定積分微元法講解市公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

定積分微元分析法用定積分表達量U必須具有三個特性:一.能用定積分表達量所必須具有特性(3)部分量近似值可表達為則U對應(yīng)地提成許多部分量;(1)U是與一種變量x變化區(qū)間[a,b]有關(guān)量;(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性.即假如把區(qū)[a,b]提成許多部分區(qū)間,1/88根據(jù)問題詳細情況,選用一種變量(2)在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一種小區(qū)間,求出對應(yīng)于這個小區(qū)間部分量近似值.在處值與乘積,就把稱為量U微元且記作,即假如能近似地表達為[a,b]上一種連續(xù)函數(shù)例如x為積分變量,并確定其變化區(qū)間[a,b];二、用定積分表達量U基本步驟:2/88這個辦法一般叫做微元法．應(yīng)用方向：平面圖形面積；體積；平面曲線弧長；功；水壓力；引力和平均值等．3/88曲邊梯形面積曲邊圖形面積一、直角坐標系情形微元法求面積4/88解兩曲線交點面積元素選為積分變量5/88解兩曲線交點選為積分變量6/88解橢圓參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．7/882a2

a0yx

ax=a(t–sint)y=a(1–

cost)擺線.第一拱與x軸所圍成圖形面積8/88二.極坐標情形1.曲邊扇形其中r()在[,]上連續(xù),且r()0.對應(yīng)于[,+d]面積微元為則圖形面積為or=r()設(shè)圖形由曲線r=r()及射線=,=所圍成.取

為積分變量,其變化區(qū)間為[,],9/882.一般圖形及射線=,=所圍圖形面積微元為則面積為o由曲線10/88例4求阿基米德螺線r=a(a>0)上對應(yīng)于從0到2一段弧與極軸所圍圖形面積.o解如圖,可視為=0,=2及r=a

圍成曲邊扇形.則其面積為11/88解利用對稱性知12/88解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積13/88NoM例求r=1與r=1+cos所圍公共面積.解如圖,曲線交點為由對稱性則而14/88一、平面曲線弧長概念微元法求曲線弧長15/88弧長元素弧長二、直角坐標情形16/88曲線弧為弧長三、參數(shù)方程情形17/88曲線弧為弧長四、極坐標情形18/88例求全弧長.解y=y(x)定義域為,故弧長為:19/88例求星形線弧長.解由對稱性及公式20/88例求阿基米德螺線r=a(a>0)上對應(yīng)于從0到2一段弧長.解21/88一、平行截面面積為已知立體體積假如一種立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻懂得該立體上垂直于一定軸各個截面面積，那么，這個立體體積也可用定積分來計算.微元法求體積22/88abx設(shè)置體介于x=a,x=b之間,立體體積取x為積分變量,其變化范圍為[a,b].23/88解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積邊長分別為y和ytan.因此24/88解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積底邊長為2y,高為h.因此25/88

旋轉(zhuǎn)體就是由一種平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、旋轉(zhuǎn)體體積26/88yaby=f(x)oyaby=f(x)oy27/88則y圖1by=f(x)aoxx+dx28/88例求如圖直角三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成圓錐體體積.解可求得過點O及P(h,r)直線方程為yoxP(h,r)29/88例求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成立體體積解由對稱性及公式aaxy30/8831/88例求圓心在(b,0),半徑為a(b>a)圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而成環(huán)狀體體積.yxoba解圓方程為,則所求體積可視為曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體體積之差.分別與直線y=-a,y=a及y軸所圍成則32/88例證明：由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積為即為圓柱薄殼當dx很小時,此小柱體高看作f(x)，以此柱殼體積作為體積元素，柱殼法——就是把旋轉(zhuǎn)體當作是以y軸為中心軸一系列圓柱形薄殼組成，33/88在區(qū)間上柱殼體體積元素為34/88例求圓心在(b,0),半徑為a(b>a)圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而成環(huán)狀體體積.yxoba解圓方程為則35/88第三節(jié)定積分物理應(yīng)用一.變力沿直線作功若物體在常力F作用下沿F方向移動s距離,由x=a移到x=b,可用微元法處理做功問題.dW=F(x)dx則F(x)ab則W=Fs若物體在變力F(x)作用下沿力方向取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].對應(yīng)于任意小區(qū)間[x,x+dx]功微元x+dxx36/88解功微元所求功為37/88例2設(shè)9.8牛頓力能使彈簧伸長1厘米,解由公式(焦耳)求伸長10厘米需作多少功?因此k=980.F=9.8牛頓,而x=0.01米時,已知F=kx,F=980x.38/88分析：將鏈條拉上來所作功,即變力沿直線作功.書361頁例六x+dxxo28x39/88解將水桶從井里提上來所作功為將繩子從井里提上來所作功,則所作總功為o20x+dx即變力沿直線作功為例一桶水重10kg,由一條線密度0.1kg/m繩子系著,將它從20m深井里提上來需作多少功?x40/88例在直徑為，高為圓柱形氣缸內(nèi)Pa氣體.若要將氣體體積充滿了壓強為壓縮到本來二分之一，問需作功多少？壓縮至處氣體壓強

斷面受氣體壓力41/88點擊圖片任意處播放\暫停解建立坐標系如圖構(gòu)想將水提成許多薄層,吸出各層水所作功總和即為所求.42/88這一薄層水重力為功微元為(千焦)．43/88例4形如圓臺水桶內(nèi)盛滿了水(如圖),問將所有水吸出需作多少功?0yx13(3,2)解構(gòu)想將水提成許多薄層,吸出各層水所作功總和即為所求.取x為積分變量,變化區(qū)間為[0,3].對應(yīng)于任意小區(qū)間[x,x+dx]薄層水近似于圓柱,吸出這層水位移近似于x.44/88則因此功微元45/88二、液體對側(cè)面壓力46/88取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].aby=f(x)xx+dx近似于水深x處水平放置長方形窄條所受壓力.對應(yīng)于[x,x+dx]窄條所受到壓力以如圖曲邊梯形為例:oyx則壓力微元為dP=因此整個平板所受壓力為47/88解建立坐標系如圖面積微元48/88例4一種橫放半徑為R圓柱形油桶內(nèi)有半桶油,求一種端面所受壓力.解由對稱性yox49/88三、引力50/88例6設(shè)有質(zhì)量為M,長度為l均勻細桿,任意小段[x,x+dx]近似于質(zhì)點,且質(zhì)量為則引力微元為oxal另有一質(zhì)量為m質(zhì)點位于同始終線上,且到桿近段距離為a,求桿對質(zhì)點引力.解:取x為積分變量,變化區(qū)間為[0,l],xx+dx51/88則引力為52/88解建立坐標系如圖將典型小段近似當作質(zhì)點小段質(zhì)量為小段與質(zhì)點距離為引力微元53/88水平方向分力微元由對稱性知，引力在鉛直方向分力為54/88(1)變力所作功(2)水壓力55/88(3)引力56/88第五節(jié)廣義積分1.無窮區(qū)間上廣義積分2.無界函數(shù)廣義積分3.小結(jié)57/88OxyOxy1258/88一、無窮限廣義積分59/8860/88例1計算廣義積分解61/88無窮限積分牛頓-萊布尼茲公式62/88性質(zhì)：且當它們同步收斂時有63/88例264/88證65/88例4計算廣義積分解66/8867/88無窮限積分分部積分公式注意：僅僅是收斂充足條件68/88例569/88無窮限積分第二類換元公式70/88二、無界函數(shù)廣義積分71/8872/8873/88例1計算廣義積分解74/88