上海澄源中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

上海澄源中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖①，這個美妙的螺旋叫做特奧多魯斯螺旋，是由公元5世紀(jì)古希臘哲學(xué)家特奧多魯斯給出的，螺旋由一系列直角三角形組成（圖②），第一個三角形是邊長為1的等腰直角三角形，以后每個直角三角形以上一個三角形的斜邊為直角邊，另一個直角邊為1．將這些直角三角形在公共頂點(diǎn)處的角依次記為α1，α2，α3，…，則與α1+α2+α3+α4最接近的角是（）參考值：tan55°≈1.428，tan60°≈1.732，tan65°≈2.145，A．120° B．130° C．135° D．140°參考答案：C【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由題意利用直角三角形中的邊角關(guān)系，可得α1=45°，α3=30°，再利用兩角和的正切公式求得tan（α2+α4）的值，可得α2+α4的值．【解答】解：由題意可得，α1、α2、α3、α4最都是銳角，且α1=45°，tanα2==，tanα3==，∴α3=30°，tanα4==，∴α1+α3=75°．又tan（α2+α4）===≈1.87≈tan60°，故（α2+α4）接近60°，故與α1+α2+α3+α4最接近的角是75°+60°=135°，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，直角三角形中的邊角關(guān)系，屬于中檔題．2.已知函數(shù)的反函數(shù)為則A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：C略3.設(shè)集合，則

A.{0，1}

B.{-1，0，1}

C.{0，1，2}

D.{-1，0，1，2}參考答案：A因為，，所以，選A.4.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（ ）A．

B．

C．

D．參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：∵（i﹣1）z=i，∴，∴z的虛部是﹣．故選：D．5.在等比數(shù)列中，若，，則該數(shù)列前5項的積為（

）A．±3

B．3

C．±1

D．1參考答案：D6.設(shè)函數(shù)f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若實(shí)數(shù)a，b滿足f（a）=0，g（b）=0，則(

) A．0＜g（a）＜f（b） B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a） D．g（a）＜0＜f（b）參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：先判斷函數(shù)f（x），g（x）在R上的單調(diào)性，再利用f（a）=0，g（b）=0判斷a，b的取值范圍，即可得到正確答案．解答： 解：∵y=ex和y=x﹣2是關(guān)于x的單調(diào)遞增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=ex+x﹣2在R上單調(diào)遞增，分別作出y=ex，y=2﹣x的圖象如右圖所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上單調(diào)遞增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=eb+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故選：D．點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)圖象．熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．7.為了得到函數(shù)的圖像，只要把上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)縮短為原來的，橫坐標(biāo)不變參考答案：B8.如果執(zhí)行右面的程序框圖，則輸出的結(jié)果是

A．—5

B．—4

C．—1

D．4參考答案：A略9.已知中，角A、B、C的對邊分別為、、，已知，則cosC的最小值為A. B.

C.

D.參考答案：C略10.已知z=（）2016（i是虛數(shù)單位），則z等于（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法以及乘方運(yùn)算法則化簡求解即可．【解答】解：z=（）2016===1．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域為A，若時總有，則稱為單函數(shù)，例如，函數(shù)是單函數(shù)，下列命題：①函數(shù)是單函數(shù)②函數(shù)是單函數(shù)③若為單函數(shù)，且，則④函數(shù)在定義域內(nèi)某個區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在定義域內(nèi)一定是單函數(shù)。其中的真命題是______________（寫出所有真命題的編號）參考答案：略12.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則__________.參考答案：13.若的展開式中的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)_________。參考答案：14.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+3b=7，則+的最小值為

．參考答案：．【分析】構(gòu)造基本不等式的性質(zhì)即可求解．利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：正實(shí)數(shù)a，b，即a＞0，b＞0；∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14則，那么：（+）（）=≥=當(dāng)且僅當(dāng)2（a+1）=（b+2）時，即取等號．∴+的最小值為：，故答案為：．15.在中，角的對邊分別為，，，，則_______．參考答案：試題分析：由正弦定理得：即，∴，∵，∴.考點(diǎn)：正弦定理.16.正項等比數(shù)列=____________.參考答案：9略17.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)()中，曲線與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_____________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某中學(xué)一位高三班主任對本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

積極參加班級工作不積極參加班級工作合計學(xué)習(xí)積極性高18725學(xué)習(xí)積極性不高61925合計242650（Ⅰ）如果隨機(jī)調(diào)查這個班的一名學(xué)生，那么抽到不積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率是多少？（Ⅱ）若不積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性高的7名學(xué)生中有兩名男生，現(xiàn)從中抽取兩名學(xué)生參加某項活動，問兩名學(xué)生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）學(xué)生的積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系？請說明理由．附：K2=p（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）隨機(jī)調(diào)查這個班的一名學(xué)生，有50種情況，抽到不積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生，有19種情況，即可求出概率；（Ⅱ）利用列舉法確定基本事件的個數(shù)，即可求出兩名學(xué)生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）求出K2，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）隨機(jī)調(diào)查這個班的一名學(xué)生，有50種情況，抽到不積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生，有19種情況，故概率是…（Ⅱ）設(shè)這7名學(xué)生為a，b，c，d，e，A，B（大寫為男生），則從中抽取兩名學(xué)生的所有情況是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21種情況，其中含一名男生的有10種情況，∴．…（Ⅲ）根據(jù)∴我們有99.9%把握認(rèn)為“學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度”有關(guān)系．…19.在。（1）若。（2）若。參考答案：（1）由余弦定理及已知條件，得。又因為的面積等于（2）由題意，得.當(dāng)由正弦定理得所以。20.(本小題滿分12分)已知，，且//．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式．（2）若在銳角中，，邊，求周長的最大值．參考答案：解：(1)因為//，所以，

……2分所以

………4分(2)∵，∴．∵，∴．

………6分又，解法一：由正弦定理知，得，∴，，∴的周長為

………7分．

………8分∵，∴，則，所以，∴周長的最大值為．

………10分解法二：由余弦定理知，，，

………7分，，

………8分∴，，∴周長的最大值為．

………10分略21.已知滿足，．（1）求，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明對的猜想.參考答案：（1），，；（2）證明見解析.試題分析：（1）依題意，有，，故猜想；（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時，，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)）時，猜想成立，即，證明當(dāng)時，也成立.結(jié)合①②可知，猜想對一切都成立.試題解析：則當(dāng)時，…10分即對時，猜想也成立；

………11分結(jié)合①②可知，猜想對一切都成立.

………12分考點(diǎn)：合情推理與演繹推理、數(shù)學(xué)歸納法．22.已知函數(shù)R.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)的定義域為，.………1分(i)當(dāng)時，恒成立，時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞減；……2分(ii)當(dāng)時，由得，（舍去），①當(dāng)，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；……3分②當(dāng)，即時，或時，恒成立，在，單調(diào)遞增；時，恒成立，在上單調(diào)遞減；……………4分③當(dāng)即時，或時，恒成立，在單調(diào)遞增；時，恒成立，在上單調(diào)遞減；……………5分綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．…………………6分(2)由(1)知，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又因為，

…………………7分取，令，，則在成立，故單調(diào)遞增，，，（注：此處若寫“當(dāng)時，”也給分）所以有兩個零點(diǎn)等價于，得，