環(huán)形跑道問題

什么是環(huán)形跑道問題？環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次.這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵?！纠诩缀鸵覂呻姺謩e從區(qū)|形場地的直徑兩端點(diǎn)_同時(shí)開細(xì)勻速攪相眞的育向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了血采iy后，他們第一選相遇，在瑠走完一周前印米處艾第二誼相遇.?求此區(qū)形場地的周長. 叔臼枷】第一洩相遇時(shí)，兩人合走了半個(gè)圓周孑第二伙相遇時(shí)，兩人又合走了一個(gè)圍周，所以臥第一相遇到第二站冃遇時(shí)乙走的路程是第t丈相碣時(shí)走的？倍，所以第二敢相遇磁乙-…共走了帕』氣十“=迎米，兩人的總路程和次一周半，又甲所走路程比一-周少60米,說明乙的路程比半周多60米，那么圓形場地的半周長為300-60=^407）^,周長為2亦2=僦米.環(huán)形跑道問題的等量關(guān)系環(huán)形跑道:同相向而行的等量關(guān)系：乙程-甲程=跑道長，背向而行的等量關(guān)系：乙程+甲程=跑道長。環(huán)形跑道問題的例題講解【咤甲，乙兩人尿頓米的環(huán)形跑道上的點(diǎn)衛(wèi)同時(shí)出發(fā)背向而行，疥鐘后兩入第2；次相遇.已知每秒鐘甲比乙多行口1來，那么兩谷第M史相遇的地點(diǎn)與且點(diǎn)沿跑道上的最短距離是多少？由題育可知甲毎分鐘比乙多跑竹來；第三次相遇時(shí)兩人共跑了女400=12叩米，所以兩人遠(yuǎn)度和7^1200込=1兄器椅）,所以乙的速度為（1兄-學(xué)2=72』米脇N兩人第2次相遇時(shí)共走了碩米，乙走了妁嘩00一1兄）.=38/侏I，所以兩人第2次相遇的地點(diǎn)_與且點(diǎn)沿跑道上冊最短距離杲頓-昭越（米）.經(jīng)典環(huán)形跑道問題例題詳解

環(huán)形跑道問題乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛.甲車每小時(shí)行駛65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米.一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離點(diǎn)有多少米？（每一次甲車追上乙車也看作一次相遇）解析：第一次是一個(gè)相遇過程，相遇時(shí)間為：6=（65+55）=0.05小時(shí)，相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)：55X0.05=2.75千米.然后乙車調(diào)頭，成為追及過程，追及時(shí)間為：6寧65-55）=0.6小時(shí)，乙車在此過程中走的路程為：55X0.6=33千米，即5圈又3千米，那么這時(shí)距離A點(diǎn)3-2.75=0.25千米.此時(shí)甲車調(diào)頭，又成為相遇過程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)0.25+2.75=3千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據(jù)上面的計(jì)算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時(shí)兩車又重新回到了A點(diǎn)，并且行駛的方向與最開始相同.所以，每4次相遇為一個(gè)周期，而11寧4=2?3,所以第11次相遇的地點(diǎn)與第3次相遇的地點(diǎn)是相同的，與A點(diǎn)的距離是3000米.圓形跑道問題例題解析有一個(gè)圓形跑道周長是600米,甲在乙前面240米處,兩人同時(shí)沿順時(shí)針方向跑.已知甲每分鐘跑120米,乙每分鐘跑100米,問幾分鐘后甲追上乙?如果追上后繼續(xù)跑,問多少分鐘后,甲第二次追上乙?240—（120-100）=12600=（120-100）=30根據(jù)這個(gè)算式可以套用類型公式。環(huán)形跑道相遇問題例題解析甲、乙兩人同時(shí)從400米的環(huán)形路跑道的一點(diǎn)A背向出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是（）A.166米B.176米C.224米D.234米甲、乙兩人三次相遇，共行了三個(gè)全程，即是3X400=1200（米）。根據(jù)題意，甲乙兩人的速度和為1200/8=150（米/分）因?yàn)榧滓覂扇说拿糠炙俣炔顬?.1X60=6（米/分），所以甲的速度為（150+6）/2=78（米/分）甲8分鐘行的路程為78X8=624（米），離開原點(diǎn)624-400=224米，因?yàn)?24>400/2，所

以400-224=176（米）即為答案。環(huán)形跑道問題對于一個(gè)環(huán)形跑道問題的思考.一個(gè)周長為400米的正方形ABCD跑道,甲在B點(diǎn)，乙在A點(diǎn)，甲的速度是每秒25米乙的速度是是每秒5米，問多長時(shí)間后甲乙第一次相遇？分析：因?yàn)槭黔h(huán)形跑道，所以方向?yàn)槟鏁r(shí)針，還是順時(shí)針，不知道，所以需要分類討論.（對于不確定的事情，又合理的問題需要分類討論）逆時(shí)針時(shí)：可以轉(zhuǎn)化為一般形成問題中的相遇問題。把BC、CD、AD拉直，問題轉(zhuǎn)化為一般的行程問題：轉(zhuǎn)化為甲乙相向而行的相遇過程，其中相距的路程是300米.等量關(guān)系：甲的路程+乙的路程=相距路順時(shí)針時(shí)：分析：因?yàn)榧椎乃俣瓤欤业乃俣嚷?，乙是追不上甲的，要想相遇，必須是甲追上乙轉(zhuǎn)化行程問題的追及問題：依上圖，問題可以轉(zhuǎn)化為：甲在A點(diǎn)，乙在B點(diǎn)，同時(shí)向右跑的追及問題，開始甲乙相距300米.等量關(guān)系：甲的路程-乙行的路程=相距路程轉(zhuǎn)化為一般的行程問題后，問題可以迎刃而解。這里體現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)思想---轉(zhuǎn)化思想，把未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)，把復(fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化為簡單的問題，是獲得新知的一個(gè)很重要的手段。小學(xué)數(shù)學(xué)環(huán)形跑道問題甲乙兩人沿一條環(huán)形跑道從同一起跑線出發(fā)，背向而跑，每15秒相遇一次，已知甲跑完一圈要24秒，問乙跑完一圈要幾秒？設(shè)乙跑完一圈要x秒1/24+1/x=1/15兩邊同時(shí)乘以120x得5x+120=8x8x-5x=1203x=120x=40經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解且符合題意答乙跑完一圈要40秒環(huán)形跑道相遇問題趣味練習(xí)題環(huán)形跑道，3個(gè)運(yùn)動(dòng)員ABC

A跑一圈需要10分鐘B跑一圈需要12分鐘C跑一圈需要15分鐘他們從同一時(shí)刻同地點(diǎn)開始在環(huán)形跑道上奔跑問題是多少時(shí)間以后他們再次相遇（3個(gè)人同時(shí)相遇）（不用考慮運(yùn)動(dòng)員體力問題給點(diǎn)提示：這是以前小學(xué)5年級(jí)的某道練習(xí)題目）環(huán)形路上的行程問題例題講解1例9小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長的行程.小張的速度是500—1.25-180=220（米/分）..環(huán)形路上的行程問題例題講解2如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們在C點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米?求這個(gè)圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長；第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半?因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第

一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍,即A到D是80X3=240（米）.240-60=180（米）.180X2=360（米）.答：這個(gè)圓的周長是360米.環(huán)形路上的行程問題例題講解3.甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回）?在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：E千米如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是40X3寧60=2（小時(shí)）.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6X2-2=10（千米）.小王已走了6+2=8（千米）.

因此，他們的速度分別是小張10寧2=5（千米/小時(shí)），小王8寧2=4（千米/小時(shí)）.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).環(huán)形路上的行程問題例題講解4繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘；小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇？解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：小王時(shí)間1小時(shí)5分2小時(shí)10分?3小時(shí)15.分行程4千米呂千米12千米小張.?時(shí)間1小時(shí)小時(shí)sdW行程5千米10千米店千米12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了此時(shí)兩人相距24-（8+11）=5（千米）.由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是5寧（4+6）=0.5（小時(shí)）.

2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.環(huán)形路上的行程問題例題講解5一個(gè)圓周長90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A,B,C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒,C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置?開始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.30寧（5-3）=15（秒）.因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90寧（5-3）=45（秒）.B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，，105，150，195，……再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后

30寧（10-5）=6（秒），以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈?需要90寧（10-5）=18（秒），A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6,24,42,,78,96,…對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒？環(huán)形路上的行程問題例題講解6圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí)?從CD上一點(diǎn)P,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇?求止至N距離

B■至N■距離-解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多題中有兩個(gè)〃相遇〃，解題過程就是時(shí)間的計(jì)算?要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.根據(jù)〃走同樣距離，時(shí)間與速度成反比〃，可得出分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD,BC，AB，AD所需時(shí)間分別是24，12，16，18.從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點(diǎn)相遇.PfD—A與P-C-B所用時(shí)間相等.PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間=DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間=18-12=6.而（PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間）是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)〃和差〃計(jì)算得PC上所需時(shí)間是（24+6）寧2=15,PD上所需時(shí)間是24-15=9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，M-P-D-A-N與M-C-B-N所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).P-D-A-N與C-B-N時(shí)間相等，就有BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間=P-D-A所需時(shí)間-CB所需時(shí)間=（9+18）-12=15.BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間立即可求BN上所需時(shí)間是15.5,AN所需時(shí)間是0.5.從這一例子可以看出，對要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會(huì)使問題變得簡單些環(huán)形跑道的行程問題例題講解7如圖38-1，A、B是圓的一條直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)逆時(shí)針而行，第一周內(nèi)，他們在C點(diǎn)第一次相遇，在D點(diǎn)第二次相遇。已知C點(diǎn)離A點(diǎn)80米，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米。求這個(gè)圓的周長?！痉治觥窟@是一個(gè)圓周上的追及問題。從一開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇，小張行了80米，小王行了“半個(gè)圓周長+80”米，也就是在相同的時(shí)間內(nèi)，小王比小張多行了半個(gè)圓周長，然后，小張、小王又從C點(diǎn)同時(shí)開始前進(jìn)，因?yàn)樾⊥醯乃俣缺刃埧欤诙卧傧嘤觯荒苁切⊥跹貓A周比小張多跑一圈。從第一次相遇到第二次相遇小王比小張多走的路程（一個(gè)圓周長）是從開始到第一次相遇小王比小張多走的路程（半個(gè)圓周長）的2倍。也就是，前者所花的時(shí)間是后者的2倍。對于小張來說，從一開始到第一次相遇行了80米，從第一次相遇到第二次相遇就應(yīng)該行160米，一共行了240米。這樣就可以知道半個(gè)圓周長是180（=240-60）米?！窘狻浚?0+80x2-60）x2=360（米）環(huán)形跑道問題練習(xí)題（附答案和詳解）1.在400米的環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)相距100米,。甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按照逆時(shí)針方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘。那么，甲追上乙需要的時(shí)間是多少秒？答案：假設(shè)沒有休息那么100/（5—4）=100秒鐘在100/5=20秒100/20-1=4（次）100+4*10=140秒2.小明在360米的環(huán)形跑道上跑一圈，已知他前半時(shí)間每秒跑5米，后半時(shí)間每秒跑4米，為他后半路程用了多少時(shí)間？答案：x^4=(360-x)45x=160(360^2-160)^5+160^4=44分

林琳在450嗎長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知她前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒答案：設(shè)總時(shí)間為X,則前一半的時(shí)間為X/2,后一半時(shí)間同樣為X/2X/2*5+X/2*4=360X=80總共跑了80秒前40秒每秒跑5米,40秒后跑了200米后40秒每秒跑4米,40秒后跑了160米后一半的路程為360/2=180米后一半的路程用的時(shí)間為（200-180）/5+40=44秒小君在360米長的環(huán)形跑道上跑一圈。已知他前一半時(shí)間每秒跑5米,后一半時(shí)間每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？答案：設(shè)時(shí)間X秒5X=360-4X9X=360X=40后一半時(shí)間的路程=40*4=160米后一半路程=360/2=180米后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米后一半路程用每秒跑5米時(shí)間=20/5=4秒后一半路程時(shí)間=4+40=44秒答：后一半路程用了44秒小明在420米長的環(huán)形跑道上跑了一圈,已知他前一半時(shí)間每秒跑8米,后一半時(shí)間每秒跑6米.求他后一半路程用了多少時(shí)間？答案：設(shè)總用時(shí)X秒。前一半時(shí)間和后一半時(shí)間都是X/2。然后前一半跑8*（X/2）米，后一半跑6*（X/2）米，總共加起來等于420米。所以列下方程8*（X/2）+6*（X/2）=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因?yàn)楹笠话霝?M/S,所以后一半跑了6*30=180M。二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時(shí)同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時(shí)二人都要擊掌。問第十五次擊掌時(shí)，甲走多長時(shí)間乙走多少路程？答案：前10圈甲跑一圈擊掌一次，即10下此時(shí)已跑了5+5/7圈；后面2人跑了2/7時(shí)擊掌一次，然后2人共一圈擊掌1次耗時(shí)（4+2/7）/（1/4+1/7）=30/7*（11/28）=165/98；甲共總走了40+165/98H已走了（40+165/98）*（400/7）M環(huán)形跑道問題練習(xí)題2（附答案和詳解）甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米;答案：設(shè)乙的速度是x米/分0.1米/秒=6米/分8x+8x+8x6=400x5 x=122x8—400=2....176那么