三角函數(shù)練習(xí)題(附詳細(xì)解答過(guò)程)

三角函數(shù)練習(xí)題(附詳細(xì)解答過(guò)程)1.已知tan(α+β)=1/4，(1)求tanα的值；(2)求tan(α-β)的值。解析：(1)tan(α+β)=1/4，可得tanα=(1-4tan2β)/(4tanβ)=-3/7。(2)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=(-3/7-tanβ)/(1-(-3/7)tanβ)=-21/65。2.求證：(1+2sinxcosx)/(1+tanx)=(2cosx-sinx)/(1-tanx)。解析：將左邊的分式通分，得到(1+2sinxcosx)/(1+tanx)=(2cos2x+2sinxcosx)/(cosx+sinx)=(2cosx-sinx)/(1-tanx)，即左邊等于右邊。3.已知sin(2α)sin(-2α)=4/5，α∈(0,π/2)，求2sin2α+tanα-cotα-1的值。解析：sin(2α)sin(-2α)=-sin22α=-1/5，可得sin2α=√5/5，cos2α=2/5，tanα=sin2α/cos2α=√5/2，cotα=cos2α/sin2α=2/√5，代入原式得到2sin2α+tanα-cotα-1=5/2。4.已知二次函數(shù)f(x)=mx2+(2m-3)x+m-2，點(diǎn)A(tanα,f(tanα))在圖像上，點(diǎn)B(tanβ,f(tanβ))在圖像上且tanβ≠tanα，求m的取值范圍和函數(shù)y=tan(α+β)的最小值。解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)A在圖像上，所以f(tanα)=m(tanα)2+(2m-3)tanα+m-2，因?yàn)辄c(diǎn)B在圖像上，所以f(tanβ)=m(tanβ)2+(2m-3)tanβ+m-2。因?yàn)閠anβ≠tanα，所以有m(tanβ+tanα)+2m-3≠0，即m≠(3-tanαtanβ)/(tanα+tanβ)。又因?yàn)閙為實(shí)數(shù)，所以有3-tanαtanβ≥0，即tanαtanβ≤3。(2)因?yàn)閥=tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，所以y(1-tanαtanβ)=tanα+tanβ，即tanβ=y(1-tanαtanβ)-tanα，代入f(tanβ)=m(tanβ)2+(2m-3)tanβ+m-2可得關(guān)于y的二次函數(shù)，求其最小值即可得到y(tǒng)的最小值。2．證明：函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=-\frac{2\pi}{8}$對(duì)稱(chēng)。解析：對(duì)于任意$x\in\mathbb{R}$，有$f(-\frac{16\pi}{8}-x)=\sin(\frac{2\pi}{8}(-\frac{16\pi}{8}-x))+\cos(-\frac{2\pi}{8}-x)-2\cos(\frac{-2\pi}{8})=\sin(\frac{2\pi}{8}(x+\frac{16\pi}{8}))+\cos(x+\frac{\pi}{4})-2\cos(\frac{\pi}{4})=f(x)$，因此函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=-\frac{2\pi}{8}$對(duì)稱(chēng)。3．已知向量$a=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$b=(\cos\beta,\sin\beta)$，$|a-b|=12$。已知向量$a=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$b=(\cos\beta,\sin\beta)$，$|a-b|=12$。(1)求$\cos(\alpha-\beta)$的值；解析：由向量的模長(zhǎng)公式，$|a-b|=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2}=\sqrt{2-2\cos(\alpha-\beta)}=12$，解得$\cos(\alpha-\beta)=-\frac{5}{8}$。(2)若$-\frac{5\pi}{13}<\alpha<\frac{5\pi}{13}$，$-\pi<\beta<0$，且$\sin\beta=-\frac{13}{22}$，求$\sin\alpha$的值。解析：由向量的模長(zhǎng)公式，$|a-b|=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2}=\sqrt{2-2\cos(\alpha-\beta)}=\frac{6\sqrt{2213}}{11}$，代入$\cos(\alpha-\beta)=-\frac{5}{8}$，解得$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{5}{8}$。由$\sin^2\beta=1-\cos^2\beta$，代入$\sin\beta=-\frac{13}{22}$，解得$\cos\beta=\frac{3\sqrt{2213}}{22}$。代入$\cos(\alpha-\beta)=-\frac{5}{8}$，解得$\cos\alpha=\frac{11\sqrt{2213}}{176}$。由$-\frac{5\pi}{13}<\alpha<\frac{5\pi}{13}$，可得$-\frac{5\pi}{13}<\alpha<\frac{5\pi}{13}$，因此$\sin\alpha$的值在$(-1,1)$之間，代入$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$，解得$\sin\alpha=\frac{33\sqrt{2213}}{176}$。13．已知函數(shù)$f(x)=\sin(\frac{\pi}{6}x+\sin\omegax-2\cos\frac{x}{6})$，$x\in\mathbb{R}$。（I）求函數(shù)$f(x)$的值域；解析：對(duì)于任意$x\in\mathbb{R}$，有$-1\leq\sin(\frac{\pi}{6}x)\leq1$，$-1\leq\sin\omegax\leq1$，$-2\leq-2\cos\frac{x}{6}\leq2$，因此$-4\leqf(x)\leq2$。又因?yàn)?f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=\pm\infty$，因此$f(x)$的值域?yàn)?[-4,2]$。（II）若函數(shù)$y=f(x)$的圖象與直線$y=-1$的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為$\frac{\pi}{2}$，求函數(shù)$2y=f(x)$的單調(diào)增區(qū)間。解析：設(shè)函數(shù)$y=f(x)$的圖象與直線$y=-1$的交點(diǎn)分別為$(a,-1)$和$(b,-1)$，其中$a<b$。由于函數(shù)$y=f(x)$的圖象與直線$y=-1$的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為$\frac{\pi}{2}$，因此有$f(a)=\frac{\pi}{6}a+\sin\omegaa-2\cos\frac{a}{6}-(-1)=\frac{\pi}{2}$，$f(b)=\frac{\pi}{6}b+\sin\omegab-2\cos\frac{6}-(-1)=-\frac{\pi}{2}$。因?yàn)?f(x)$是連續(xù)函數(shù)，且$f(a)<f(b)$，因此在$(a,b)$上，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞減。因此，在$(a,b)$上，函數(shù)$2y=f(x)$單調(diào)遞減。（I）已知函數(shù)$f(x)=cos(x+2)$，設(shè)$x=x$是函數(shù)$y=f(x)$圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，求$g(x)$的值。解：由對(duì)稱(chēng)性可得，$g(x)=f(2-x)=cos(2-x+2)=cos(-x+4)=cos(x-4)$。（II）求函數(shù)$h(x)=f(x)+g(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間。解：$h(x)=f(x)+g(x)=cos(x+2)+cos(x-4)=2cos(x-1)cos3$，其中$cos3$為常數(shù)。當(dāng)$cos3>0$時(shí)，$h(x)$在$x\in(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$cos3<0$時(shí)，$h(x)$在$x\in(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減。當(dāng)$cos3=0$時(shí)，$h(x)$為常數(shù)函數(shù)，不存在單調(diào)性。因此，函數(shù)$h(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$x\in(-\infty,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$\varnothing$。(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)=sin^2x-cos^2x-sinxcosx+3cos^2x=2+cos^2x-sin^2x=2+2sin(2x+3π/4)Thus,themaximumvalueoff(x)is2+2,andthesmallestpositiveperiodisπ/2.Tofindtheminimumvalueof|d|,weneedtominimizetheexpression|d|=|-kπ/8+4|,wherekisaninteger.Sincekisaninteger,theexpressionisminimizedwhenk=1,whichgivesd=-(7π/8).7.SincesinA(sinB+cosB)-sinC=sinAsinB+sinAcosB-sinC=sinAcosB+cosAsinB-sinC=sin(B-C),wehavesin(B-C)=sinA(sinB+cosB)-sinC=sin(π/3)(sinB+cosB)-sin(π/6)=(1/2)(sinB+cosB)-(1/2).Since0<A<π,wehaveA=π/3,whichimpliesC=-B+π/3.Substitutingthisintothepreviousequation,wegetsin(B-C)=(1/2)(sinB+cosB)-(1/2)=(1/2)(1-sinB)+(1/2)cosB.SincesinB>0andA=π/3,wehavecosB=1/2andB=π/6.8.(1)Theperiodoff(x)isM=2T=π.(2)Sincef(xi)=2sin(2xi+π),wehave2xi+π=kπforsomeintegerk.Thus,xi=(kπ-π)/2.Since0<xi<10π,wehavek=1,2,...,19.Therefore,x1+x2+...+x10=(1+2+...+9)π+10×(π/2)=140π/3.9.(1)f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+π/3).(2)Forf(x)tobeanevenfunction,wemusthavef(-x)=f(x).Thus,2sin(-2x+θ+π/3)=2sin(2x+θ+π/3),whichimpliessin(2x)cos(θ+π/3)=0forallx.Sincethismustholdforallx,wemusthavecos(θ+π/3)=0,whichimpliesθ=π/6.(3)Whenθ=π/6,wehavef(x)=2sin(2x+π/3)=2cos(2x)=1.Thus,cos(2x)=1/2,whichimplies2x=±π/3+2kπforsomeintegerk.Sincex∈[-π,π],wehavex=-π/6orπ/6.10.f(x)=2sin(2x+π/6)+2.Usingthefive-pointmethodorgraphingcalculator,wecansketchthegraphofy=f(x)andfindthatitintersectsthex-axisatx=-5π/12andx=-π/12.Thus,thevaluesofathatsatisfyf(a)=0area=-5π/12anda=-π/12.Sincea≠3,wehavea=-5π/12ora=-π/12.Moreover,x1+x2=(-5π/12)+(-π/12)=-2π/3.當(dāng)$3<a<4$時(shí)，$x_1+x_2=\frac{4}{3}\pi$。由對(duì)稱(chēng)性可知，面積為$(2\pi-\frac{7}{3}\pi)\times4=2\pi$。解：$f(x)=4\sinx+2\sin2x-2=2\sinx-2(1-2\sinx)$。所以$f(x)$的最小正周期$T=\pi$，因?yàn)?x\inR$，當(dāng)$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$時(shí)，$f(x)$最大值為$2\sqrt{2}$。證明：欲證明函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=0$對(duì)稱(chēng)，只要證明對(duì)任意$x\inR$，有$f(-x)=f(x)$成立。因?yàn)?f(-x)=2\sin(-x)-2(1-2\sin(-x))=-2\sinx+2(1+2\sinx)=f(x)$，所以$f(-x)=f(x)$成立，從而函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=0$對(duì)稱(chēng)。所以，當(dāng)$2x-\frac{\pi}{6}<0$時(shí)，$f(x)=2(\frac{3}{\sqrt{13}}\sinx-\frac{2}{\sqrt{13}}\cosx)-1$；當(dāng)$\frac{\pi}{6}<2x-\frac{\pi}{2}<\pi$時(shí)，$f(x)=2(-\frac{3}{\sqrt{13}}\sinx-\frac{2}{\sqrt{13}}\cosx)-1$。因?yàn)?a=(\cos\alpha,\sin\alpha-\sin\beta)$，所以$a-b=(\cos\alpha-\cos\beta,\sin\alpha-\sin\beta)$。又因?yàn)?|a-b|=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2}=\sqrt{2-2\cos(\alpha-\beta)}$，所以$(\cos\alpha-\cos\beta)+(\sin\alpha-\sin\beta)=\sqrt{2-2\cos(\alpha-\beta)}$，即$\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)$，所以$2-\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$，即$\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{4}$。又因?yàn)?-\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，所以$-\frac{\pi}{2}<\alpha-\beta<\pi$，又因?yàn)?\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{4}$，所以$\sin(\alpha-\beta)=\pm\frac{\sqrt{7}}{4}$。如果$\sin(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{7}}{4}$，則$\sin\beta=-\frac{1}{\sqrt{13}},\cos\beta=\frac{3}{\sqrt{13}},\sin\alpha=\sin(\alpha-\beta+\beta)=\frac{\sqrt{7}}{4}\cos\beta-\frac{1}{4}\sin\beta=\frac{3}{\sqrt{13}},\cos\alpha=\frac{1}{4}\cos\beta+\frac{\sqrt{7}}{4}\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{13}}$；如果$\sin(\alpha-\beta)=-\frac{\sqrt{7}}{4}$，則$\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{13}},\cos\beta=\frac{3}{\sqrt{13}},\sin\alpha=\sin(\alpha-\beta+\beta)=-\frac{\sqrt{7}}{4}\cos\beta-\frac{1}{4}\sin\beta=-\frac{3}{\sqrt{13}},\cos\alpha=-\frac{1}{4}\cos\beta+\frac{\sqrt{7}}{4}\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{13}}$。所以$\alpha$和$\beta$的取值為$-\frac{\pi}{5}<\alpha<\frac{\pi}{3}$，$-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{6}$，$-\frac{\pi}{2}<\alpha-\beta<\pi$。$f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})-1$，所以$f(x)$的最小正周期$T=\frac{\pi}{2}$，即$w=2$。又因?yàn)?-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{2}$，所以$-\frac{\pi}{3}\leqx\leq\frac{\pi}{3}$。所以$f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})-1=2\sin(\frac{\pi}{3}-2x)-1$，所以$f(x)$的最大值為$1$，最小值為$-3$。題目6：已知$|\sinx|\leq\frac{\pi}{3}+k\pi$，其中$k\inZ$。因此，函數(shù)$y=f(x)$的單調(diào)增區(qū)間為$[k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{3}]$，其中$k\inZ$。題目解析：根據(jù)題目給出的不等式條件，可以推導(dǎo)出函數(shù)$y=f(x)$的單調(diào)增區(qū)間。這里的$k$是整數(shù)，可以取遍所有整數(shù)，所以單調(diào)增區(qū)間可以表示為$[k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{3}]$，其中$k\inZ$。題目7：已知$2\cosx+\sinx\cosx+1=(2\cosx-1)^2+(2\sinx\cosx)^2$，則當(dāng)$y$取最大值時(shí)，$x=k\pi$，其中$k\inZ$。題目解析：將等式兩邊化簡(jiǎn)，得到$\sin(2x+\frac{\pi}{5})=\frac{1}{2}$。因?yàn)?\sin(2x+\frac{\pi}{5})$的最大值為$1$，所以當(dāng)$\sin(2x+\frac{\pi}{5})=\frac{1}{2}$時(shí)，$y$取最大值。解出$\sin(2x+\frac{\pi}{5})=\frac{1}{2}$的解為$x=k\pi$，其中$k\inZ$。題目8：將函數(shù)$y=\sinx$依次進(jìn)行如下變換：（i）將函數(shù)$y=\sinx$的圖像向左平移$\frac{\pi}{6}$的圖像；（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖像；（iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)$y=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖像；（iv）把得到的圖像向上平移$1$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)$y=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1$的圖像。綜上得到函數(shù)$y=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1$的圖像。題目解析：根據(jù)題目的要求，依次進(jìn)行函數(shù)圖像的平移和縮放等變換，得到最終的函數(shù)圖像。最終的函數(shù)圖像為$y=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1$。題目9：已知$\cosC=\frac{3a-c}{2b}$，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，$A+B+C=\pi$，求$\sinA$。題目解析：根據(jù)余弦定理和正弦定理，可以列出方程$\cosC=\frac{3a-c}{2b}$和$\sinA=\frac{a\sinC}{c}$，將$\cosC$代入$\sinA$的式子中，得到$\sinA=\frac{a\sqrt{1-\cos^2C}}{c}=\frac{a\sqrt{4b^2-(3a-c)^2}}{2bc}$，將$\cosA$的式子代入$\sinA$的式子中，得到$\sinA=\frac{\sqrt{b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}}{2bc}$。根據(jù)三角形面積公式，可以將$\sinA$表示為$\sinA=\frac{2S}{bc}$，將$\cosA$的式子代入$\sinA$的式子中，得到$\sinA=\frac{a^2\sqrt{4b^2-(3a-c)^2}}{4S}$。將$\sinA$的式子化簡(jiǎn)，得到$\sinA=\frac{2a\sqrt{3a^2-4b^2}}{3a^2}=\frac{2\sqrt{3a^2-4b^2}}{3a}$。sinC=1-sinA-sinB,因?yàn)镃為銳角，所以C=π-A-B。又因?yàn)樵谌切蜛BC中，cosB=1/2，所以sinB=√3/2。帶入式子得sinC=√3/2-sinA-1/2。解得sinA=√3/2-sinC-1/2。在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理，有BC/sinB=AC/sinA。已知AC=6，sinA=√3/2，sinB=√3/2，代入可得BC=3√3。根據(jù)正弦定理，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入已知值計(jì)算得sinC=1/2。再根據(jù)海倫公式S=1/2×AC×BC×sinC計(jì)算得S=9。根據(jù)題意，f(x)=sin(x+θ)，其中θ∈(0,π)，且M(π/2,1)在f(x)的圖像上。代入可得sin(π/2+θ)=1，解