彈性力學(xué)課件一六

第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements

4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?P64)qa

qb

abHollowCylinderSubjectedtoUniformPressures例1.

圖示圓環(huán)或圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受均布內(nèi)壓qa和均布外壓qb作用Ahollowcylinderwithinnerradiusaandouterradiusbissubjectedtointernalpressureqaandexternalpressureqb.由于結(jié)構(gòu)軸對(duì)稱(chēng)，荷載軸對(duì)稱(chēng)，所以應(yīng)力分量也是軸對(duì)稱(chēng)，直接利用公式Evidentlythestressdistributionmustbeaxisymmetrical.利用邊界條件求待定常數(shù)A、B、C恒滿(mǎn)足邊界條件：qa

qb

考察環(huán)向位移(forcircumferentialdisplacement)：是多值項(xiàng)，對(duì)于同一r，當(dāng)不同，該項(xiàng)有不同的值，而在此軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中，這是不可能的(P65)由上述兩個(gè)邊界條件不能完全確定A、B、C，因此要考慮位移單值條件NowthetwoequationsarenotsufficienttodeterminethethreeconstantsA,B,Candwehavetoconsidertheconditionofsingle-valueddisplacement.Inthehollowcylinder,thisisphysicallyimpossible.根據(jù)位移單值條件，可知：B=0上述邊界條件變?yōu)椋鹤詈笄蟮茫河懻搳W只有遷內(nèi)壓回或只篩有外聯(lián)壓?jiǎn)悟叒?dú)作裝用的遵情況a、只有慶內(nèi)壓翁力的藝作用袖：qb=0Ifqb=0英(臣o(jì)n停ly喪i掩nt慢er病na公l委pr話(huà)es己su梨reqa=0機(jī)a范ct闖s)長(zhǎng),結(jié)論赴：r總為薪壓應(yīng)浴力，滅

為拉值應(yīng)力應(yīng)力分布如圖所示：

r

qa當(dāng)圓環(huán)或圓筒的外半徑b時(shí)，它就成為具有圓孔的無(wú)限大薄板，或具有孔道的無(wú)限大彈性體，應(yīng)力分量為

ris暢a異lw讀ay甜s霜co情mp肌re獵ss儀io耀n絨an晉d

is下a彈lw柳ay市s勒te撕ns圍io盆n.Wh譜en散t戒he數(shù)o虎ut勞er臥r沸ad母iu折s潮b參is跳m場(chǎng)uc詞h艘la衡rg堪e教th凳an瘡t專(zhuān)he袋i誦nn烏er錘r海ad志iu齡s眼a,扮t遮he裕c船yl液in爺de手r特be謙co紹me道s棍a摘la粥rg搖e悶bo追dy估w芒it恨h養(yǎng)a井sm劃al諒l攤ci磁rc隊(duì)ul悅ar屢h臨ol逝e絲式of惱r潑ad霸iu內(nèi)s格a丟.應(yīng)力嗽與a2/r2成正鈔比，紅當(dāng)r遭a時(shí)，沉應(yīng)力植分量額很小軍，這扣也證家實(shí)了昨圣維宣南原襯理At留t張he敬e胡dg安e跳of污t短he芽h失ol嘗e(喝r=猾a)臉,r=-qaan裁d

=-qa.At品a淺l部ar柱ge郵d示is童ta眉nc禿e棕fr綢om晌t卷he察h柔ol過(guò)e,堂t且he業(yè)s賭tr估es欲se路s貫ar奏e膝ne悉gl謝ig塞ib牲ly毫s桌m(xù)a島ll圖.b、只有外壓力的作用：qa=0Ifqa=0(onlyexternalpressureqb=0acts),Bo鏡th說(shuō)

ran現(xiàn)d

ar擾e臘al母wa眉ys窄c撓om歇pr坊es去si極on錦.應(yīng)力分布如圖所示：

r

qbTh瘡e探di餡st齒ri沙bu賞ti罵on消o翻f巧th帥e別no播rm趙al挨s貸tr敢es柴se僵s墨is桌a費(fèi)pp齊ro世xi歷ma捐te帽ly承s濕ho所wn鐮i奏n歸th野e購(gòu)fi株gu秒re宜b站el捐ow鉤,4—蠻9令圓孔魄的孔桐邊、駛應(yīng)力傍集中一、案應(yīng)力嚴(yán)集中(st串re廳ss鋤c化on此ce姜nt誤ra熱t(yī)i槍on扶)：具有犁小孔努的彈艙性體跡，受善力時(shí)銅孔邊準(zhǔn)的應(yīng)失力遠(yuǎn)腥大于求無(wú)孔酷時(shí)的酬應(yīng)力畢或距弦孔邊辮稍遠(yuǎn)魂處的脊應(yīng)力悟，這帝種現(xiàn)匹象稱(chēng)廣為應(yīng)采力集恰中現(xiàn)忘象二、奔應(yīng)力盒集中盡的原搞因：不是摟由于遮截面泡減小弟而使娘應(yīng)力潑增大免，而特是由懸于孔競(jìng)的存略在，陪孔附駛近的龍應(yīng)力鼠狀態(tài)功與應(yīng)阿變狀擾態(tài)完吵全改植變了Ef踩f(wàn)e筍ct失o誕f煤ci賤rc木ul嬸ar臭h澇ol躺es抄o刃n脅st奸re育ss徑d視is摧tr堅(jiān)ib掀ut劣io儲(chǔ)n三、答應(yīng)力噴集中語(yǔ)的特賤點(diǎn)：（1辦）局蛾部現(xiàn)組象：旱離孔愧越遠(yuǎn)繁，應(yīng)慌力集濕中現(xiàn)醉象消咳失越肯快（2補(bǔ)）應(yīng)俱力集貍中程削度與陵孔的括形狀改有關(guān)贊，圓鍋孔較懸??；遞尖角嘆孔應(yīng)寬力集船中程最度高（3喜）同池樣形眨狀的沒(méi)孔，殿應(yīng)力期集中更的倍材數(shù)與么孔的喝大小罩無(wú)關(guān)四、灑圓孔執(zhí)的孔工邊應(yīng)蟲(chóng)力集擔(dān)中問(wèn)紀(jì)題圓孔霞的孔暴邊應(yīng)槍力可專(zhuān)以用總較簡(jiǎn)轉(zhuǎn)單的暈數(shù)學(xué)方工具繁描述xyaqqqq例2臭.圖示襖矩形舟薄板讀離邊執(zhí)界較雁遠(yuǎn)處攤有半抱徑為a的小踩圓孔崖，板訪(fǎng)四邊磨承受叨均布川拉力q坐標(biāo)叨軸如微圖所狐示，嗓因?yàn)榍覀冨N要研幫究孔估邊應(yīng)向力，目所以讀采用奮極坐核標(biāo)a、矩形槍薄板仇四邊途受拉Ef辨fe案ct姨o源f血ci坐rc犧ul或ar裹h朝ol小es蓬o語(yǔ)n斬st描re疾ss愿d圣is觸tr鄉(xiāng)豐ib格ut雖io干nxyaqqqq將直邊變換成圓邊，用長(zhǎng)度ba為半徑作一大圓，取此帶孔的圓環(huán)為隔離體b由于皇應(yīng)力案集中丹的局澤部性原，在姐大圓列周處盞，應(yīng)竟力情夕況與打無(wú)孔哀時(shí)相酸同將直邊的邊界條件：變換成圓環(huán)邊邊界條件左右邊：上下邊：原來(lái)誦的問(wèn)蘭題就柳轉(zhuǎn)換也成這蘇樣一夏個(gè)新灰問(wèn)題影：內(nèi)春半徑伴為a，外半撐徑為b的圓扣環(huán)，蔽在外添邊界給受拉肺應(yīng)力罷

r的作現(xiàn)用，舒如圖q其解踢答可智用前賺面討狼論過(guò)領(lǐng)的圓以環(huán)受離均布戲壓力詢(xún)時(shí)的新解答泛（拉束密解咳），伍即：因?yàn)閎a，所以應(yīng)力分量表達(dá)式變?yōu)閤yaqqqq例3獲.測(cè)圖示援帶小悅孔矩惡形薄韻板左籮右兩壓邊承童受均暑布拉虹力q，上下致兩邊味承受貢均布纏壓力b、矩形禽薄板龜左右存兩邊抱受均匪布拉宜，上限下兩阻受均峽布?jí)禾幚矸椒ㄍ?，用圓邊（半徑ba）帶替直邊，取圖示圓環(huán)為隔離體變換成圓環(huán)邊邊界條件將直邊的邊界條件：左右邊：上下邊：原來(lái)忍的問(wèn)內(nèi)題就良轉(zhuǎn)換塞成這求樣一潛個(gè)新忽問(wèn)題洪：內(nèi)熊半徑散為a，外半皂徑為b的圓航環(huán)，爆在外垃邊界閉受拉姻應(yīng)力侄

r=q餃co筑s2丑

和剪慎應(yīng)力遵

r=-沿qs風(fēng)in司2的作地用孔邊閘的邊孫界條叮件為磨：用半嚼逆解四法：因?yàn)樗源?，可換假設(shè)急應(yīng)力朗函數(shù)燭：將其態(tài)代入奧相容榆方程騙：解此微分方程得：應(yīng)力分量：A、這B、丘C、假D為待故定?？蹟?shù)，計(jì)由邊搶界條塞件確里定將應(yīng)力分量代入以下邊界條件：由此睜求得A、士B、融C、儉D當(dāng)A、B、C、D為：最后足求得行應(yīng)力莖分量夸為：c、矩形四薄板頃左右麻兩邊猜受不塞相等膀的均火布拉者力xyaq1q1q2q2xya（q1-q2）/2（q1-q2）/2（q1-q2）/2（q1-q2）/2xya（q1+q2）/2（q1+q2）/2（q1+q2）/2（q1+q2）/2將兩惕部分濟(jì)解答北疊加覺(jué)，即債得q1、q2作用府下的衡應(yīng)力蔥分量例4、帶圓孔的矩形薄板，受均布拉力，求應(yīng)力分量xyaqqxyaq/2q/2q/2q/2xyaq/2q/2q/2q/2+其應(yīng)位力分督量為機(jī)：討論派：1、孔邊應(yīng)力：r=a，

r=0，r=0xyaqq

0

30

45

60

90

-q0q2q3q2、黑沿y軸應(yīng)秀力：=它90

或=潮-9詢(xún)0

xyaqq

r

a2a3a4a

3q1.22q1.07q1.04q求得：

3、愿沿x軸應(yīng)玩力：=趁0

xyaqq求得：

-0.1924qa0-q

合力a

a

r應(yīng)力分布圖如下：xyaqq3q3qqq-q歸納續(xù)：（1墻）上追述