2019年高考真題-數(shù)學(xué)（北京卷）（文科）

2019年高考真題——數(shù)學(xué)（北京卷）（文科）1.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：并集答案：C解析：，，

，

故選C.總結(jié)：考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法答案：D解析：，，故選D.總結(jié)：本題注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增的是

（

）A.

B.

C.

D.

知識點：函數(shù)單調(diào)性的判斷答案：A解析：函數(shù)，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選A.總結(jié)：本題考查簡單的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，注重對重要知識、基礎(chǔ)知識的考查.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）

A.

B.

C.

D.

知識點：算法與程序框圖答案：B解析：運行第一次，

，，

運行第二次，，，

運行第三次，，，

結(jié)束循環(huán)，輸出，故選B.總結(jié)：本題考查程序框圖，注重基礎(chǔ)知識、基本運算能力的考查5.已知雙曲線()的離心率是，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：雙曲線的離心率答案：D解析：雙曲線的離心率，，

，

解得，

故選D.總結(jié)：本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中,,的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6.設(shè)函數(shù)?(為常數(shù))，則是為偶函數(shù)的（

）A.

充分而不必要條件

B.

必要而不充分條件C.

充分必要條件

D.

既不充分也不必要條件知識點：函數(shù)奇、偶性的定義余弦（型）函數(shù)的奇偶性充要條件答案：C解析：時，,為偶函數(shù)；

為偶函數(shù)時，對任意的恒成立，

，

，得對任意的恒成立，從而從而是為偶函數(shù)的充分必要條件.

故選C.總結(jié)：本題較易，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.7.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為（）.已知太陽的星等是，天狼星的星等是，則太陽與天狼星的亮度的比值為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用對數(shù)的運算性質(zhì)答案：A解析：兩顆星的星等與亮度滿足,

令，，

，

，

故選.8.如圖，，是半徑為的圓周上的定點，為圓周上的動點，是銳角，大小為圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（

）

A.

B.

C.

D.

知識點：扇形面積公式三角形的面積（公式）答案：B解析：觀察圖象可知，當(dāng)為弧的中點時，陰影部分的面積取最大值，

?

此時，面積的最大值為

故選B.總結(jié)：本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運算求解能力，有一定的難度關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示9.已知向量，，且則

?.知識點：向量坐標與向量的數(shù)量積用向量的坐標表示兩個向量垂直的條件答案：解析：向量，，

則，，總結(jié)：本題考查平面向量的坐標運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.10.若，滿足則的最小值為

?，最大值為

?.知識點：簡單的線性規(guī)劃問題答案：；解析：作出可行域如圖陰影部分所示

設(shè)，則當(dāng)直線經(jīng)過點時，取最小值，經(jīng)過點時，取最大值總結(jié)：本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本技能的考查.11.設(shè)拋物線的焦點為，準線為則以為圓心，且與相切的圓的方程為

?.知識點：直線與圓的方程的應(yīng)用拋物線的定義直線和圓相切答案：解析：拋物線中，，，

焦點(,)，準線的方程為，

以為圓心，

且與相切的圓的方程為，即為.總結(jié)：本題主要考查拋物線的焦點坐標，拋物線的準線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12.某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，那么該幾何體的體積為

?.

??知識點：三視圖棱柱、棱錐、棱臺的體積答案：40解析：在正方體中還原該幾何體，如圖所示

幾何體的體積.

總結(jié)：易錯點有二，一是不能正確還原幾何體；二是計算體積有誤為避免出錯，應(yīng)注重多觀察、細心算13.已知，是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：

①；②；③．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：

?．知識點：空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與平面的位置關(guān)系垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用答案：如果，，則解析：將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：

（）如果，，則正確；

（）如果，，則不正確，有可能在平面內(nèi)；

（）如果，，則不正確，有可能與斜交、總結(jié)：本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為

元盒、

元盒、

元盒、

元盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到

元，顧客就少付

元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的．(1)當(dāng)時，顧客一次購買草莓和西瓜各盒，需要支付

?元；(2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則的最大值為

?.知識點：不等關(guān)系在實際生活中的體現(xiàn)答案：(1)(2)解析：(1)，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，

需要支付（）

元(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為

元，

元時，李明得到的金額為，符合要求

元時，有（）?成立，

即（），，即

元

所以的最大值為總結(jié)：(2)本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識、數(shù)學(xué)式子變形與運算求解能力，有一定難度15.在中，，，(1)求，的值；(2)求（）的值．知識點：余弦定理及其應(yīng)用正弦定理及其應(yīng)用兩角和與差的正弦公式同角三角函數(shù)的平方關(guān)系答案：(1)由題意可得：解得(2)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，

結(jié)合正弦定理可得：，

很明顯角為銳角，故，

故解析：(1)由題意列出關(guān)于，，的方程組，求解方程組即可確定，的值；(2)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值總結(jié)：(2)本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16.設(shè)是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)記的前項和為，求的最小值.知識點：等差數(shù)列的通項公式等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用等差數(shù)列的基本量等差數(shù)列的前項和的應(yīng)用答案：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，

因為成等比數(shù)列，所以，

即，解得，所以.(2)由知，

所以，

當(dāng)或者時，取到最小值.解析：(1)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項公式可得的通項公式；(2)首先求得的表達式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值總結(jié)：(2)等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月，兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的

名學(xué)生中隨機抽取了

人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有

人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

(1)估計該校學(xué)生中上個月，兩種支付方式都使用的人數(shù)；(2)從樣本僅使用的學(xué)生中隨機抽取

人，求該學(xué)生上個月支付金額大于

元的概率；(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中隨機抽查

人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于

元．結(jié)合（2）的結(jié)果，能否認為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于

元的人數(shù)有變化？說明理由.知識點：古典概型的概率計算公式古典概型的應(yīng)用用頻率估計概率頻數(shù)與頻率概率的基本性質(zhì)答案：(1)由圖表可知僅使用的人數(shù)有

人，僅使用的人數(shù)有

人，

由題意知兩種支付方式都不使用的有

人，

所以樣本中兩種支付方式都使用的有，

所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有(人).(2)因為樣本中僅使用的學(xué)生共有

人，只有

人支付金額大于

元，

所以該學(xué)生上個月支付金額大于

元的概率為.(3)由（2）知支付金額大于

元的概率為，

因為從僅使用的學(xué)生中隨機調(diào)查

人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于

元，

依據(jù)小概率事件它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認為僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于

元的人數(shù)有變化，且比上個月多.解析：(1)由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)；(2)利用古典概型計算公式可得上個月支付金額大于

元的概率；(3)結(jié)合概率統(tǒng)計相關(guān)定義給出結(jié)論即可總結(jié)：(3)本題主要考查古典概型概率公式及其應(yīng)用，概率的定義與應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18.如圖，在四棱錐中，平面，底部為菱形，為的中點

(1)求證：平面；(2)若，求證：平面平面；(3)棱上是否存在點，使得平面？說明理由知識點：立體幾何中的探索問題直線與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面平行的判定定理答案：(1)證明：因為平面，所以；

因為底面是菱形，所以；

因為，平面

所以平面.(2)證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以，

因為，所以；

因為平面，平面所以；

因為，

所以平面，

平面，所以平面平面(3)存在點為中點時，滿足平面；理由如下:

分別取的中點，連接,

在三角形中，且

在菱形中，為中點，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;

又平面，平面，所以平面.解析：(1)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(2)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；(3)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點總結(jié)：(3)本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力19.已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點，直線與橢圓交于兩個不同點，，直線與軸交于點，直線與軸交于點，若，求證：直線經(jīng)過定點.知識點：橢圓的標準方程橢圓的頂點、長軸、短軸、焦點、焦距圓錐曲線的定值、定點問題答案：(1)因為橢圓的右焦點為，所以；

因為橢圓經(jīng)過點，所以，所以，

故橢圓的方程為.(2)設(shè)，

聯(lián)立得，

，，，.

直線，令得，即；

同理可得.

因為，所以；

，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.解析：(1)由題意確定,的值即可確定橢圓方程；(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定,的表達式，結(jié)合韋達定理確定的值即可證明直線恒過定點總結(jié)：(2)解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.20.已知函數(shù).(1)求曲線的斜率為的切線方程；(2)當(dāng)時，求證：；(3)設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為，當(dāng)最小時，求的值．知識點：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程（斜率）導(dǎo)數(shù)與最值利用導(dǎo)數(shù)證明不等式導(dǎo)數(shù)的幾何意義答案：(1)，

令

得或者

當(dāng)時，，

此時切線方程為，即；

當(dāng)時，，此時切線方程為，即；

綜上可得所求切線方程為和.(2)設(shè)，，

令

得或者，

所以當(dāng)時，，為增函數(shù)；

當(dāng)時，，為減函數(shù)；

當(dāng)時，，為