Excel回歸分析結(jié)果的詳細闡釋

Excel回歸分析結(jié)果得詳細闡釋利用Excel得數(shù)據(jù)分析進行回歸，可以得到一系列得統(tǒng)計參量。下而以連續(xù)10年積雪深度與灌溉而積序列（圖1）為例給予詳細得說明。ABC1年份-1971最大積雪諫度滋米）灌、.、塁溉面積y（千28.62田）1523197210.419.34197321.240.55197418.635.66197526.448.9719恥23.4458197713.529.291978—16734.11019792446711198019?L37.4圖1連續(xù)2年得最大積雪深度與灌溉面積（1971-1980）=J回歸結(jié)果摘要（SummaryOutput）如下（圖2）:ABrCDEFGHISUHARYOUTPUT回歸統(tǒng)計Multiple0.989416RSquare0.978944Adjusted0.976312-標準誤差1.418924觀測值10方差分析dfSSHSF;nificanceF回歸分析1748.8542748.8542371.94535?42E-殘差816.106762.013345總計9764.961Coefficient標準誤差tStatP-valueLower95%UpDer95$F卩限95.0!上卩限95.Intercept2.356438最1.8278761.289167~~0.233363-1?6.57153-1-6.57153大積雪H.8129210.09400219.285885?42E-858652.029691858652.029691081.5961511.596151RESIDUALOUTPUTPROBABILITYOUTPUT觀測值霍溉面積殘差標準殘差耳分比排槪面積？（千畝）29.91284-1.31284-0.9813621.21082-1.91082-1.4283640.79036-0.29036-0.21705436.07677-0.47677-0.35639550.21755-1.31755-0.984891519.31528.62529.23534.14535.6圖2利用數(shù)據(jù)分析工具得到得回歸結(jié)果第一部分:回歸統(tǒng)讓表這一部分給岀了相關(guān)系數(shù)、測立系數(shù)、校正測左系數(shù)、標準誤差與樣本數(shù)目如下（表1）:表1回歸統(tǒng)計表回歸統(tǒng)計Multiple0.989416RSquare0.978944Adjusted0.976312標淮誤差1.418924觀測値10逐行說明如下：Multiple對應(yīng)得數(shù)據(jù)就是相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient),RPR=0>989416。RSquare對應(yīng)得數(shù)值為測定系數(shù)(determinationcoefficient),或稱擬合優(yōu)度(goodnessoffit),它就是相關(guān)系數(shù)得平方，即有R2=0、989416=0、978944cAdjusted對應(yīng)得就是校正測左系數(shù)(adjusteddeterminationcoefficient),!T算公式為5-1)(1一疋)一〃？式中〃為樣本數(shù)皿為變量數(shù)，以為測左系數(shù)。對于本例，心10皿=1底=0、978944.代入上式得R=1_(10-1)(1-0-978944)=0976312“10-1-1標準誤差(standarderror)對應(yīng)得即所謂標準誤差，計算公式為$=JSSe\n—川一1這里SSe為剩余平方與，可以從下而得方差分析表中讀出，即有SSe=16.10676，代入上式可得冒=*16.10676=1.418924\10-1-1最后一行得觀測值對應(yīng)得就是樣本數(shù)目，即有n=10o第二部分，方差分析表方差分析部分包括自由度、誤差平方與.均方差、F值.P值等(表2)。表2方差分析表(AN0VA)方差分析dfSSHSF;nificancE回歸分析1748.8542748.8542371.94535―42E-08殘差216.106762.013345總計9764.961逐列.分行說明如下：第一列df對應(yīng)得就是自由度(degreeoffreedom)，第一行就是回歸自由度dfr,等于變捲數(shù)目，即dfr=/M：第二行為殘差自由度dfc,等于樣本數(shù)目減去變量數(shù)目再減1,即有dfg”訕-1;第三行為總自由度dft,等于樣本數(shù)目減1,即有dft=n-1。對于本例1,n=10,因此,dfr=1,dfe=n-w-1=8,dft=/i-1=9□第二列SS對應(yīng)得就是誤差平方與，或稱變差。第一行為回歸平方與或稱回歸變差SSr，即有SSr=f(氏-開尸=748.8542它表征得就是因變量得預測值對貝平均值得總偏差。第二行為剩余平方與(也稱殘差平方與)或稱剩余變差SSc，即有SSe=f()U=i6」0676/-I它表征得就是因變量對其預測值得總偏差，這個數(shù)值越大?意味著擬合得效果越杲。上述得V得標準誤差即由SSe給出。第三行為總平方與或稱總變差SSt,即有SSr=A（y1.-x）2=764.961它表示得就是因變量對英平均值得總偏差。容易驗證748、8542+16、10676=764.961,即有SSr+SSe=SSt而測泄系數(shù)就就是回歸平方與在總平方與中所占得比重，即有<SSr748.8542八■

R?=——==0.978944SSt764.961顯然這個數(shù)值越大，擬合得效果也就越好。第四列MS對應(yīng)得就是均方差，它就是誤差平方與除以相應(yīng)得自由度得到得商。第一行為回歸均方差MSr，即有MSr=SSr=748,8542=?488542dfr1第二行為剩余均方差MSc，即有MSe=SSe="10676=2（）13345dfe8顯然這個數(shù)值越小，擬合得效果也就越好。第四列對應(yīng)得就是F值，用于線性關(guān)系得判泄。對于一元線性回歸,F值得計算公式為F_R'_dfe/—1—（I-/?2）「用II-772-1式中R2=0、978944.dfc=10?1」二&因此8*0.978944=371.94531-0.978944第五列SignificanceF對應(yīng)得就是在顯箸性水平下得F臨界值，其實等于P值,即棄真概率。所謂“棄真概率”即模型為假得概率，顯然1屮便就是模型為真得槪率。可見f值越小越好。對F本例屮=0、0000000542V0.0001?故宜信度達到99、99%以上。第三部分，回歸參數(shù)表回歸參數(shù)表包括回歸模型得截距、斜率及其有關(guān)得檢驗參數(shù)（表3）o表3回歸參數(shù)表Coefficients標準誤差tStatIntercept最犬積雪探度譏米）2.35643磁91.8278761.8129210650.0940021.28916719.28588P-valueLower95%Upper95%下限95.0%土限95.0%0.233363-1.858656.5715301-1.8586546.57153015.42E-081.5961512.02969131.59615082.0296913第一列Coefficients對應(yīng)得模型得回歸系數(shù)，包括截距356437929與斜率b=\、812921065，由此可以建立回歸模型

氏=2.3564+1.8129兀y=2.3564+1.8129x（+斫z第二列為回歸系數(shù)得標準誤差（用打或勺表示），誤差值越小，表明參數(shù)得精確度越髙。這個參數(shù)較少使用,只就是在一些特別得場合出現(xiàn)。例如L、Benguigui等人在Whenandwhereisacityfracta一文中將斜率對應(yīng)得標準誤差值作為分形演化得標準，建議采用0、04作為分維判定得統(tǒng)計指標（參見EPB2000）。不常使用標準誤差得原因在于:其統(tǒng)汁信息已經(jīng)包含在后述得（檢驗中。第三列tStat對應(yīng)得就是統(tǒng)計量t值，用于對模型參數(shù)得檢驗，需要查表才能決宦。t值就是回歸系數(shù)與瓦標準誤差得比值，即有根據(jù)表3中得數(shù)據(jù)容易算出:2356438812921=19.285881.8278760.094002對于一元線性回歸J值可用相關(guān)系數(shù)或測左系數(shù)汁算，公式如下R

t==I爐

\n-7/7-1將R=0、989416、“10、〃=1代入上式得到0.989416…t二——=19.28588{1—0.9894162—V1W1對于一元線性回歸.F值與t值都與相關(guān)系數(shù)R等價，因此，相關(guān)系數(shù)檢驗就已包含了這部分信息。但就是，對于多元線性回歸,t檢驗就不可缺省了。第四列Pvalue對應(yīng)得就是參數(shù)得P值（雙側(cè)）。當PvO、05時，可以認為模型在a=0、05得水平上顯著，或者置信度達到95%;當PV0、01時，可以認為模型在*0、01得水平上顯著，或者豊信度達到99%;當PV0、001時，可以認為模型在a=0、001得水平上顯著，或者置信度達到99、9%0對于本例,P=0、0000000542<0.0001,故可認為在*0、0001得水平上顯著，或者宜信度達到99、99%0P值檢驗與t值檢驗就是等價得，但P值不用查表，顯然要方便得多。最后幾列給出得回歸系數(shù)以95%為置信區(qū)間得上限與下限。可以瞧出，在a=0、05得顯著水平上，截距得變化上限與下限為85865與6.57153,即有-1.85865<?<6.57153斜率得變化極限則為1、59615與2、02969,即有1.59615</?<2.02969第四部分,殘差輸岀結(jié)果這一部分為選擇輸出內(nèi)容,如果在"回歸”分析選項框中沒有選中有關(guān)內(nèi)容，則輸岀結(jié)果不會給出這部分結(jié)果。殘差輸出中包括觀測值序號（第一列，用i表示），因變疑得預測值（第二列，用九表示），殘差（residuals,第三列，用e「?表示）以及標準殘差（表4）。表4殘差輸岀結(jié)果觀測值預測灌溉面積丫（千殘差標準殘差1畝29.91283811-1.31284-0.98136221.210817-1.91082-1.42836340.7903645-0.29036-0436.07676973-0.47677210.055639550.21755404-1.31755-0.98489&44.778790840.2212090.165356726.830872312.3691281.770947832.632219711.467781.097181945.866543480.8334570.6230171036.983230270.416770.31154預測值就是用回歸模型氏=2.3564+1.8129無汁算得結(jié)果,式中筠即原始數(shù)據(jù)得中得自變量。從圖1可見兒=15、2,代入上式，得

y,=2.3564+1.8129x,=2.3564+1.8129*15.2=29.91284其余依此類推。殘差勺得計算公式為?=兒-從圖1可見,yi=28.6,代入上式，得到el=y,-y{=28.6-29.91284=-1.31284其余依此類推。標準殘差即殘差得數(shù)據(jù)標準化結(jié)果，借助均值命令average與標準差命令stdev容易驗證,殘差得算術(shù)平均值為0,標準差為1、337力4。利用求平均值命令standardize（殘差得/元格范隠均值.標準差）立即算出表4中得結(jié)果。當然，也可以利用數(shù)據(jù)標準化公式*Z：-zZi-I石二一='Jvar（zj6逐一計算。將殘差平方再求與，便得到殘差平方與即剩余平方與，即有==茹_以）2=16.10676Z-lr-1利用Excel得求平方與命令sumsq容易驗證上述結(jié)果。以最大積雪深度兀為自變量，以殘差竹為因變量，作散點圖，可得殘差圖（圖3）。殘差點列得分布越就是沒有趨勢（沒有規(guī)則，即越就是隨機）,回歸得結(jié)果就越就是可靠。用最大積雪深度兀為自變量，用灌溉面積幵及英預測值曰為因變屋，作散點圖，可得線性擬合圖（圖4）。最大積雪深度x（米）ResidualPlot圖3殘差圖最大積雪深度x（米）LineFitPlot?灌溉面積y（千畝）■預測灌溉面積y（千畝）102030最大積雪深度x（米）圖4線性擬合圖第五部分,概率輸出結(jié)果在選項輸岀中，還有一個概率輸出（ProbabilityOutput）八（表5）。第一列就是按等差數(shù)列設(shè)訃得百分比排位，第二列則就是原始數(shù)據(jù)因變量得自下而上排序（即從小到大）一一選中圖1中得第三列（C列）數(shù)據(jù)，用鼠標點擊自下而上排序按鈕令■立即得到表5中得第二列數(shù)值。當然，也可以沿著主菜單得“數(shù)據(jù)（D）-z^排序（勺”路徑，打開數(shù)據(jù)排序選項框，進行數(shù)據(jù)排序。用表5中得數(shù)拯作散點圖，可以得到Excel所謂得正態(tài)概率圖（圖5）0表5概率輸出表百分比排位灌溉面積y（千畝）519.31528.62529.23534：^4535.6556540.5