浙江省2022-2023學年下學期高中數(shù)學競賽六校第一次聯(lián)考一試和加試試題（PDF版含解析）

第第頁浙江省2022-2023學年下學期高中數(shù)學競賽六校第一次聯(lián)考一試和加試試題（PDF版含解析）2022學年第二學期數(shù)學競賽六校第一次聯(lián)考

加試解答

一．（本題滿分40分）如圖，在DABC中，C=90o，過點C作CH^AB

于點H，A與CH的中點M所在的直線交BC于點K，L是BC的中點，線段AB

上一點T滿足ATK=BTL．若BC=1，求DKTL的周長．

注：答題時請將圖畫在答卷紙上．

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

二．（本題滿分40分）對于每個正整數(shù)k，設ak是最大的且不能被3整除

的k的約數(shù)，數(shù)列{Sn}滿足Sn=a1+a2+L+an（例如：S6=1+2+1+4+5+2）．

證明：Sn被3整除當且僅當n的三進制表示中，1的個數(shù)能被3整除．

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

三．（本題滿分50分）已知n為正整數(shù)，對于i1,2,,n，正整數(shù)ai和正

a

偶數(shù)bi滿足00.64的值，適當給分．

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}2022學年第二學期數(shù)學競賽六校第一次聯(lián)考

加試試題

一．（本題滿分40分）如圖，在DABC中，C=90o，過點C作CH^AB

于點H，A與CH的中點M所在的直線交BC于點K，L是BC的中點，線段AB

上一點T滿足ATK=BTL．若BC=1，求DKTL的周長．

注：答題時請將圖畫在答卷紙上．

二．（本題滿分40分）對于每個正整數(shù)k，設ak是最大的且不能被3整除

的k的約數(shù)，數(shù)列{Sn}滿足Sn=a1+a2+L+an（例如：S6=1+2+1+4+5+2）．

證明：Sn被3整除當且僅當n的三進制表示中，1的個數(shù)能被3整除．

三．（本題滿分50分）已知n為正整數(shù)，對于i1,2,,n，正整數(shù)ai和正

a

偶數(shù)bi滿足00.64的值，適當給分．

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}2022學年第二學期數(shù)學競賽六校第一次聯(lián)考

一試解答

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分．

2．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，隨機變量X滿足

P(Xi)ai(0ai1,i1,2,3,4)，則d的取值范圍為．

1,1答案：．

66

4

解：題意可知PXia1a2a3a44a16d116d，可得a1，

i14

016d1

11

4

d

26

016dd1

3

d

1

由0ai1,i1,2,3,4

422

可得

016d

，解得13，

2d1d

422

016d

3d11d1

462

11

綜合可得，d的取值范圍為d.66

3．正三棱臺的各頂點之間的距離構(gòu)成的集合為{1,3,2}，則該棱臺的體積

為．

1

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

4．已知函數(shù)f(x)xacosx在[0,b]3b上的值域為1,，則的值2a

為．

5

答案：2．

解：因為xa0，cosx1，所以當且僅當xa0且cosx1時f(x)1，

所以ax2k,kN，又f(0)|a|1

3

[1,]，所以a．

2

所以f(x)xcosx，易知f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(,)單調(diào)遞增，

3

所以當b時，f(x)f(0)1，不滿足題意；當b時，因為f(x)max2，所

以f(b)

35

bcosb，注意到f()

3

，且f(x)在(,)

5

222單調(diào)遞增，所以

b．

2

b5

因此a2．

5．在DABC中，BC3,|AB|22ABAC9，則DABC面積的最大值

是．

答案：3.

解：因為|AB|22ABAC9，所以c22cbcosA9，由余弦定理得：

a2b2c22bccosA9b2c22bccosA，

聯(lián)立解得：2c2b218，cosA

b

4c，所以

2

sinA1cos2A1b116c21b21449b2，

16c24c4c

所以

S1

2

ABCbcsinA

1111

bc1449b2144b29b49b285763

224c88.

6．設奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且對任意x1,x2(0,)，均有

f(x1x2)f(x1)f(x2)．若當x1時，f(x)0f

1，且2，則不等式

4

lg(f(x)2)0的解集為．

答案：1,1(2,4)．

24

x

解：設x1,x20,，且x1x12，則1x．因為，當x1時，fx0，所以2

x1fx

0，因為對任意x1,x20,，都有fx1x2fx1fx2，所以

2

2

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

fx1fx2

x

f10，即fx1fx2，函數(shù)fx在0,x上單調(diào)遞減．2

因為fx是定義域為R的奇函數(shù)，所以函數(shù)fx在,0上單調(diào)遞減，因為

不等式lgfx20等價于不等式0fx21，即2fx1．

1

因為對任意x1,x20,，都有fx1x2fx1fx2，f24，所以，當

x1x21時，得f10

11

；當x1x

1

22時，得

f1．所以fxff10，

2x

所以，f42，f21f11，2，f41，所以，當x0,時，2

2fx1的解集為2,4，

當x,0時，2fx11,1的解集為．

24

所以，2fx11的解集為,

1

2,424．所以，不等式lgfx20的

11

解集為,

2,4．

24

7．已知拋物線C:y24x的焦點為F，P1,P2,P3在拋物線C上，滿足

PFP2π12P2FP3P3FP1，則P1FP2FP3F的最小值為．3

答案：9．

解：拋物線C:y24x的焦點為F(1,0)，依題意，不妨設直線P1F的傾斜角為

(0π，且

2

)．

3

由拋物線定義得：|P1F|2|P1F|cos，即|P1F|

2

，同理

1cos

|PF|222π,|P3F|

22

1cos()1cos(4π)1cos(2π)，

333

22

|P2F||P3F|

22

1cos(2π2π)1cos()

331

1cos3sin11cos3sin

2222

2(2cos)

1|P1F||P2F||PF|

22(2cos)9

3

(cos)2，因此1cos(1cos)22(1cos)(1cos)2．

222

令cost(1,

1

)(11,1)，2(1cos)(cos)22(1

1

t)(t)2，令

2222

f(t)2(1t)(1311t)2，f(t)2(3t2)，由f(t)0得1t或t1，由f(t)0

2422

3

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

11

得t，因此函數(shù)f(t)

1

在(1,),(

1,1)上單調(diào)遞減，在(

1,1)

2222上單調(diào)遞增，22

1

當t時，f(t)

π

2max

1，此時．

3

02(1cos)(1于是得cos)21

π

2，所以當

時，P1FP2FP3F取得最小3

值9.

2

8．設正實數(shù)a,b,cbac2a8滿足c6，則最小值為．

bca1

答案：6.

ac22a8c228

解：a，由于a，b，c是正實數(shù)，且bc6，

bca1bca1

所以

2

c22c2c1bcc1b22bcc2

bcbbcb3bcb3bc

cb2c4cb224cb2422，

b3c33b3b3c33b3c333

4cb

b2cb266c

22

當且僅當3b3c，即，所以，c時等號成立，則的最小值33bc

為2．

ac22a82a88所以2a1222a8126，當且僅

bca1a1a1a1

當2a81，即a1時等號成立．

a1

ac22a8

所以最小值為6．

bca1

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分，解答應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟．

9．（本題滿分16分）設a是實數(shù)，關于z的方程(z22z5)(z22az1)0

有四個互不相等的根，且它們在復平面上對應的四個點共圓．求a的取值范圍．

4

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

10．（本題滿分20分）在平面直角坐標系中，已知橢圓

x22C21:y,C

x2

2:y1，在橢圓C1上任取三點B,C,D，是否實數(shù)存在使44

得DBCD與橢圓C2相切于三角形三邊的中點？若存在，求的值；若不存在，

請說明理由．

解：設Bm,n,BC,BD的中點分別是E,F,Ex1,y1,Fx2,y2，則

C2x1m,2y1n,D2x2m,2y2n，因為BC,BD均與橢圓C相切于E,F點，所以

x1m

yn1

BC:x1x

1

yx2x4

41

y1,BD:y2y1，因為Bm,n在BC,BD兩直線上，所以4x，2myn1

42

x,y,x,ymxny1mx所以1122在直線4上，即直線

EF的方程為ny14．

mx

ny144n2m2x2m聯(lián)立2得22x

1

210，所以

x216ny1

2nn

4

8m161n2x1x222,x1x2,，所以4nm4n2m2

yy4mx14mx2

8mxx8n

12

1222．4n4n4n4nm

當直線CD斜率存在時，且CD的中點為x1x2m,y1y2n，直線

5

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

CD:yy2y1xxxmyynm8m

24n2

x

x2x

12124n4n，設1

yAxB

Am,B8m

24n2

,1222x得Ax2ABxB

210,

4n4n，y

214

4

221

因為CD與橢圓C相切，所以Δ4AB4

A2B2104，化簡得B

24A21，

2

Am,B8m4n

22

代入得8m24n24m24n2．4n4n

2

因為Bm,nx在橢圓C1:y2

2

上，所以m24n24，代入得(84)44，

4

解得4,1（舍），所以4．

m22

此時A,B

8m4n842

，CD中點的橫坐標為

4n4n4nn

xxm8mm8m1

1

1222mm

222

，方程Ax2ABxB10的解為4nm424

x2AB1m

21A22．所以4時，CD與橢圓C相切時切點為CD的中點，所以

4

4滿足條件．

當直線CD斜率不存在時，不妨假設直線CD切于橢圓C的左頂點2,0，且

根據(jù)橢圓的對稱性，CD的中點為左頂點2,0，B在x軸的正半軸上，所以將x2

x2

代入橢圓C1:y

2得y1，不妨設C2,1，將y0代入橢圓

4

Cx

2

1:y

2得x2，所以B2,01,1，則BC的中點為2，代入橢4

C211圓得1，解得4．

44

綜上所述，4．

1120{a}aa2．（本題滿分分）設正項數(shù)列n滿足n1n1(nN

)，S

an

為{an}

n

的前n項和．

(1)若{an}是遞增數(shù)列，求a1的取值范圍；

(2)1若a12，且對任意nN

，均有Snna1(n1)，證明：S2n1．3n

解：(1)由a2a

2

1a11a1，得0a12①；a1

6

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

2

又由a3a2a21

2

a2a22a112，得1a12②，a2a1

由①②，得1a12.

下面用數(shù)學歸納法證明：當1a12時，1an2對任意nN

*恒成立.

1°當n1時，1a12成立；

2°假設當nk(kN*)時，1ak2成立，

則當nk12時，ak1ak1[221，2)(1,2）.ak

綜上1°、2°，可知1an2對任意nN

*恒成立.

2

于是an1an10，即{aan

}是遞增數(shù)列.

n

所以a1的取值范圍是1a12.

(2)因為a12，可用數(shù)學歸納法證明：an2對任意nN

*恒成立.

aa2于是n1n10，即{an}是遞減數(shù)列.an

S121在n≥na1(n1)中，令n2，得2a11S2≥2a1，解得a≤3，3a113

故2a1≤3.

7

下證：Ⅰ當2a1≤時，Sn≥na

1

1(n1)恒成立.33

771

事實上，當2a1≤時，由于ana31

(ana1)≥a1(2)a1，于是33

S11na1a2an≥a1(n1)(a1)na31

(n1).

3

a7再證：Ⅱ1不合題意.3

事實上，當3≥a71時，設anb

2

n2，則由an1an1可得3an

bb2n1n1bn2

bn1bn1271得：≤，（因為由a1≤3得b1≤1），bnbn2333

1(2)n

于是數(shù)列{bn}的前n項和T≤b3n123b1≤3，1

3

故Sn2nTn2n3na1(2a1)n3.③

7

令a1t(t0)，則由③式得Snna1(2a1)n3

1

na1(n1)

8

tn,

333

7

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}

只要n充分大，就有Snna

1

1(n1)，這與Sn≥na

1

31

(n1)矛盾.

3

所以a71不合題意.綜上(1)(2)

7

，有2a1≤.33

b

于是n1

b

n

1b1147≤≤（因2a1≤，故0

1

b1≤），bnbn2b12733

1(4)n7

故數(shù)列{bn}的前n項和T7n≤b1b11，所以Sn2nT2n1

14

n

3

7

8

{#{ABaQYUgggIQBBAABhCAQUiCgCQkBACAAgOwBAAsAAACANABAA=}#}2022學年第二學期數(shù)學競賽六校第一次聯(lián)考

一試試題

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分．

1.設A{1,2,3}，B{2xy|x,yA,xy}，C{2xy|x,yA,xy}，

則BC的所有元素之和為．

2．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，隨機變量X滿足

P(Xi)ai(0ai1,i1,2,3,4)，則d的取值范圍為．

3．正三棱臺的各