偏微分方程1與共軛系統(tǒng)13pld1恒溫hl

偏微分方程1與共軛系統(tǒng)13pld1恒溫hl

對稱性反映了客觀物質世界結構的規(guī)律，而守規(guī)規(guī)律反映了客觀物質世界運動變化的規(guī)律。它們緊密相連。側微分方程的守規(guī)法是對薄弱環(huán)節(jié)（pdes）的嚴格法律的數(shù)學推廣，例如質量守衡、能量守衡、動態(tài)勢衡等經典物理概念的數(shù)學推廣，可以描述pdes運動變化的特點。守規(guī)法在pdes的解算方法和安全調整中發(fā)揮著重要作用。它的結構和應用是數(shù)學、物理和力學領域的研究主題。20世紀初，諾里斯。本文基于Cheviakov的遞推公式1求解pdes的lie對稱給定一個PDE系統(tǒng)其中x=(x定義1對于PDE系統(tǒng)R給出.當自變量是時間和空間兩個變量,即x={t,{x其中Θ[u]是局部守恒密度,Φ對于完全非退化的PDE系統(tǒng),任何局部守恒律(3)有一種等價特征形式其中{Λ最近,Cheviakov博士等引理1設(1)是具有自變量x={x公式(6)等價于下列表達式顯然,函數(shù)f(x)在(7)中起守恒乘子Λ注1我們發(fā)現(xiàn),如果給定PDE系統(tǒng)(1)能寫成一個完全散度表達式,此時對任意的可微函數(shù)f=f(x,u)和系統(tǒng)(1)的任意解u=u(x),公式(6)仍成立且等價于表達式(7).眾所周知,若一個可微函數(shù)組F其中從而,我們有如下引理:引理2散度表達式(6)對于PDE系統(tǒng)R對任意可微函數(shù)u都成立.Lie對稱方法是求解和分析PDEs的經典方法.設PDE系統(tǒng)(1)單參數(shù)Lie對稱對應的無窮小生成元為其中ξ其中PDE系統(tǒng)(1)的Lagrangian函數(shù)其中{v注2我們發(fā)現(xiàn),利用直接方法Ibragimov教授把給定PDE系統(tǒng)(1)及共軛系統(tǒng)(13)與其對稱、Lagrangian函數(shù)和變分導數(shù)融合為一體,推出構造PDE系統(tǒng)(1)及共軛系統(tǒng)(13)守恒律的一種新定理.定理1PDE系統(tǒng)(1)的每個Lie點對稱(10)都產生方程組(1)和方程組(13)的一組守恒律,其對應守恒向量由公式給出,這里i=1,…,n,α=1,…,m,w2采用離散度公式和新的守固定系數(shù)，形成pdes的守固定格式2.1.系統(tǒng)中自變量及因變量的影響先考慮非線性電報(NLT)方程其中自變量為x,t,因變量為u(x,t),且G(u)為單位長度的泄漏電流,F(u)為微分電容.2.1.1用遞推公式構造nlt方程的守守律根據(jù)公式(5)和Euler算子,可以得到NLT方程(15)對應的乘子Λ=1,Λ=t,Λ=x和Λ=xt.借助遞推公式(6)可得到NLT方程的幾個局部守恒律.從方程(15)可以看出它有固有局部守恒律(與乘子Λ=1對應)對于(16)的兩邊分別乘以t和x,并用遞推公式(6)得到如下兩個守恒律再對(17)兩邊乘以x或對(18)兩邊乘以t,并用遞推公式(6)得到第三個守恒表達式2.1.2新守守定理的構造NLT方程(15)有如下兩個對稱由(12)引入勢函數(shù)v,得到(15)的Lagrangian函數(shù)為L=v[u下面,我們利用Ibragimov的新守恒定理(定理1),可以構造(15)的如下守恒律:故借助公式(14)得到方程(15)的守恒律向量故由公式(14)得到方程(15)的守恒律向量由于v為任意函數(shù),我們構造的上述兩個守恒律均為NLT方程(15)的無窮多守恒律,這對其線性化方面具有重要意義.2.2長波方程的守固定規(guī)律我們再考慮長水波方程組其中u=u(x,t)和v=v(x,t)分別表示從液體平衡位置偏離的水平速度場及鉛直速度場.2.2.1e鞣理算子的算子從方程組(20)可以直接看到其固有局部守恒律根據(jù)公式(5)和Euler算子,可以得到方程組(20)對應的四組乘子(Λ(1)用Λ(2)用Λ(3)用Λ(4)用Λ自上述四組守恒律中(25)和(26)只是原方程組(20)中一個方程的守恒律.2.2.2方程20的堅守律向量方程組(20)有如下四個對稱由公式(14),我們得到方程(20)的守恒律向量當m當m由公式(14),我們得到方程組(20)的守恒律向量當m當m當m3新恒律方法在本文中,我們分別用遞推公式和新守恒定理構造了非線性電報方程和長水波方程組的守恒律.對遞推公式而言,給定方程具有散度結構是構造其守恒律的關鍵.若PDEs以散度形式出現(xiàn),那么把乘子函數(shù)推廣為任意具有自變量和因變量的函數(shù),即f=f(x,u),進而可以用遞推公式構造其守恒律.新守恒定理是微分方程及其共軛方程與對應點對稱、Lagrangian函數(shù)、變分導數(shù)和守恒律之間構建深層次關系的有效方法.在新守恒定理中,可以利用直接方法求出其共軛系統(tǒng)的勢函數(shù)解,進而得到給定方程的局部守恒律.兩種方法雖然在構造PDEs守恒律的機制上不同,但在引入乘子上具有共性,在構造PDEs的守恒律方面各自發(fā)揮重要作用.由公式(12)構造方程組(20)的Lagrangian函數(shù)其中m=m(t,x,u,v),n=n(t,x,u,v)是新引進的勢函數(shù).再由Euler算子作用于(27)的兩邊,得到方程組(20)的共軛方程組解方程(28),得到其四組解下面,利用Ibragimov的新守恒定