平新喬《微觀經(jīng)濟學十八講》配套題庫【課后習題＋章節(jié)題庫（含名校考研真題）＋模擬試題】

第一部分課后習題第1講偏好、效用與消費者的基本問題1．根據(jù)下面的描述，畫出消費者的無差異曲線。對于（2）和（3）題，寫出效用函數(shù)。（1）王力喜歡喝汽水，但是厭惡吃冰棍。（2）李楠既喜歡喝汽水，又喜歡吃冰棍，但她認為三杯汽水和兩根冰棍是無差異的。（3）蕭峰有個習慣，他每喝一杯汽水就要吃兩根冰棍，當然汽水和冰棍對他而言是多多益善。（4）楊琳對于有無汽水喝毫不在意，但她喜歡吃冰棍。答：（1）根據(jù)題意，對王力而言，冰棒是厭惡品，相應的無差異曲線如圖1-1所示（圖中箭頭表示更高的效用方向）。圖1-1 喜歡喝汽水厭惡吃冰棍（2）根據(jù)題意，對李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函數(shù)為，相應的無差異曲線如圖1-2所示。圖1-2 既喜歡喝汽水又喜歡吃冰棍（3）消費者對這兩種商品的效用函數(shù)為，如圖1-3所示。圖1-3 喝一杯汽水就要吃兩根冰棍（4）如圖1-4所示，其中為中性品。圖1-4 對于有無汽水喝毫不在意2．作圖：如果一個人的效用函數(shù)為（1）請畫出三條無差異曲線。（2）如果，，。請在圖1-5上找出該消費者的最優(yōu)消費組合。答：（1）由效用函數(shù)畫出的三條無差異曲線如圖1-5所示。圖1-5 無差異曲線和最優(yōu)點（2）效用函數(shù)確定了消費者的最優(yōu)選擇必定是落在便宜的商品上，即他會將所有收入都用于購買相對便宜的商品，最優(yōu)點如圖1-5中的點所示，在該點此人消費10個單位的，0個單位的。3．下列說法對嗎？為什么？若某個消費者的偏好可以由效用函數(shù)來描述，那么對此消費者而言，商品1和商品2是完全替代的。答：此說法正確。由題意知：，，則商品1對于商品2的邊際替代率為：由于，是一個常數(shù)，所以商品1與商品2是以1∶1的比率完全替代的。4．設，這里。（1）證明：與的邊際效用都遞減。（2）請給出一個效用函數(shù)形式，但該形式不具備邊際效用遞減的性質。答：（1）將關于和分別求二階偏導數(shù)得，，所以與的邊際效用都遞減。（2）如效用函數(shù)，它關于與的二階偏導數(shù)恒大于零，所以與的邊際效用都是遞增的。只要效用函數(shù)的二階導數(shù)不為負，就可以保證邊際效用不是遞減的。5．常替代彈性效用函數(shù)，請證明：（1）當，該效用函數(shù)為線性。（2）當時，該效用函數(shù)趨近于。（3）當時，該效用函數(shù)趨近于。證明：（1）當時，，此時效用函數(shù)是線性的。（2）當時，此時對效用函數(shù)兩邊變換求極限有：（3）當時，對效用函數(shù)兩邊變換求極限有：最后一個等號用到洛必達法則，下面分情況討論：①當時：上式中倒數(shù)第二個等號成立是因為當時，。②當時：當時，有。綜上可知：6．茜茜總喜歡在每一杯咖啡里加兩湯匙糖。如果每湯匙糖的價格是，每杯咖啡的價格是，消費者花費元在咖啡和糖上，那么，她將打算購買多少咖啡和糖？如果價格變?yōu)楹停瑢λP于咖啡和糖的消費會發(fā)生什么影響？答：（1）由于茜茜總喜歡在每一杯咖啡里加兩湯匙糖，所以咖啡和糖對茜茜而言是完全互補品，如果用和分別表示她消費的咖啡的數(shù)量（以杯為單位）和糖的數(shù)量（以湯匙為單位），那么她的效用函數(shù)就可以表示為：從而她的效用最大化問題可以表示為：對于最優(yōu)選擇，必有。這是因為如果，那么在保持預算約束不變的條件下，增加一些糖的消費，再減少一些咖啡的消費，就可以提高茜茜的效用，如圖1-6的點所示。所以對于最優(yōu)選擇，一定不成立；對于也有類似的理由。圖1-6 互補偏好的最優(yōu)選擇再結合預算約束，就可以得到消費者對咖啡和糖的最優(yōu)消費量分別為：（2）當價格變?yōu)楹蜁r，茜茜對咖啡和糖的消費變?yōu)椋核裕Х群吞莾烧咧腥魏我粋€價格上漲都會引起茜茜對它們的需求同時下降。7．令表示偏好關系，表示嚴格偏好關系，～表示無差異關系，證明下列關系：（1）（2）（3）（4）證明：（1）的含義是：弱偏好本身是弱偏好的一個子集。根據(jù)子集的定義，任何非空集合都是自己的一個子集。由于偏好關系是定義在選擇集的二次冪集上的完備的序關系，又由選擇集的非空性質得到選擇集二次冪集的非空性，得到偏好關系的非空性質。（2）的含義是：如果A和B之間無差異，那么A至少和B一樣好，從而本結論成立。（3）的含義是：如果消費者對A的偏好超過了對B的偏好這一關系和消費者對A和B的偏好是無差異的這一關系中有一個成立，那么消費者對A的偏好至少和B一樣好這一關系一定成立，反之亦然。根據(jù)關系的定義可知這個結論是成立的。（4）的含義是：消費者對A的偏好超過了對B的偏好這一關系和消費者對A和B的偏好是無差異的這一關系不能同時成立。理由如下：如果AB和A～B同時成立，那么就有AB～A，從而得到AA，矛盾。8．證明下列結論（或用具說服力的說理證明）：（1）“”與“～”都不具有“完備性”。（2）“～”滿足反省性。（3）嚴格偏好關系不滿足反省性。（4）對于任何中的與，在下列關系中只能居其一：，或，或。證明：（1）“”與“～”都不具有完備性。理由如下：如果一種偏好關系具有完備性，那么對消費集中任意兩個消費束之間都可以建立這種關系。“”表示嚴格偏好關系，但是對任意的兩個消費束A和B，消費者對它們可能是無差異的，這時A和B之間就不能建立嚴格偏好的關系?！啊北硎緹o差異關系，但是對任意的兩個消費束A和B，消費者可能嚴格偏好于A，這時A和B之間就不能建立無差異的關系。（2）“～”滿足反省性。理由如下：反省性是說，如果消費束A和消費束B之間滿足某種二元關系，那么B和A之間也滿足這種關系。如果A和B之間是無差異的，那么顯然，B和A之間也是無差異的，所以“～”滿足反省性。（3）嚴格偏好關系不滿足反省性，理由如下：如果消費者對A的偏好超過了對B的偏好，即AB，那么根據(jù)反省性，消費者對B的偏好也超過了對A的偏好，即BA。從而就有AA，即消費者對A的偏好超過了他對A的偏好，這樣就出現(xiàn)了矛盾。所以嚴格偏好關系不滿足反省性。（4）對于中的任何與，下列關系中只有一個能成立：，或，或。理由如下：利用反證法，假設如果這三種關系中至少有兩個同時成立，那么共有以下四種情況：①且，由此可以得到，即，矛盾?、谇?，由此可以得到，即，矛盾?、矍?，由此可以得到，即，矛盾！④，且，由此可以得到，即，矛盾！綜上可知這三種關系中只有一個能成立。9．一個只消費兩類物品的消費者面臨正的價格，其擁有正的收入，他的效用函數(shù)為：導出其馬歇爾需求函數(shù)。答：消費者的效用最大化問題為：由約束條件可知，從而當，時，消費者效用達到最大，因此該消費者的馬歇爾需求函數(shù)為：10．一個人的效用函數(shù)為，這里，。假定存在內點解，請推導其馬歇爾需求函數(shù)。解：該消費者的效用最大化問題為：該問題的拉格朗日函數(shù)為：使最大化的、、滿足一階條件：由上述三式解得：，。上述兩式即為和的馬歇爾需求函數(shù)。11．在下列效用函數(shù)形式里，哪些是效用函數(shù)的單調變換？（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7），對于（8），對于。答：當意味著，則稱為原效用函數(shù)的單調變換。本質上說，單調變換與一個單調函數(shù)是一回事。一個效用函數(shù)是原效用函數(shù)的單調變換，則該效用函數(shù)嚴格的單調遞增。（1）是單調變換，因為。（2）在時是單調變換，時不是單調變換。理由如下：因為，所以當時，；當時，。從而只有當時，才是單調變換。（3）在時不是單調變換，時，是單調變換。，當時，；當時，，故效用函數(shù)形式在時，是單調變換。（4）在時是單調變換，時不是單調變換。由，所以當