《高等代數(shù)與解析幾何二》課程教學(xué)大綱

《高等代數(shù)與解析幾何二》課程教學(xué)大綱課程代碼：ABXX0508課程中文名稱:高等代數(shù)與解析幾何（二）課程英文名稱：HigherAlgebraAndAnalyticGeometryII課程性質(zhì)：必修課程學(xué)分?jǐn)?shù)：4.5課程學(xué)時(shí)數(shù)：72授課對象：信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本課程的前導(dǎo)課程：高中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析一、課程簡介高等代數(shù)與解析幾何是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課。高等代數(shù)具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性,是高等院校理工科各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課。由于高等代數(shù)的主要內(nèi)容是線性代數(shù)，而線性問題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，因此本課程所介紹的理論與方法廣泛應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科。尤其是計(jì)算機(jī)日益普及的今天，該課程的地位與作用更顯得重要。解析幾何和其他自然科學(xué)一樣,是生產(chǎn)實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的,有著豐富的內(nèi)容和實(shí)際背景,廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)、物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)及其他領(lǐng)域。本課程的教學(xué)目的在于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用解析方法解決幾何與實(shí)際問題的能力，掌握幾何的基本知識(shí)和內(nèi)容。二、教學(xué)基本內(nèi)容和要求課程教學(xué)內(nèi)容：1、矩陣的秩與線性方程組1.1、向量組的線性相關(guān)性1.2、向量組的秩1.3、矩陣的秩1.4、線性方程組解的結(jié)構(gòu)2、線性空間2.1、線性空間的定義與簡單的性質(zhì)2.2、子空間2.3、生成元集、線性相關(guān)性、基與維數(shù)2.4、基變換與坐標(biāo)變換2.5、子空間的直和2.6、線性空間的同構(gòu)3、線性變換與相似矩陣3.1、線性變換的定義與性質(zhì)3.2、線性變換的矩陣與相似矩陣3.3、特征值與特征向量3.4、可對角化條件3.5、不變子空間分解4、內(nèi)積空間4.1、內(nèi)積空間的定義與基本性質(zhì)4.2、標(biāo)準(zhǔn)正交基與矩陣的QR分解4.3、正交變換和歐氏空間的同構(gòu)4.4、對稱矩陣及其正交相似標(biāo)準(zhǔn)形5、雙線性函數(shù)與二次型5.1、雙線性函數(shù)與二次型5.2、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形5.3、規(guī)范形與慣性定理5.4、正定二次型與正定矩陣課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)：1、矩陣的秩與線性方程組重點(diǎn)：高斯消元法、矩陣的秩、（齊次）線性方程組有（非零）解的判定，線性方程組解的結(jié)構(gòu)及其求解；難點(diǎn)：線性方程組解的結(jié)構(gòu)及其求解。2、線性空間重點(diǎn)：線性（子）空間的定義、基、維數(shù)及坐標(biāo)的定義和基本性質(zhì)，基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系，線性子空間的交與和的性質(zhì)、維數(shù)公式，線性子空間的直和的定義及判定，線性空間的同構(gòu)；難點(diǎn)：基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系，線性子空間的交與和的性質(zhì)、維數(shù)公式，線性子空間的直和的定義及判定，線性空間的同構(gòu)。3、線性變換與相似矩陣重點(diǎn)：線性變換的矩陣表示和性質(zhì)，線性變換（方陣）的特征值，線性變換（矩陣）的對角化，線性變換的值域、核及不變子空間的定義、性質(zhì)和線性空間的直和分解；難點(diǎn)：線性變換（方陣）的特征值，線性變換（矩陣）的對角化，線性變換的值域、核。4、內(nèi)積空間重點(diǎn)：施密特（Schimidt）正交化過程，正交矩陣、正交變換的定義及性質(zhì)，線性空間的正交分解，對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論；難點(diǎn)：正交矩陣、正交變換，線性空間的正交分解。5、雙線性函數(shù)與二次型重點(diǎn)：二次型[對稱矩陣]的標(biāo)準(zhǔn)形及化簡二次型（對稱矩陣）的理論推導(dǎo)，正定二次型（矩陣），矩陣的合同不變性質(zhì)；難點(diǎn)：正定二次型（矩陣）。課程教學(xué)要求：1、矩陣的秩與線性方程組主要內(nèi)容：高斯消元法，n維向量空間的定義及性質(zhì)，矩陣的秩、秩的性質(zhì)及求法，（齊次）線性方程組有（非零）解的判定，線性方程組解的結(jié)構(gòu)及其求解，求解二元高次方程組的一般方法。要求：掌握線性方程組的高斯消元法。理解和掌握n維向量空間的定義及性質(zhì)，并作一般性推廣。掌握矩陣的秩、秩的性質(zhì)及求法。掌握（齊次）線性方程組有（非零）解的各個(gè)判定定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)，并能熟練求解線性方程組。2、線性空間主要內(nèi)容：線性空間的定義及基本性質(zhì)，基、維數(shù)及坐標(biāo)的定義和基本性質(zhì)，基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系，線性子空間的定義、性質(zhì)、基、維數(shù)，線性子空間的交與和的性質(zhì)、基和維數(shù)，維數(shù)公式，線性子空間的直和的定義及判定，線性空間的同構(gòu)。要求：由第三章§3、§4的內(nèi)容抽象出線性空間的相關(guān)定義，理解和掌握線性空間的定義和基本性質(zhì)。理解掌握基、維數(shù)及坐標(biāo)的定義和基本性質(zhì)，基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。理解掌握線性子空間的定義、性質(zhì)、基、維數(shù)，線性子空間的交與和的性質(zhì)、基和維數(shù)，掌握維數(shù)公式及其的理論推導(dǎo)。理解和掌握線性子空間的直和的定義及判定。理解線性空間之間的同構(gòu)關(guān)系。3、線性變換與相似矩陣主要內(nèi)容：線性變換的定義、性質(zhì)和運(yùn)算，線性變換的矩陣表示和性質(zhì)，線性變換[方陣]的特征值理論，線性變換[矩陣]的對角化，線性變換的值域、核及不變子空間的定義、性質(zhì)和線性空間的直和分解，線性變換[矩陣]的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、極小多項(xiàng)式介紹。要求：理解和掌握線性變換的定義、基本性質(zhì)和運(yùn)算。掌握線性變換的矩陣表示、理論推導(dǎo)和線性變換在不同基下的關(guān)系，理解掌握矩陣相似的定義，并總結(jié)出矩陣的相似不變性質(zhì)。理解掌握特征值理論，掌握矩陣[線性變換]的特征值、特征向量的性質(zhì)和求解方法，了解特征多項(xiàng)式的系數(shù)的意義，理解掌握哈密爾頓-凱萊定理及其理論推導(dǎo)，掌握矩陣可以對角化的幾個(gè)充分或必要條件。理解掌握線性變換的值域、核及不變子空間的定義、性質(zhì)和線性空間的不變子空間直和分解，掌握簡化（線性變換的）矩陣的方法。了解復(fù)矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形理論，掌握最小多項(xiàng)式的定義、性質(zhì)及其對矩陣的影響。4、內(nèi)積空間主要內(nèi)容：內(nèi)積空間的定義和基本性質(zhì)，度量矩陣的定義及性質(zhì)，施密特（Schimidt）正交化過程，正交矩陣、正交變換的定義及性質(zhì)，線性空間的正交分解，對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論。要求：理解掌握內(nèi)積空間的定義和基本性質(zhì)，掌握度量矩陣的定義及性質(zhì)。理解掌握施密特正交化過程，熟練計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正交基。理解掌握正交矩陣、正交變換的定義及性質(zhì)，掌握線性空間的正交分解。理解掌握對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論，熟練計(jì)算對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。了解最小二乘法及酉空間的相關(guān)概念和性質(zhì)，總結(jié)歐幾里得空間及酉空間的共性。5、雙線性函數(shù)與二次型主要內(nèi)容：二次型的定義及矩陣表示，二次型[對稱矩陣]的標(biāo)準(zhǔn)形及化簡二次型[對稱矩陣]的理論推導(dǎo)，復(fù)、實(shí)系數(shù)二次型的規(guī)范形的唯一性及理論推導(dǎo)，（半）正定二次型[矩陣]的定義、性質(zhì)及判定，矩陣的合同不變性質(zhì)。要求：掌握二次型[對稱矩陣]的標(biāo)準(zhǔn)形及化簡二次型[對稱矩陣]的理論推導(dǎo)。掌握復(fù)、實(shí)系數(shù)二次型的規(guī)范形的唯一性及理論推導(dǎo)，理解并能熟練應(yīng)用（半）正定二次型[矩陣]的定義、性質(zhì)及判定，總結(jié)出矩陣的合同不變性質(zhì)。能夠熟練應(yīng)用非退化線性替換及矩陣的合同變換化簡二次型、對稱矩陣成標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形，應(yīng)用二次型[對稱矩陣]的有關(guān)理論于某些等式或不等式的證明。三、教學(xué)方法與手段本課程教學(xué)主要采用課堂講授的方法，配以對學(xué)生練習(xí)和討論的指導(dǎo)。四、教學(xué)學(xué)時(shí)分配章節(jié)與內(nèi)容課時(shí)作業(yè)量備注（習(xí)題課課時(shí)）矩陣的秩與線性方程組16204線性空間16202線性變換與相似矩陣16204內(nèi)積空間14202雙線性函數(shù)與二次型10202合計(jì)7210014五、考核方式與成績評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)1、考核方式：考試平時(shí)考核包括平時(shí)作業(yè)完成情況、考勤；期末考核為閉卷考試，考試時(shí)間120分鐘。2、成績評(píng)定平時(shí)成績占30%，期末成績占70%。六、教學(xué)參考資源1、參考書目：（1）孟道驥編著，《高等代數(shù)與解析幾何》，科學(xué)出版社，2014年。（2）陳志杰主編，《高等代數(shù)與解析幾