SAS學(xué)習(xí)系列37. 時(shí)間序列分析Ⅰ-平穩(wěn)性及純隨機(jī)性檢驗(yàn)

37.時(shí)間序列分析I—平穩(wěn)性及純隨機(jī)性檢驗(yàn)（一）基本概念一、什么是時(shí)間序列？為了研究某一事件的規(guī)律，依據(jù)時(shí)間發(fā)生的順序?qū)⑹录诙鄠€(gè)時(shí)刻的數(shù)值記錄下來，就構(gòu)成了一個(gè)時(shí)間序列。對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行觀察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，預(yù)測(cè)它將來的發(fā)展趨勢(shì)就是時(shí)間序列分析。例如，國家或地區(qū)的年度財(cái)政收入，股票市場(chǎng)的每日波動(dòng)，氣象變化，工廠按小時(shí)觀測(cè)的產(chǎn)量等等。注：隨溫度、高度等變化而變化的離散序列，也可以看作時(shí)間序列。二、時(shí)間序列的特點(diǎn)（1）順序性；（2）隨機(jī)性；（3）前后時(shí)刻（不一定相鄰）的依存性；（4）整體呈趨勢(shì)性和周期性。三、時(shí)間序列的分類按研究對(duì)象的數(shù)目：一元時(shí)間序列、多元時(shí)間序列；按序列統(tǒng)計(jì)特性：平穩(wěn)時(shí)間序列、非平穩(wěn)時(shí)間序列；按分布規(guī)律：高斯時(shí)間序列、非高斯時(shí)間序列。四、研究方法1.平穩(wěn)時(shí)間序列分析；2.非平穩(wěn)時(shí)間序列分析（確定性分析、隨機(jī)性分析）。五、其它任何時(shí)間序列經(jīng)過合理的函數(shù)變換后都可以被認(rèn)為是由下列三部分疊加而成：（1）趨勢(shì)項(xiàng)部分；（2）周期項(xiàng)部分；（3）隨機(jī)項(xiàng)部分（隨機(jī)信號(hào)、隨機(jī)噪聲）圖1.四種趨勢(shì)：線性、二次、指數(shù)增長(zhǎng)、S型例如，手機(jī)銷售的月記錄按年增長(zhǎng)（趨勢(shì)項(xiàng)）；按季節(jié)周期波動(dòng)（周期項(xiàng)）；隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲。時(shí)間序列分析的主要任務(wù)就是：上面三部分分解出來，是研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的變化規(guī)律，建立特定的ARIMA模型（要求大體平穩(wěn)可能含有周期但不能有規(guī)則性的線性指數(shù)等類型趨勢(shì)項(xiàng)）。六、方法性工具1.差分運(yùn)算k步差分間隔k期的觀察值之差：Ak=屯込kktt-kp階差分Axt=xt-xt-1稱為一階差分；Apx=Ap-ix-Ap-ix二》(-1)iCix稱為p階差分；ttt-1pt+p-ii=0SAS函數(shù)實(shí)現(xiàn)：differ)2.延遲算子延遲算子作用于時(shí)間序列，時(shí)間刻度減小1個(gè)單位(序列左移一位)：Bxt=xt-1,……,Bpxt=xt-p.SAS函數(shù)實(shí)現(xiàn)：lagn(x)用延遲算子表示k步差分和p階差分為：—6=(5)&Apx=(I—B)p=(-1)pCixtpt-ii=0(二)平穩(wěn)時(shí)間序列一、概念平穩(wěn)時(shí)間序列按限制條件的嚴(yán)格程度，分為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列：序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化；

寬平穩(wěn)時(shí)間序列：序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定，即統(tǒng)計(jì)性質(zhì)只要保證序列的二階矩平穩(wěn)，即對(duì)任意的時(shí)間t,s,乩序列Xt滿足:EX：<4EXt二#口玖血-心（圮—兒）二E（Xk-如）g心-如」二、平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)（1）均值為常數(shù)；（2）自協(xié)方差只依賴于時(shí)間跨度；若定義自協(xié)方差函數(shù)為Y（t,s）=E（X”）（Xs屮）則可由二元函數(shù)簡(jiǎn)化為一元函數(shù)Y（t-s）,得延遲k自協(xié)方差函數(shù):Y（k=Y（t,t+k）由此易知平穩(wěn)時(shí)間序列必具有常數(shù)方差0（沖=E（X；-^t）2=Y（t,t）=Y（0）時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)：E(XE(X)(X)-tt冋t-DXs-s延遲k自相關(guān)函數(shù):E(X)(E(X)(X)Y(k)#(0)-Y(0)Y(k)Y(0)基本性質(zhì)：P(O)=1；p(-k)=p(k);（3）自相關(guān)陣為對(duì)稱負(fù)定陣；（4）非唯一性。注意：協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)——度量?jī)蓚€(gè)不同事件（Xt，Yt）彼此之間的相互影響的程度。自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)一一度量用一事件（Xt）在兩個(gè)不同時(shí)期之間的相互影響的程度。三、樣本估計(jì)值總體均值的估計(jì)值：延遲k自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值:n-k乞(xt-x)(xt+i-X)r(k)=旦n-k總體方差的估計(jì)值：延遲k自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值：四、平穩(wěn)性檢驗(yàn)（1）時(shí)序圖檢驗(yàn)若無明顯的趨勢(shì)性和周期性，則平穩(wěn)；（2）自相關(guān)圖檢驗(yàn)零均值平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)要么截尾要么拖尾；若時(shí)間序列零均值化后出現(xiàn)緩慢衰減或周期性衰減，則說明存在趨勢(shì)性和周期性（非平穩(wěn)）；（3）單位根檢驗(yàn)就是通過檢驗(yàn)時(shí)間序列自回歸特征方程的特征根是在單位圓內(nèi)（平穩(wěn)）還是在單位圓及單位圓外（非平穩(wěn)）。通常用ADF檢驗(yàn)法。Dickey和Fuller（1979）利用如下的廣義自回歸模型DlHeicuerilL』卿DlHeicuerilL』卿dl1Idn*Vilvr其中，Ax表示x的一階差分；x表示延遲一期；Ax.tk表示延遲kjtjt1jtk期再一階差分；%t表示擾動(dòng)項(xiàng)。上述回歸模型生成的x.門的t值正好對(duì)應(yīng)ADF統(tǒng)計(jì)量，做假設(shè).t1檢驗(yàn)：H0：非平穩(wěn)；耳：平穩(wěn)。t值在1%,5%,10%置信水平的臨界值分別為：-3.524233,-2.902358,-2.588587.以此判斷序列是否平穩(wěn)。注：若Xt不平穩(wěn)，可以依次對(duì)Xt做一階、二階…差分，直到序列平穩(wěn)。例1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)——ADF檢驗(yàn)的SAS實(shí)現(xiàn)。代碼：datasimulation;doi=1to100;x=rannor();output;end;run;datatimeseries;setsimulation;x_1st_lag=lag1(x);x_1st_diff=dif1(x);x_1st_diff_1st_lag=dif1(lag1(x));x_1st_diff_2nd_lag=dif1(lag2(x));x_1st_diff_3rd_lag=dif1(lag3(x));x_1st_diff_4th_lag=dif1(lag4(x));x_1st_diff_5th_lag=dif1(lag5(x));run;procregdata=timeseries;modelx_1st_diff=x_1st_lagx_1st_diff_1st_lagx_1st_diff_2nd_lagx_1st_diff_3rd_lagx_1st_diff_4th_lagx_1st_diff_5th_lag;run;運(yùn)行結(jié)果：REG過程

模型:MODEL1

因變量：x_1st_diff

讀取的觀測(cè)數(shù)100使用的觀測(cè)數(shù)94具有缺失值的觀測(cè)數(shù)6方差分析源自由度平方和均方F值Pr>F模型6111.3808218.5634715.25<.0001誤差87105.884241.21706方差分析源自由度平方和均方F值Pr>F校正合計(jì)93217.26507均方根誤差1.10320R方0.5126因變量均值0.02507調(diào)整R方0.4790變異系數(shù)4399.76165參數(shù)估計(jì)值變量自由度參數(shù)估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差t值Pr>|t|Intercept1-0.016340.11418-0.140.8866x_1st_lag1-0.709750.20949-3.390.0011x_1st_diff_1st_lag1-0.262170.19212-1.360.1759x_1st_diff_2nd_lag1-0.157800.17907-0.880.3806x_1st_diff_3rd_lag1-0.019730.16308-0.120.9040x_1st_diff_4th_lag10.070670.139380.510.6134x_1st_diff_5th_lag10.003400.105910.030.9745x1stlag的t值=-3.39<t=-2.902358,（或從P值=0.0011<0.050.05判斷）故拒絕原假設(shè)H。，即序列平穩(wěn)。五、純隨機(jī)性檢驗(yàn)若序列值彼此之間沒有任何相關(guān)性，即過去的行為對(duì)未來的發(fā)展沒有絲毫影響，此時(shí)稱為純隨機(jī)序列。從統(tǒng)計(jì)分析的角度而言，純隨機(jī)序列是沒有任何分析價(jià)值的序列因此，為了確保平穩(wěn)序列還值不值得分析，還需要對(duì)平穩(wěn)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)。純隨機(jī)序列（白噪聲序列）若對(duì)任取的時(shí)間t和s,時(shí)間序列Xt滿足：（1）E（Xt）=?。ǔ?shù)均值）（2）r（t,s）=02,若t=s；（方差齊性）（3）r（t,s）=0,若t#s.（純隨機(jī)性）則稱Xt為純隨機(jī)序列或白噪聲序列（白光具有該特性），簡(jiǎn)記為xt?WN@,6）。白噪聲序列是最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)時(shí)間序列。隨機(jī)生成的1000個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪聲序列觀察值：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布白噪聲序列XtD1.00200D1.002003004005006007008009001000時(shí)間3210123---K會(huì)H純隨機(jī)性檢驗(yàn)Barlett證明：n個(gè)觀察值的純隨機(jī)時(shí)間序列，延遲為k（工0）的自相關(guān)函數(shù)p（k）近似服從正態(tài)分布N（0,l/n）.由此可以構(gòu)造Qbp統(tǒng)計(jì)量（適合樣本數(shù)n上50）和Qlb統(tǒng)計(jì)量（適合小樣本）來檢驗(yàn)序列的純隨機(jī)性：Qbp-才腳）為=心+2應(yīng)［於卑］“如）EIX-氐丿再做假設(shè)檢驗(yàn)：H0：p(l)=p(2)=...=p(m),即延遲Wm的序列之間相互獨(dú)立；Hj至少有一個(gè)p(k)#0,即延遲Wm的序列之間有相關(guān)性。注：m一般取值為6、12。這是因?yàn)槠椒€(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性，只要序列時(shí)期足夠長(zhǎng)，自相關(guān)系數(shù)都會(huì)收斂于零。例2.數(shù)據(jù)如下表，時(shí)間間隔為天，起始時(shí)間自定義。1015101012107710148171418391110612141025293333121916191912341536292621171913202412614612911171281414125810316887126108105判斷該序列◎的平穩(wěn)性及純隨機(jī)性；判斷◎的一階差分兒的平穩(wěn)性及純隨機(jī)性。代碼：datadatasl;inputx_t@@;time=intnx('day','01jan2014'd,n-1);formattimemonyy.?cards;10151****2107710148171418391110612141025293333121916191912341536292621171913202412614612911171281414125810316887126108105run;procgplotdata=datasl;plotx_t*time;symboli=joinv=starcv=redci=green;run;procarimadata=datasl;identifyvar=x_tnlag=24;run;datadatas2;setdatasl;y_t=dif1(x_t);run;procgplotdata=datas2;ploty_t*time;symboli=joinv=starcv=redci=green;run;procarimadata=datas2;identifyvar=y_tnlag=24;run;運(yùn)行結(jié)果：從時(shí)序圖看，xt有明顯的周期性和遞增遞減趨勢(shì)，故不平穩(wěn)。

從ACF圖看，Xt的自相關(guān)系數(shù)遞減到零的速度相當(dāng)緩慢，在很長(zhǎng)的延遲時(shí)期里，自相關(guān)系數(shù)一直為正，而后又一直為負(fù)，故判斷該序列非平穩(wěn)。白噪聲的自相關(guān)檢査至滯后卡方自由度至滯后卡方自由度Pr＞卡方664.026〈.00011288.9812〈.00011896.3218〈.000124137.2624〈.00010.5060.2700.138-0.145自相關(guān)0.5390.3740.2910.2580.1480.1860.1780.2580.2070.226-0.027-0.053-0.112-0.139-0.155-0.284-0.229-0.306-0.211-0.313延遲為6、12的檢驗(yàn)P值均小于0.05，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為Xt為非純隨機(jī)序列（非白噪聲序列）。

Yt的時(shí)序圖波動(dòng)范圍有界且沒有明顯的周期性、遞增（遞減）趨勢(shì)，故可以初步判斷該序列平穩(wěn)。從ACF自相關(guān)圖看，延遲1階后的樣本自相關(guān)系數(shù)很快衰減到零附近，且1階后的樣本自相關(guān)系數(shù)均落在了兩倍標(biāo)準(zhǔn)誤的范圍之內(nèi)且在零值附近波動(dòng)，故可認(rèn)為Yt平穩(wěn)。白噪聲的自相關(guān)檢査至滯后6卡方