數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）5-1-1 任意角（學(xué)案）

5.1任意角和弧度制5.1.1任意角【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負(fù)角與零角.2.理解象限角的概念.（重點(diǎn)）3.理解并掌握終邊相同的角的概念，能熟練寫(xiě)出終邊相同的角所組成的集合.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1.直觀想象2.數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】一.任意角1.角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條繞著它的端點(diǎn)所成的.2.角的表示：如圖所示：角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：，終邊：，頂點(diǎn).3.角的分類(lèi)：名稱(chēng)定義圖示正角一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線(xiàn)

做任何旋轉(zhuǎn)形成的角這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（要注意旋轉(zhuǎn)方向和大?。?。二．象限角1.把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾_______；如果角的終邊在，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.2.象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}三．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.思考：終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？【小試牛刀】1.思辨解析(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)第二象限角是鈍角.()(2)零角的始邊與終邊重合．()(3)終邊與始邊重合的角為零角.()(4)終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.()(5)三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角.()2.經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是（）.A.60°，720°B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°【經(jīng)典例題】題型一終邊相同角的表示點(diǎn)撥：終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論：1.終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍；2.終邊在同一直線(xiàn)上的角之間相差180°的整數(shù)倍．3.終邊在相互垂直的兩條直線(xiàn)上的角之間相差90°的整數(shù)倍．例1已知θ＝－290°.(1)把θ改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求α，使α與θ終邊相同，且－1000°<α<－300°.【跟蹤訓(xùn)練】1(1)若角2α與240°角的終邊相同，則α等于（）.A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z(2)如圖所示，求終邊落在直線(xiàn)y＝eq\r(3)x上的角的集合．題型二區(qū)域角的表示點(diǎn)撥：區(qū)域角是指終邊在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．例2如圖所示.(1)寫(xiě)出終邊落在射線(xiàn)OA，OB上的角的集合；(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.【跟蹤訓(xùn)練】2寫(xiě)出角的終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合(包括邊界)．題型三判斷角eq\f(α,n)，nα(n∈N*)所在象限點(diǎn)撥：1.已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：(1)用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對(duì)n的取值分情況討論：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，從而得出結(jié)論．(2)作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線(xiàn)，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是根據(jù)角α終邊所在的象限確定角eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，角eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出．2.已知角α終邊所在的象限，確定nα終邊所在的象限，可依據(jù)角α的范圍求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．注意不要漏掉nα的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．例3若α是第一象限角，eq\f(α,3)是第幾象限角？【跟蹤訓(xùn)練】3若α是第二象限角，求角2α的終邊的位置．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.與－460°角終邊相同的角可以表示成（）.A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z2.(多選)下列四個(gè)角為第二象限角的是（）.A.－200°B.100°C.220°D.420°3.已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限4.在0°～360°范圍內(nèi)，與角－60°的終邊在同一條直線(xiàn)上的角為_(kāi)___________.5.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是__________________________.6.寫(xiě)出終邊在直線(xiàn)y＝x上的角的集合S.S中滿(mǎn)足不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)圖形OA.OB.O逆時(shí)針順時(shí)針沒(méi)有原點(diǎn)終邊象限角坐標(biāo)軸上{β|β＝α＋k·360°，kZ}思考：終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角，終邊相同．【小試牛刀】1.×√×√×2.B解析；鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過(guò)的角度都是負(fù)的，而eq\f(2,12)×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是－60°，－720°.【經(jīng)典例題】例1解：(1)因?yàn)棣龋剑?90°＝－360°＋70°.所以把θ改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式為θ＝－360°＋70°，它是第一象限角．(2)與－290°角終邊相同的角為α＝k·360°＋70°(k∈Z)，由－1000°<k·360°＋70°<－300°，得－107<36k<－37.因?yàn)閗∈Z，所以k＝－2，此時(shí)α＝－650°.即所求滿(mǎn)足條件的α為－650°.【跟蹤訓(xùn)練】1(1)B解析：角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.(2)終邊落在射線(xiàn)y＝eq\r(3)x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在射線(xiàn)y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是終邊落在直線(xiàn)y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.例2(1)解：終邊落在射線(xiàn)OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.終邊落在射線(xiàn)OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.(2)解：終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.【跟蹤訓(xùn)練】2解：在0°～360°范圍內(nèi)，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．例3解：∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分類(lèi)討論)：當(dāng)k＝3n(n∈Z)時(shí)，n·360°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；當(dāng)k＝3n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋120°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第二象限角；當(dāng)k＝3n＋2(n∈Z)時(shí)，n·360°＋240°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第三象限角．綜上可知：eq\f(α,3)是第一、二或第三象限角．法二(幾何法)：如圖，先將各象限分成3等份，再?gòu)膞軸的非負(fù)半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上1,2,3,4，則標(biāo)有1的區(qū)域即為eq\f(α,3)終邊所落在區(qū)域，故eq\f(α,3)為第一、二或第三象限角．【跟蹤訓(xùn)練】3解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.C解析：因?yàn)椋?60°＝260°＋(－2)×360°，故與－460°角終邊相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.2.AB解析：－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范圍內(nèi)，與－200°終邊相同的角為160°，它是第二象限角，同理100°為第二象限角，220°為第三象限角，420°為第一象限角.3.D解析：由于k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得eq\f(k,2)·360°＋90°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋135°，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第二象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第四象限角．4.120°，300°解析：與角－60°的終邊在同一條直線(xiàn)上的角可表示為β＝－60°＋k·180°，k∈Z.所求角在0°～360°范圍內(nèi)，即0°≤－60°＋k·180°≤360°，解得eq\f(1,3)≤k≤eq\f(7,3)，k∈Z，k＝1或2，當(dāng)k＝1時(shí)，β＝120°，當(dāng)k＝2時(shí)，β＝300°.5.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}解析：觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}.6.解：如圖，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出直線(xiàn)y＝x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸