25、指數(shù)方程和對數(shù)方程的解法(一)

第三章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)【教材解讀】冪函數(shù)是中學(xué)教材中的一個(gè)基本內(nèi)容，即是對正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的系統(tǒng)總結(jié)，也是對這些函數(shù)的概況和一般化.指數(shù)函數(shù)是中學(xué)教材中的一個(gè)基本內(nèi)容，是最重要的初等函數(shù)之一；它在反函數(shù)概念及對數(shù)函數(shù)概念的引入和學(xué)習(xí)中起關(guān)鍵作用；對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、特別是形成正確的數(shù)學(xué)觀念有非常積極的作用.為了解決“已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問題”，引入了對數(shù)。對數(shù)這一內(nèi)容本身就是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)，因而掌握對數(shù)的運(yùn)算非常重要.一方面，對數(shù)的運(yùn)算要為后面學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)以及對數(shù)方程起到鋪墊的作用；另一方面，對數(shù)的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算有很大的區(qū)別.這一部分里證明性質(zhì)時(shí)強(qiáng)調(diào)了與指數(shù)運(yùn)算的結(jié)合，為后面講解反函數(shù)作鋪墊.當(dāng)然在這個(gè)內(nèi)容中運(yùn)算法則的熟練運(yùn)用尤為重要。為了解決不同底數(shù)的對數(shù)式之間的運(yùn)算，引入了換底公式.“反函數(shù)”是《高中代數(shù)》第一冊的重要內(nèi)容.這一節(jié)課與函數(shù)的基本概念有著緊密的聯(lián)系，通過對這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生接受、理解反函數(shù)的概念并學(xué)會反函數(shù)的求法，又可使學(xué)生加深對函數(shù)基本概念的理解，還為今后反三角函數(shù)的教學(xué)做好準(zhǔn)備,起到承上啟下的重要作用.“對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)、對數(shù)概念及其運(yùn)算、反函數(shù)的概念等知識之后的一節(jié)重要內(nèi)容，是基本初等函數(shù)研究的繼續(xù)，是數(shù)形結(jié)合的典型課例；它是解指數(shù)方程、對數(shù)方程及其不等式的基礎(chǔ)，是解決一些物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等實(shí)際問題的重要工具，更是高考的熱點(diǎn)之一．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，涉及到數(shù)形結(jié)合、類比歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想，對培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識有很大的幫助．是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)研究的繼續(xù)；它是解指數(shù)方程、對數(shù)方程及其不等式的基礎(chǔ)．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，涉及到整體代換、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，對培養(yǎng)學(xué)生的綜合思維能力，提高學(xué)生的思辯能力有很大的幫助．指數(shù)方程是一種超越方程，以學(xué)生目前的知識只能解決一些常規(guī)類型的并且是簡單的指數(shù)方程.因此這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，一是要求學(xué)生掌握簡單的指數(shù)方程的解法，主要有換元法和取對數(shù)法，將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，利用已有的知識來解決問題，還有是利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)來解決問題，二是要使學(xué)生感悟其中的等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、觀察論證、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生學(xué)會研究問題的方法，學(xué)會學(xué)習(xí).在學(xué)生了解了對數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，為對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用安排了對數(shù)方程.由于對數(shù)方程屬于超越方程，在一般情況下不可以用初等方程求解，所以只介紹幾種最簡單的特殊類型的對數(shù)方程的解法.教材從實(shí)例引入對數(shù)方程；說明對數(shù)方程來自于實(shí)踐的需要，本節(jié)的重點(diǎn)是掌握幾種簡單的對數(shù)方程的解法；難點(diǎn)是掌握檢驗(yàn)對數(shù)方程的增失根，關(guān)鍵是理解將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程時(shí)，有時(shí)會擴(kuò)大（縮?。┳帜傅脑试S值范圍.知識結(jié)構(gòu)】第26課時(shí)．指數(shù)方程和對數(shù)方程的解法(一)【教學(xué)目標(biāo)】理解指數(shù)方程、對數(shù)方程的概念，掌握簡單的指數(shù)方程及對數(shù)方程的解法，能應(yīng)用所學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題。通過回顧舊知、自主探究、合作交流，掌握簡單的指數(shù)方程及對數(shù)方程的基本解法，從中感悟等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、觀察論證、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想，逐步形成解決問題的思維模式，提高學(xué)習(xí)能力，改變學(xué)習(xí)方式.3．理解解對數(shù)方程時(shí)可能會產(chǎn)生增根的原因，掌握解對數(shù)方程過程中檢驗(yàn)增根的方法.【教學(xué)重點(diǎn)】指數(shù)方程及對數(shù)方程的概念、簡單的對指數(shù)方程及對數(shù)方程的解法.【教學(xué)難點(diǎn)】感悟等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、觀察論證、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想與方法，學(xué)會研究問題的方法.【知識整理】1．簡單的指對數(shù)方程指數(shù)方程、對數(shù)方程的概念：指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫指數(shù)方程；在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程叫做對數(shù)方程。2．常見的四種指數(shù)方程的一般解法(1)方程af(x)二b(a>0,a豐1,b>0)的解法：f(x)=logbaf(x)=g(x)(2)方程af(x)二ag(x)(a>0,a豐1,)的解法:f(x)=g(x)(3)方程af(x)二bg(x)(a>0,a豐l,b>0,b豐1)的解法：f(x)-lga=g(x)-lgb(4)方程a2x+bax+c二0(a>0,a豐1)的解法：換元，令ax=t，注意新變量范圍,將原方程化為關(guān)于t的代數(shù)方程，解出t，解出x常見的三種對數(shù)方程的一般解法方程logf(x)二b(a>0,a豐1,)的解法：“化指法”即將其化為指數(shù)式f(x)=ab再a求解，注意需驗(yàn)根.方程logf(x)二logg(x)(a>0,a豐1,)的解法：“同底法”脫去對數(shù)符號，得aa\f(x)>0f(x)=g(x)，解出x后，要滿足\〔g(x)>0方程Alog2x+Blogx+C=0(a>0,a豐1)的解法：用換元法，令logx=y，aa3將原方程化簡為Ay各By+C=0,然后解之.方程與函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化。【例題解析】【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)方程，解答題，中，運(yùn)算【題目】解方程：9x-4?3x+3=0.【解答】解：由(3x)2-4(3x)+3=0=(3x-1)(3x-3)=0=3x=1或3=x=0或1.【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對數(shù)方程，選擇題，中，運(yùn)算【題目】方程log2[log3(log5x)]=0的根是()A.1B.9C.25D.125【解答】答案：D.解：log3(log5x)=1=log5x=3.故選D.【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對數(shù)方程，解答題，中，邏輯思維【題目】已知關(guān)于x的方程：2log2x-7?logx+3=0有一個(gè)根是2,求a值及另一個(gè)根aa【解答】解:設(shè)另根為m,loga解:設(shè)另根為m,loga???A>0,故由根與系數(shù)關(guān)系得：loga2+loga2?loga7=10ga2(2-1嗚2)=【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對數(shù)方程，解答題，中，邏輯思維【題目】解關(guān)于x的方程：lg(ax-l)-lg(x-l)=l.【解答】解x>1(10—a)x=9x>x>1(10—a)x=9x>1n<9nx=、10—a(x>1<ax—1>0nlax—1=10x—10ax—1=10(x—1)910910—a(1<a<10).【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對數(shù)方程，解答題，中，邏輯思維【題目】若log9x=(log3y)2,x（1）如果x=3y，求x、y的值；（2）當(dāng)x、y為何值時(shí)，一有最小值。y【解答】解：（1）x解：（1）x=9y=3'x=V311(2)當(dāng)x=38,y=34時(shí),y=3x—1—有最小值為3—8y［課堂反饋】【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指對數(shù)方程，填空題，易，運(yùn)算【題目】方程log3(l—2?3x)=2x+1的解x=【解答】答案：一1【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指對數(shù)方程，填空題，中，綜合運(yùn)算【題目】不等式(lg20)2cosx>1(xG(0,兀))的解為6【解答】答案：(0,才)【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對數(shù)方程，填空題，易，運(yùn)算【題目】方程lgx+lg(x+3)=1的解x=【解答】答案：2【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)方程，填空題，易，運(yùn)算【題目】方程4x+2x-2=0的解是【解答】答案：x=0【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對數(shù)方程，填空題，易，運(yùn)算【題目】方程lgx2—lg(x+2)二0的解集是【解答】答案：{一1,2}課堂小結(jié)】1．簡單的指對數(shù)方程指數(shù)方程、對數(shù)方程的概念：指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫指數(shù)方程；在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程叫做對數(shù)方程。2．常見的四種指數(shù)方程的一般解法方程af(x)二b(a>0,a豐l,b>0)的解法：f(x)=logba方程af(x)二ag(x)(a>0,a豐1,)的解法：f(x)=g(x)方程af(x)二bg(x)(a>0,a豐1,b>0,b豐1)的解法：f(x)-lga=g(x)-lgb(4)方程a2x+bax+c二0(a>0,a豐1)的解法：換元，令ax=t，注意新變量范圍,將原方程化為關(guān)于t的代數(shù)方程，解出t，解出x3．常見的三種對數(shù)方程的一般解法方程logf(x)二b(a>0,a豐1,)的解法：“化指法”即將其化為指數(shù)式f(x)=ab再a求解，注意需驗(yàn)根．方程logf(x)二logg(x)(a>0,a豐1,)的解法：“同底法”脫去對數(shù)符號，得aaff(x)>0f(x)=g(x)，解出x后，要滿足\〔g(x)>0方程Alog2x+Blogx+C=0(a>0,a豐1)的解法：用換元法，令logx=y，aa3將原方程化簡為Ay各By+C=0,然后解之.4．方程與函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法【課后作業(yè)】【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對數(shù)方程，填空題，易，運(yùn)算【題目】方程log(2x—1)=1的解x=3【解答】答案：2【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)方程，填空題，易，運(yùn)算【題目】方程9x—6?3x—7=0的解是.00【解答】答案：x=log37屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)方程，填空題，中，運(yùn)算題目】若x、x為方程2x12【解答】答案：1-1(1\-丄+1k)x的兩個(gè)實(shí)數(shù)解’則xi+丁【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指對數(shù)方程，填空題，中，運(yùn)算題目】解下列指數(shù)方程(1)3x+2-32-x=80；(2)3?16x+36x=2-81；(3)5x+i=3x2-1【解答】答案：(1)設(shè)y二3x，原方程可化為9y2-80y一9二0，解得y=9或y=一*(舍)很卩x=2,所以原方程的解為x二2.(2)原方程可化為3-42x+4x-9x=2-92x，可化為3)(4\

所以-19丿x2—(4)=一或-3x1=-1(舍)，即x=—2所以原方程的解為x=2-兩邊取對數(shù)得(x+1)lg5=(x2-1)ig3，即(x+1)[lg5-(x-1)lg3]解得x=-1或log15,3所以原方程的解為x=-1或x二log15.3屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)方程，解答題，中，運(yùn)算題目】(1\1若x0是方程-=X3的解，則x0屬于區(qū)間I2丿A．B．CA．B．C．D．0，3解答】屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)方程，解答題，難，運(yùn)算【題目】已知函數(shù)f(x)二2X—丄.2|x|若f(x)二2，求x的值；若2f(2t)+mf(t)>0對于tg[1,2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】答案：解(1)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)二2x—-12x由條件可知2x—=2，即22x—2?2x—1=02x解得2x=1±r2*/x>0?:x=log(1+V2)^2(2)當(dāng)tg[1,2]時(shí)，2t(22t——)+m(2t—丄)>022t2t即m(221—1)>—(241—1)，*?*22t—1>0，m>—(221+1)???tg[1,2]，???—(22t+1)g[—17,—5]故m的取值范圍是[—5,+8)屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)方程，解答題，中，運(yùn)算題目】

解方程log4(3-x)+log丄(3+x)=log4(l-x)+log丄(2x+l)44【解答】解：由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)=(3-x)?(2x+1)=(1-x)?(3+x)解之:x=0或7,經(jīng)檢驗(yàn)知：x=0為原方程解.【屬性】高三，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)方程,【題目】解方程9x+6x=22x+1【解答】3解：由原方程得：32x+3x?2x=2?22x,兩邊同除I以22x得：（2）2x+解答題，易，運(yùn)算3()解答題，易，運(yùn)算3()x-2=°?33[()x-1]?[(2)"+2]=0.33*.*(2)x+2>0