tuán)隊(duì)與另外3個(gè)老師進(jìn)行排列，有種站法；（3）將兩位家長(zhǎng)插入排好的隊(duì)中，有種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所以有種不同的站法，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理、捆綁法以及插空法的應(yīng)用．4、B【解析】

由題甲，乙均有兩種情況，一葷一素和兩素，再由分步原理可得種數(shù)?！驹斀狻考子袃煞N情況：一葷一素，種；兩素，種.故甲共有種，同理乙也有9種，則兩人打菜方法的種數(shù)為種.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題。5、A【解析】

先利用定積分計(jì)算陰影部分面積，再用陰影部分面積除以總面積得到答案.【詳解】曲線(xiàn)分別是，的一部分則陰影部分面積為：總面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了定積分，幾何概型，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、C【解析】把三視圖還原為原幾何體為一個(gè)四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)棱底面ABCD，四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，則此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是4個(gè)，選C.7、C【解析】試題分析：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，到一條漸近線(xiàn)的距離，則，在中，，則，設(shè)的傾斜角為，則，，在中，，在中，，而，代入化簡(jiǎn)可得到，因此離心率考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的離心率；8、C【解析】

首先確定流程圖的功能為計(jì)數(shù)的值，然后利用裂項(xiàng)求和的方法即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意結(jié)合流程圖可知流程圖輸出結(jié)果為，，.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．(2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問(wèn)題．(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證．9、D【解析】

利用等體積法求水面下降高度。【詳解】球的體積等于水下降的體積即，．答案：D．【點(diǎn)睛】利用等體積法求水面下降高度。10、B【解析】

根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)，選定正確的選項(xiàng).【詳解】散點(diǎn)圖呈曲線(xiàn)，排除A選項(xiàng)，且增長(zhǎng)速度變慢，排除選項(xiàng)C、D，故選B．【點(diǎn)睛】本小題主要考查散點(diǎn)圖，考查回歸直線(xiàn)方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

利用余弦定理解出即可．【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】設(shè)，則.∴，∴所求的概率為故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】

由題意可得1-i也是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個(gè)虛數(shù)根,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出p和q的值,即可求得p+q【詳解】由于復(fù)數(shù)1+i是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個(gè)虛數(shù)根,

故1-i也是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個(gè)虛數(shù)根,

故

1+i+1-i=-p,(1+i)(1-i)=q,

故q=-2,p=2,故p+q=0【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對(duì)定理,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意結(jié)合拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線(xiàn)方程即可.【詳解】由拋物線(xiàn)方程可得，則，故準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線(xiàn)方程確定其準(zhǔn)線(xiàn)的方法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)可確定根的個(gè)數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：.有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)不等實(shí)根，可等價(jià)為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得圖象如下圖所示：由圖象可知，若與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)為零的方程根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.16、【解析】

均值不等式推廣；【詳解】【點(diǎn)睛】熟練掌握。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦距及離心率.（Ⅱ）設(shè)（，），先求出四邊形面積的表達(dá)式，再利用基本不等式求它的最大值.（Ⅰ）在橢圓：中，，，所以，故橢圓的焦距為，離心率．（Ⅱ）設(shè)（，），則，故．所以，所以，．又，，故．因此．由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于求此的表達(dá)式和化簡(jiǎn)，由于四邊形是不規(guī)則的圖形，所以用割補(bǔ)法求其面積，其面積求出來(lái)之后，又要利用已知條件將其化簡(jiǎn)為，再利用基本不等式求其最小值.18、（1）（2）【解析】分析：（1）先化簡(jiǎn)集合A,B，再求.(2)先化簡(jiǎn)集合A,B，再根據(jù)AB得到，解不等式得到實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得.則.由，得.則.所以.（2）由，得.若AB，則解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查集合的運(yùn)算和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本計(jì)算能力.(2)把分式不等式通過(guò)移項(xiàng)、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式組→解不等式組得解集.19、(1)分布列見(jiàn)解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解析】分析：（1）由已知先出白子個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.詳解：設(shè)袋中白色球共有x個(gè)，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7個(gè)球，3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.隨機(jī)變量X的分布列為X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”．依題意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型的概率計(jì)算公式，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，互斥事件概率加法公式.20、（1）；（2）點(diǎn)位于棱的三等分點(diǎn)處.【解析】

先由題意，得到，，，的坐標(biāo)，以及向量，的坐標(biāo)；（1）根據(jù)題中條件，得到，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到存在實(shí)數(shù)，使得，進(jìn)而得到，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合題中條件，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，可得，，，，則，，（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因此，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角，則；（2）因?yàn)辄c(diǎn)為棱上一點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得，則，即；所以，；因?yàn)槠矫媾c平面是同一平面，因此其一個(gè)法向量為；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，則，令，則，即，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，且，所以，解得：或，即或，因此，點(diǎn)位于棱的三等分點(diǎn)處.【點(diǎn)睛】本題主要考查求線(xiàn)面角，以及已知二面角的余弦值求其它量的問(wèn)題，靈活運(yùn)用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.21、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）在平面內(nèi)知道兩條相交直線(xiàn)與垂直，利用判定定理即可完成證明；（2）通過(guò)輔助線(xiàn)，將與平行四邊形關(guān)聯(lián)，從而計(jì)算出長(zhǎng)度，然后即可求解三棱錐的體積.【詳解】解：（1）平面，，又四邊形為正方形，，且，平面，為的中點(diǎn)，，且，平面；（2）作于，連接，如圖所示：平