2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽(浙江省六校2022-2023學(xué)年下學(xué)期第四次聯(lián)考)試題PDF版含解析

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暨2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽

加試（模擬4）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可

參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不得增加其他中間檔次．

一．（本題滿分40分）如圖，DABC的外接圓為，P為BC邊上一點(diǎn)，

滿足APB=BAC．過點(diǎn)A作的切線交DABP的外接圓于點(diǎn)Q，Q關(guān)于AB

中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為T，AT交QP于點(diǎn)D．

111

證明：+>．（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）

ABACCD

證明：由于四邊形AQBT為平行四邊形，所以

DAC=BAC-BAT=BAC-ABQ=APB-APQ=QPB=DPC

進(jìn)而D,P,A,C四點(diǎn)共圓．…………10分

因此QPB=QAB=ACB，即AC∥PQ，于是知四邊形APDC為等腰

梯形，得AP=CD．…………20分

111AB+AC1

要證+>，只需證>．注意到DABP∽DCBA，所

ABACCDAB×ACAP

1CBABAC

以，證畢．…………40分

APABACABAC

1

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

二．（本題滿分40分）設(shè)c是非負(fù)整數(shù)．求所有的無窮正整數(shù)數(shù)列{an}，

滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，恰存在an個(gè)正整數(shù)i使得aian1c．

2

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

三．（本題滿分50分）設(shè)正整數(shù)n6，圖G中有n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)的度

數(shù)均至少為3．設(shè)C1,C2,,Ck是G中所有的圈，求gcd(C1,C2,,Ck)的所有可

能值，其中C表示圈C中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

四．（本題滿分50分）對(duì)非負(fù)整數(shù)a,b，定義位異或運(yùn)算ab，是唯一的

非負(fù)整數(shù)，使得對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù)k，

abab

2k

2k2k

都是偶數(shù)．例如：9101001210102001123．

求所有正整數(shù)a，使得對(duì)任意整數(shù)xy0，都有xaxyay．

3

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

4

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

5

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暨2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽

加試試題（模擬4）

一．（本題滿分40分）如圖，DABC的外接圓為，P為BC邊上一點(diǎn)，

滿足APB=BAC．過點(diǎn)A作的切線交DABP的外接圓于點(diǎn)Q，Q關(guān)于AB

中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為T，AT交QP于點(diǎn)D．

111

證明：+>．（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）

ABACCD

二．（本題滿分40分）設(shè)c是非負(fù)整數(shù)．求所有的無窮正整數(shù)數(shù)列{an}，

滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，恰存在an個(gè)正整數(shù)i使得aian1c．

三．（本題滿分50分）設(shè)正整數(shù)n6，圖G中有n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)的度

數(shù)均至少為3．設(shè)C1,C2,,Ck是G中所有的圈，求gcd(C1,C2,,Ck)的所有可

能值，其中C表示圈C中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

四．（本題滿分50分）對(duì)非負(fù)整數(shù)a,b，定義位異或運(yùn)算ab，是唯一的

非負(fù)整數(shù)，使得對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù)k，

abab2kk

22k

都是偶數(shù)．例如：9101001210102001123．

求所有正整數(shù)a，使得對(duì)任意整數(shù)xy0，都有xaxyay．

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}2023年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（預(yù)賽）

暨2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽

一試（模擬4）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說明：

1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)．填空題只設(shè)8分和0分兩檔；其他各題的

評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不得增加其他中間檔次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可

參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次，第10、

11小題5分為一個(gè)檔次，不得增加其他中間檔次．

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分．

1．已知sin()1,cossin1，則cos(22)的值為．

36

1

答案：．

9

解：因?yàn)閟in()sincoscossin

1

，而cossin

1

，因此sincos

1

32，6

則sin()sincos

2

cossin，所以

3

cos(22)cos2()12sin2()12(21)2．

39

2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S45,S621S2，則S8．

答案：85．

解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，首項(xiàng)為a1．

若q1，則S66a132a13S2，與題意不符，所以q1．

a1q4a1q6a1q2

由S45，S21S可得，1

1

625，21

1

，故

1q1q1q

1q2q421q2

a

4S11q

8a1q41，解得：，所以81q4511685．

1q1q

3．從圓內(nèi)接正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，則所得的三

角形是直角三角形的概率是．

答案：3．

7

解：從圓內(nèi)接正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)連成線段，其中有4條為圓的

直徑，若從這8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，所得的三角形是直角三角形，

則其中直角三角形的斜邊為圓的直徑，然后從剩余的6個(gè)頂點(diǎn)（除去直角三角形

斜邊的頂點(diǎn)）中任取一個(gè)點(diǎn)，與斜邊的頂點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形，故所求事件的概

1

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

P46243率為3C567．8

2023

4．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，若f(k)1，

k1

則f(0)的值為．

答案：1．

解：因?yàn)閒x2fx，所以fx4fx2fx，所以fx的周期

為4，所以f2f0，f3f1，f4f2f0，即

f1f2f3f4f1f0f1f00．

2023

若f(k)1，則f1f2f3f4f20231，

k1

即505f1f2f3f4f1f2f31，

可得f1f2f3f1f0f11，所以f01．

5．已知z為復(fù)數(shù)，且關(guān)于x的方程x2zx43i0有實(shí)數(shù)解，則z最小

的

值為．

答案：32．

2

解：由x2zx43i0可得zxx43i，顯然x0不是方程

x243

x2zx43i0的實(shí)數(shù)根，所以x0，即zixx．

若關(guān)于x的方程x2zx43i0有實(shí)數(shù)根，則z4x3i，xR，所以

xx

22

zx43225225x82x81832，當(dāng)且僅當(dāng)x5xxx2x2

時(shí)等號(hào)成立，故z的最小值為32．

22

6xy．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與雙曲線:221(a0,b0)的左右ab

兩支交于A,B兩點(diǎn)，與的漸近線交于C,D兩點(diǎn)，且A,C,D,B在l上順次排列．若

OAOB，AC,CD,DB成等差數(shù)列，則的離心率的取值范圍是．

答案：[10,)．

解：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4,直線AB:ykxm，

ykxmxx2a

2km

12222

聯(lián)立x2y2

222

，可得bakx22ka2mxa2m2a2b20akb，則2222①

1a2b2x1x

amab

2a2k2b2

2

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

2

ykxm

x3x4xx

2akm

1

2222

22b2a2k2x22ka2mxa2m2akb聯(lián)立xy，可得0，則

0a22

②

ma2b2x3x4a2k2b2

a2b2k21

因?yàn)镺AOB，所以x1x2kx1mkx2m0，所以m20③

b2a2

因?yàn)閙20，所以b2a2，所以e22，即得e2④

因?yàn)閤3x4x1x2，所以CD中點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，所以ACBD，因?yàn)?/p>

AC,CD,BD成等差數(shù)列，所以ACCDBD，又因?yàn)锳，C，D，B從左到右

b2b29a2

依次排列，所以AB3CD，所以x1x23xx

2

34，代入①②③有k．a(chǎn)29b2a2

因?yàn)閗20且e22，又因?yàn)閎2a2，則9b2a2所以b29a2，所以e219，

即e10．

綜上所述，的離心率的取值范圍是[10,)．

7．已知在四棱錐P-ABCD中，

APBBPCCPDDPA60,APCBPD,PBPD．

若該四棱錐存在半徑為1的內(nèi)切球，且PA6，則PC的長(zhǎng)為．

答案：3643．

解：如圖，APBBPCCPDDPA60，且APCBPD，

可以在四棱錐上截取一個(gè)正四棱錐PABCD，

此時(shí)四邊形ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為6，

ACAB2BC223，PA2PC212AC2

APCBPD90．

設(shè)PBPDt0,ACBDO,PCx0，

APBBPCCPDDPA60，且PBPD，

ABAD,BCCD，ACBD，O為BD中點(diǎn)，

PBPD，POBD．

又POACO，BD平面PAC，

BPD90，BDPB2PD22t，

VVV1BDS113PABCDBPACDPACPAC2t6xtx．3323

又因?yàn)樗睦忮FPABCD存在半徑為1的內(nèi)切球，

V1PABCDS3PABSPADSPBCSPCDS四邊形ABCD

1

1

PAPBsin60

1PAPD111sin60PCPBsin60PCPDsin60ACBD

322222

116t31

6t

313131

txtx2t6x23tx

3222222222

，

3

3

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

323x26x23x3322即，即x6x2，x266x60，解得

222222

x3643．

因?yàn)樗睦忮FPABCD存在半徑為1的內(nèi)切球，直徑為2，PC2，而

36432，故PC3643，

8．令實(shí)數(shù)集S{a1,a2,a3,a4,a5,a6}，定義函數(shù)f:SS，使得

f(f(a1))=f(f(a2))=f(f(a3))=f(f(a4))=f(f(a5))=f(f(a6))，

則滿足條件的f的個(gè)數(shù)為．

答案：1176．

解：

二、解答題：本大題共3小題，滿分56分，解答應(yīng)寫出文字說明、