初中數(shù)學說題稿

初中數(shù)學說題稿實驗中學徐順從本題選自八年級上第一章《三角形的初步知識》之《1.5三角形全等的判定4》的課內(nèi)練習2。解決此題需要掌握垂直的定義，垂直平分線的定義及性質(zhì)，三角形全等的判定，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識。此練習旨在鞏固學生對三角形全等的判定及角平分線的性質(zhì)的理解。學生需要發(fā)散思維，充分聯(lián)系已知與求證，綜合運用已學的知識來解決問題，在眾多的解法中進行選擇，從而獲得解題經(jīng)驗。學生已經(jīng)學會了三角形全等的判定定理“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”，對于證明相等的線段，基本上具備了解決此題的知識儲備和技能。然而，學生往往會思維定勢，聯(lián)想到證明三角形全等，而忽視了此時證明的是垂線段這個重要信息，缺乏相應的想象。學生可能的解法有：1、先證明△ADC?△ADB得∠B=∠C，再證明△DCM?△DBN，得到DM=DN；2、先證明△ADC?△ADB得∠CAD=∠BAD，再證明△DAM?△DAN，得到DM=DN；3、先證明△ADC?△ADB得AD是角平分線，再利用角平分線的性質(zhì)，得到DM=DN。在教學中，應引導學生充分思考，探索更多的解題方法，如能否利用角平分線的性質(zhì)等。綜上，此題能夠幫助學生鞏固三角形全等的判定及角平分線的性質(zhì)，并培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和綜合運用知識的能力。針對學生對于證明垂線段相等的方法不夠全面和充分發(fā)揮題目價值的問題，我在第二節(jié)課時進行了改進。首先，在講解角平分線的性質(zhì)前，我做好了鋪墊，引導學生理解角平分線上的點到角兩邊的距離相等，這個距離指的是垂線段的長度。同時，在應用角平分線性質(zhì)時，我強調(diào)了具備三個條件：角平分線和兩條垂線段。其次，在講解時，我讓學生自己說出各自的解法。當大部分學生只想到前兩種方法時，我進行了如下的引導啟發(fā)：關注條件，所求證的DM=DN，與它相關的條件是什么？DM⊥AC，DN⊥AB，發(fā)現(xiàn)所證明的兩條線段與眾不同，它們是垂線段，再啟發(fā)學生對垂線段展開聯(lián)想。由“垂線段”能聯(lián)想到什么？這時學生積極思考，而且有驚喜。有了剛才的鋪墊和現(xiàn)在的啟發(fā)，有學生聯(lián)想到了剛學過的角平分線的性質(zhì)。問題轉(zhuǎn)化為證明AD是∠BAC的平分線。驚喜的是有的學生在啟發(fā)引導下，由垂線段聯(lián)想到了三角形的高，進而聯(lián)想到三角形的面積。由中線將三角形的面積二等分得SADBSADC，要證DM=DN，只需證明AB=AC。通過這道題目，我們可以得到以下收獲：證明相等的線段，一般可通過證明兩條線段所在的三角形全等；對于證明垂線段相等時，可聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)或利用三角形面積等；對解題方法進行比較，讓學生從中選優(yōu)，體現(xiàn)最優(yōu)化思想。有些學生喜歡利用三角形全等，因為他們最擅長；有些學生喜歡利用角平分線的性質(zhì)，因為它最直接；有些學生喜歡利用等積法，因為解法巧妙。在幾何教學中，我們也經(jīng)常利用等積法，如可由面積相等這個等量關系來解決問題，也可以利用面積相等進行等積變形，改變圖形的形狀以便于求解，是個非常巧妙的方法。因此，我對此進行了有關計算、推理的拓展與命題，讓學生養(yǎng)成解題后反思的習慣，促進學生會反思，形成一定的解題經(jīng)驗，讓學生選優(yōu)體現(xiàn)解題方法的優(yōu)化。拓展1：已知在直角三角形ABD中，AD=4，BD=3，DN⊥AB，N為垂足，則DN=3.6。這道題目在原題的基礎上進行了拓展，滲透了等積法。拓展2：已知在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D為邊BC上一點，DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分別為垂足。隨著點D在線段上運動，DM+DN的值不發(fā)生改變。在BC線段上改變點D的位置，問兩條垂線段的和是否改變。學生可能會通過“截長補短”法解決問題，但更巧妙的方法是利用等積變形來解決，因為所求的垂線段的和就是一腰上的高。這樣的設計意圖是為了讓學生通過改變條件來解決問題，從而培養(yǎng)他們解決問題的能力。某數(shù)學興趣小組組織了以“等積變形”為主題的課題研究。第一小組發(fā)現(xiàn)，如果點A、點B在直線l1上，點C、點D在直線l2上，且SABC=SABD，則l1//l2；反之，如果l1//l2，則SABC=SABD。第二小組發(fā)現(xiàn)，對于反比例函數(shù)y=k/x上的任意一點P，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，則矩形OMPN的面積為定值k?？梢岳眠@些結(jié)論來解決一些問題。第一小組的問題是關于“同底等高”、“等底同高”、“等底等高”三個概念的應用。第二小組的問題是反比例函數(shù)的幾何意義，即圖象上的點與坐標軸圍成的矩形面積不變。第三小題考查等積變形，其中第一題是在圓中求不規(guī)則圖形面積，可以利用等積變形將陰影圖形轉(zhuǎn)化為扇形；第二題是求三角形面積，需要利用正方形對角線構(gòu)造平行線，將S△CEF轉(zhuǎn)化為S△AEF，也可以運用割補法；第三題是求直角坐標系中斜放的三角形面積，可以利用反比例函數(shù)的幾何意義，即S△AOC=S△BOD，從而得出S△AOE=S四邊形CDBE。設計意圖：本文介紹了等積法的應用，包括基本圖形和拓展題目。通過對拓展題目的分析，可以綜合應用等積法解決各種問題。拓展4中，給出了三角形ABC和拋物線y=ax^2-10ax+c，要求證明四邊形ABCD是菱形，求點D的坐標，求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達式，以及是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等，若存在，求點P的坐標。首先，可以利用等積法證明四邊形ABCD是菱形。將三角形ABC沿直線BC翻折，點A的對應點為D。則三角形ABD和BCD等積，因此ABCD是菱形。點D的坐標為(10,8)。其次，可以求出拋物線的對稱軸和函數(shù)表達式。由于拋物線經(jīng)過點C，因此可以將C的坐標代入拋物線的函數(shù)表達式中，得到c=80。又因為拋物線經(jīng)過點D，因此可以將D的坐標代入函數(shù)表達式中，得到a=2。將a和c的值代入函數(shù)表達式y(tǒng)=ax^2-10ax+c中，得到y(tǒng)=5/(x-4x+8)，因此拋物線的函數(shù)表達式為y=5/(x-4x+8)。最后，需要判斷是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等?？梢岳脛狱c的方法，找到點P的坐標。由于菱形ABCD的對角線互相垂直且平分，因此可以得到BD的中垂線是BC的平行線，即點P是BC的平行線與圖象的交點。又因為CD=BD，