2019年全國高考II卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

2019年全國高考II卷理科數(shù)學(xué)試題及答案2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.在答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號。2.答案必須寫在答題卡上，本試卷和草稿紙上的答案無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題：1.根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則，化簡復(fù)數(shù)，得到答案D。2.根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到答案A。3.通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像，得到答案B。4.根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果，得到答案B。5.根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得到答案A。6.先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB，得到答案A。點(diǎn)睛：解空間幾何問題，需要熟練掌握向量的基本概念和運(yùn)算，能夠靈活運(yùn)用向量的數(shù)量積、叉積、模長等性質(zhì)求解空間幾何問題，同時(shí)還需要掌握空間圖形的投影、截面等概念和方法，能夠通過建立坐標(biāo)系、利用向量夾角等方法解決空間幾何問題。}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為a，公差為d，則有a1=a，an=a+(n-1)d.由已知得a1+a2=5，a2+a3=7，a3+a4=9，解得a=1，d=2.所以an=2n-9，代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sn=n(2n-7).（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sn=n2-8n，化簡得Sn=(n-4)2-16，所以Sn的最小值為-16，當(dāng)n=4時(shí)取得.點(diǎn)睛：在解決等差數(shù)列問題時(shí)，需要掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及二次函數(shù)的對稱軸和最值的求法.18.已知函數(shù)f(x)=2x3+3x2-36x+1，g(x)=ax2+bx+c，滿足g(2)=f(2)，g(3)=f(3)，g(4)=f(4)，求g(x)的解析式.【答案】g(x)=2x2-5x+7.【解析】分析：由已知條件列出方程組，解出a，b，c，代入g(x)的一般式中即可得到解析式.詳解：由g(2)=f(2)得4a+2b+c=3，由g(3)=f(3)得9a+3b+c=34，由g(4)=f(4)得16a+4b+c=117.解得a=2，b=-5，c=7，代入g(x)的一般式g(x)=ax2+bx+c，得到g(x)=2x2-5x+7.點(diǎn)睛：在解決函數(shù)的解析式問題時(shí)，需要掌握函數(shù)值相等的條件，以及列方程組解未知數(shù)的方法.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，點(diǎn)P(x,y)滿足條件PA2+PB2+PC2+PD2=8，求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】x2+y2=2.【解析】分析：根據(jù)點(diǎn)到四個(gè)定點(diǎn)的距離平方和的條件，列出方程，化簡得到點(diǎn)P的軌跡方程.詳解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則有PA2=(x-1)2+y2，PB2=x2+(y-1)2，PC2=(x+1)2+y2，PD2=x2+(y+1)2.代入條件PA2+PB2+PC2+PD2=8，化簡得到x2+y2=2.點(diǎn)睛：在解決軌跡方程問題時(shí)，需要掌握點(diǎn)到定點(diǎn)的距離公式，以及化簡方程的技巧.20.已知函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=f(x)+x，h(x)=f(x)-x，求證：對于任意x>0，都有g(shù)(x)h(x)≥f2(x).【答案】證明：將g(x)h(x)-f2(x)化簡得到x2(x-1)ln2x≥0，由于x>0，所以x-1<0或x>1，當(dāng)x-1<0時(shí)，x<1，此時(shí)x2<1，ln2x<0，所以x2(x-1)ln2x≥0成立；當(dāng)x>1時(shí)，x2>1，ln2x>0，所以x2(x-1)ln2x≥0成立.所以對于任意x>0，都有g(shù)(x)h(x)≥f2(x)成立.【解析】分析：將g(x)h(x)-f2(x)進(jìn)行化簡，然后分情況討論x的取值范圍，證明不等式成立.詳解：將g(x)h(x)-f2(x)進(jìn)行化簡得到x2(x-1)ln2x≥0，由于x>0，所以x-1<0或x>1，當(dāng)x-1<0時(shí)，x<1，此時(shí)x2<1，ln2x<0，所以x2(x-1)ln2x≥0成立；當(dāng)x>1時(shí)，x2>1，ln2x>0，所以x2(x-1)ln2x≥0成立.所以對于任意x>0，都有g(shù)(x)h(x)≥f2(x)成立.點(diǎn)睛：在證明不等式問題時(shí)，需要掌握化簡式子的技巧，以及分情況討論的方法.21.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+5，g(x)為f(x)的反函數(shù)，求g(1)+g(3)+g(5)的值.【答案】6.【解析】分析：由f(x)的定義可得其反函數(shù)為g(x)=2±√(x-1)，代入g(1)+g(3)+g(5)的式子中計(jì)算得到結(jié)果.詳解：由f(x)=x2-4x+5得到其對稱軸為x=2，所以f(x)的反函數(shù)為g(x)=2±√(x-1).代入g(1)+g(3)+g(5)的式子中得到g(1)+g(3)+g(5)=2-√2+2+√2+2+3=6.點(diǎn)睛：在解決函數(shù)反函數(shù)問題時(shí)，需要掌握對稱軸的求法，以及函數(shù)反函數(shù)的定義和計(jì)算方法.（二）選考題：共10分。22.已知函數(shù)f(x)=2x3+3x2-36x+1，g(x)=ax+b，滿足g(2)=f(2)，g(3)=f(3)，g(4)=f(4)，求g(x)的解析式.【答案】g(x)=x-1.【解析】分析：由已知條件列出方程組，解出a，b，代入g(x)的一般式中即可得到解析式.詳解：由g(2)=f(2)得2a+b=-25，由g(3)=f(3)得3a+b=-10，由g(4)=f(4)得4a+b=25.解得a=1，b=-3，代入g(x)的一般式g(x)=ax+b，得到g(x)=x-1.點(diǎn)睛：在解決函數(shù)的解析式問題時(shí)，需要掌握函數(shù)值相等的條件，以及列方程組解未知數(shù)的方法.23.已知函數(shù)f(x)=x2+3x，g(x)=f(f(x))，求g(x)的解析式.【答案】g(x)=x4+6x3+9x2.【解析】分析：將f(x)代入g(x)的式子中計(jì)算，得到g(x)的解析式.詳解：由f(x)=x2+3x得到f(f(x))=(x2+3x)2+3(x2+3x)=(x4+6x3+9x2)，所以g(x)=x4+6x3+9x2.點(diǎn)睛：在解決函數(shù)復(fù)合問題時(shí)，需要掌握將函數(shù)代入式子中計(jì)算的方法，以及函數(shù)的基本性質(zhì).首先，根據(jù)折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出逐年遞增的趨勢，而且在2010年之后增幅更大，更加明顯。因此，模型②建立的時(shí)間范圍更加接近于未來的情況，更加符合實(shí)際情況。其次，根據(jù)模型①和模型②的預(yù)測值計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)模型②得到的預(yù)測值更高，更加符合目前的趨勢和實(shí)際情況。因此，可以認(rèn)為用模型②得到的預(yù)測值更可靠。20.如圖所示，有一個(gè)三棱錐，要證明：（1）點(diǎn)P到平面ABC的距離等于點(diǎn)P到平面OAB的距離；（2）若點(diǎn)M在棱BC中點(diǎn)D上，則角AMB與平面ABC的夾角的正弦值為1/√2。解析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，可以得到PO垂直AC，再通過勾股定理可以得到PO垂直O(jiān)B。因?yàn)镻O垂直于平面ABC和平面OAB，所以根據(jù)線面垂直判定定理可以得到結(jié)論。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)已知條件可以列出平面PAM的法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)的關(guān)系列方程，解得M的坐標(biāo)。最后利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，根據(jù)線面角與向量夾角互余得到結(jié)果。21.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x-1，要證明：（1）當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；（2）f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，求該零點(diǎn)的值。解析：（1）對f(x)求導(dǎo)數(shù)可以得到f'(x)=3x^2-6x+2，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f'(x)的值恒小于0，所以f(x)單調(diào)遞減。（2）求f(x)的零點(diǎn)，即令f(x)=0，得到x^3-3x^2+2x-1=0。根據(jù)因式定理可以得到(x-1)是該方程的一個(gè)解，所以可以將方程化為(x-1)(x^2-2x+1)=0。因?yàn)閤^2-2x+1可以寫成(x-1)^2的形式，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，即x=1。只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，可以利用函數(shù)零點(diǎn)的情況來求參數(shù)值或取值范圍。具體方法有三種：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解。在第22、23題中任選一題作答。22題為坐標(biāo)系與參數(shù)方程，要求求解直線和曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)以及曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；23題為不等式選講，要求求解一個(gè)函數(shù)的絕對值不等式的解集以及一個(gè)二次函數(shù)的取值范圍。對于22題，可以根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程。注意要分別考慮直線和曲線的兩種情況。然后可以利用直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式來求解交