第6講DEA模型課件

第6講DEA模型第六講多目標決策之:

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)分析

第6講DEA模型一、多目標決策問題實例干部評估－德、才兼?zhèn)浣處煏x升－教學(xué)數(shù)量、質(zhì)量、科研成果購買冰箱－價格、質(zhì)量、耗電、品牌等球員選擇－技術(shù)、體能、經(jīng)驗、心理找對象－容貌、學(xué)歷、氣質(zhì)、家庭狀況

多目標決策的基本概念第6講DEA模型二、多目標決策問題特點決策目標多于一個目標間存在不可公度性，即各個目標間沒有統(tǒng)一的衡量標準，如大型水電開發(fā)方案決策問題中發(fā)電目標是多少度或多少電費，而環(huán)境改善目標無法折算成貨幣標準目標間的矛盾性，某個目標的改進必然導(dǎo)致另外某些目標的劣化。第6講DEA模型三、多目標決策與單目標決策區(qū)別點評價與向量評價 單目標：方案dj←評價值f(dj)

多目標：方案dj←評價向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))決策者偏好：多目標決策過程中，反映決策者對 目標的偏好。第6講DEA模型四、多目標決策問題的分類多屬性決策問題（MultiAttributedecisionmakingproblem)：決策變量是離散的，決策方案的數(shù)量是有限的，因此有時也稱為有限方案多目標決策問題。多目標決策問題（Mulitiobjectivedecisionmakingproblem)：決策變量是連續(xù)的，決策方案為無限多，因此，有時也稱為無限多方案多目標決策問題多準則決策問題（Multicriteriondecisionmakingproblem),通常指多目標和多屬性決策。國內(nèi)用的比較混亂。國外一般用多準則決策.第6講DEA模型多目標決策相關(guān)術(shù)語屬性：備選方案的特征、品質(zhì)、性能參數(shù)目標：決策希望達到目的的標準準則：判斷事務(wù)的標準，兼指屬性和目標第6講DEA模型多目標決策解的概念單目標決策的解只有一種（絕對）最優(yōu)解多目標決策的解有下面四種情況：絕對最優(yōu)解劣解有效解(pereto解)弱有效解（weakefficientsolution）第6講DEA模型多目標問題的解為決策變量如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)第6講DEA模型

層次分析法（AHP）數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA)主成分分析法(PCA)目標規(guī)劃方法TOPSIS方法或理想點法多目標規(guī)劃法模糊決策法五、常用多目標決策方法第6講DEA模型一、DEA方法介紹

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法（DEA，DataEnvelopmentAnalysis）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978，以相對效率概念為基礎(chǔ)提出來的一種效率評價方法。該方法的原理主要是通過保持決策單元（DMU：,DecisionMakingUnits）的輸入或者輸入不變，借助于數(shù)學(xué)規(guī)劃和統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定相對有效的生產(chǎn)前沿面，將各個決策單元投影到DEA的生產(chǎn)前沿面上，并通過比較決策單元偏離DEA前沿面的程度來評價它們的相對有效性。第6講DEA模型

1978年，著名運籌學(xué)家、美國德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運籌學(xué)雜志”上。正式提出了運籌學(xué)的一個新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡稱C2R模型。該模型用以評價部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。第6講DEA模型

DEA是應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來評價具有多個輸入和多個輸出的“部門”或“單位”的相對有效性的。根據(jù)各DMU的觀察數(shù)據(jù)判斷其是否有效，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于生產(chǎn)可能集的“前沿面”上。

應(yīng)用DEA方法和模型可以確定生產(chǎn)前沿面的結(jié)構(gòu)，因此又可以將DEA看作是一種非參數(shù)的統(tǒng)計估計方法。特別當DEA被用來研究多輸入、多輸出的生產(chǎn)函數(shù)理論時，由于不需要預(yù)先估計參數(shù)，因而在避免主觀因素和簡化算法、減少誤差等方面有著巨大的優(yōu)越性。第6講DEA模型

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(即DEA)也可以看作是一種統(tǒng)計分析的新方法，它是根據(jù)一組關(guān)于輸入－輸出的觀察值來估計有效生產(chǎn)前沿面的。在有效性的評價方面，除了DEA方法以外，還有其它的一些方法，但是那些方法幾乎僅限于單輸出的情況。相比之下，DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力是具有絕對優(yōu)勢的。并且，DEA方法不僅可以用線性規(guī)劃來判斷決策單元對應(yīng)的點是否位于有效生產(chǎn)前沿面上，同時又可獲得許多有用的管理信息。因此，它比其它的一些方法（包括采用統(tǒng)計的方法）優(yōu)越，用處也更廣泛。第6講DEA模型DEA也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項目評價）；研究在做決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進行政策評價．特別值得指出的是，DEA方法是純技術(shù)性的，與市場（價格）可以無關(guān)。只需要區(qū)分投入與產(chǎn)出，不需要對指標進行無量綱化處理，可以直接進行技術(shù)效率與規(guī)模效率的分析而無須再定義一個特殊的函數(shù)形式，而且對樣本數(shù)量的要求不高，這是別的方法所無法比擬的。第6講DEA模型

近30年來，已經(jīng)有數(shù)以千計關(guān)于DEA的研究論文、工作報告和博士論文等發(fā)表。某些運籌學(xué)或經(jīng)濟學(xué)的重要刊物，如：AnnalsofOperationalResearch（1985），EuropeanJournalofOperationalResearch（1992），JournalofProductivityAnalysis（1992），JournalofEconometic（1990）以及ComputersandOperationsResearch等都出版了DEA研究的特刊。在國外，DEA方法已經(jīng)成功地應(yīng)用于銀行、城市、醫(yī)院、學(xué)校及軍事等方面效率的評價，在對相互之間存在激烈競爭的私營企業(yè)和公司的效率評價中，也顯示出巨大的優(yōu)越性。在國內(nèi)，經(jīng)濟和管理領(lǐng)域的許多方面，DEA方法都得到了重要的應(yīng)用。第6講DEA模型

DEA方法以相對效率概念為基礎(chǔ)，以凸分析和線形規(guī)劃為工具的一種評價方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型計算比較決策單元之間的相對效率，對評價對象做出評價，它能充分考慮對于決策單元本身最優(yōu)的投入產(chǎn)出方案，因而能夠更理想地反映評價對象自身的信息和特點；同時對于評價復(fù)雜系統(tǒng)的多投入多產(chǎn)出分析具有獨到之處。第6講DEA模型DEA方法的特點：（1）適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評價問題，在處理多輸出-多輸入的有效性評價方面具有絕對優(yōu)勢；（2）DEA方法并不直接對數(shù)據(jù)進行綜合，因此決策單元的最優(yōu)效率指標與投入指標值及產(chǎn)出指標值的量綱選取無關(guān)，應(yīng)用DEA方法建立模型前無須對數(shù)據(jù)進行無量綱化處理（當然也可以）。第6講DEA模型（3）無須任何權(quán)重假設(shè)，而以決策單元輸入輸出的實際數(shù)據(jù)求得最優(yōu)權(quán)重，排除了很多主觀因素，具有很強的客觀性（4）DEA方法假定每個輸入都關(guān)聯(lián)到一個或者多個輸出，且輸入輸出之間確實存在某種聯(lián)系，但不必確定這種關(guān)系的顯示表達式第6講DEA模型二、DEA基本原理和模型一、DEA模型概述對具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進行評價，這些部門、企業(yè)或時期稱為決策單元。評價的依據(jù)是決策單元的一組投入指標數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)。

投入指標是指決策單元在經(jīng)濟和管理活動中需要耗費的經(jīng)濟量，例如固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。

產(chǎn)出指標是指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。

第6講DEA模型

指標數(shù)據(jù)是指實際觀測結(jié)果，根據(jù)投入指標數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性。

DEA方法就是評價多指標投入和多指標產(chǎn)出決策單元相對有效性的多目標決策方法。為了說明DEA模型的建模思路，我們看下面的例子。第6講DEA模型

例：某公司有甲、乙、丙三個企業(yè)，為評價這幾個企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:

企業(yè)指標甲乙丙x1（萬元）41527x2（萬元）1545x3（萬元）825y1（萬元）602224y2（萬元）1268

由于投入指標和產(chǎn)出指標都不止一個，故通常采用加權(quán)的辦法來綜合投入指標值和產(chǎn)出指標值。

第6講DEA模型對于第一個企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中u1u2v1v2v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。我們定義第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比即:類似，可知第二、第三個企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：第6講DEA模型我們限定所有的hj值不超過1，即，這意味著，若第k個企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對有效的，若hk<1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。即因此，建立第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：這是一個分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。max第6講DEA模型設(shè)則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃其對偶問題為：max第6講DEA模型

總結(jié)：設(shè)vi為第i個指標xi的權(quán)重，ur為第r個產(chǎn)出yr指標的權(quán)重，則第j個企業(yè)投入的綜合值為，產(chǎn)出的綜合值為其生產(chǎn)效率定義為:

于是問題實際上是確定一組最佳的權(quán)變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個企業(yè)的效率值hj最大。這個最大的效率評價值是該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說不可能更高的相對效率評價值。

我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj≤1。這意味著，若第k個企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；若hk<1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。第6講DEA模型

根據(jù)上述分析，可以建立確定任何一個企業(yè)（如第3個企業(yè)即丙企業(yè)）的相對生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下：

第6講DEA模型輸入型與輸出型的DEA模型Input-DEA模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實際投入之比來估計?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求θ的最小。Output-DEA模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來估計?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。第6講DEA模型定義：

123…j…nv11x11x12x13…x1j…x1nv22x21x22x23…x2j…x2n......….vi.....Xij….......….vmmxm1xm2xm3…xmj…xmn

y11y12y13…y1j…y1n1u1

y21y22y23…y2j…y2n2u2.....…......yrj…..ur.....…..ys1ys2ys3…ysj…ysnsusm種輸入n個決策單元（DMU）s種輸出二、DEA基本原理和模型權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)第6講DEA模型各字母定義如下：xij--------第j個決策單元對第i種類型輸入的投入總量.xij〉0yrj--------第j個決策單元對第r種類型輸出的產(chǎn)出總量.yrj〉0vi--------對第i種類型輸入的一種度量，權(quán)系數(shù)ur--------對第r種類型輸出的一種度量，權(quán)系數(shù)i----------1,2,…,mr----------1,2,…,sj----------1,2,…,n第6講DEA模型

C2R模型：規(guī)模報酬不變

設(shè)有n個部門(企業(yè))，稱為n個決策單元，每個決策單元都有p種投入和q種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟指標表示。這樣，由n個決策單元構(gòu)成的多指標投入和多指標產(chǎn)出的評價系統(tǒng)，可以用下圖表示：

V決策單元12…k…nv1→x11x12…x1k…x1n投入v2→x21x22…x2k…x2n………………

……vp→xp1xp2…xpk…xpn

決策單元12…k…n

Uy11y12…y1k…y1n→u1y21y22…y2k…y2n→u2產(chǎn)出……………………yq1yq2…yqk…yqn→uqxik表示第k個決策單元第i種投入指標的投入量，xik＞0；（是已知數(shù)據(jù)）

vi表示第i種投入指標的權(quán)系數(shù)，

vi≥0（是變權(quán)數(shù)）

yjk表示第k個決策單元第j種產(chǎn)出指標的產(chǎn)出量，yjk＞0；（是已知數(shù)據(jù)）

uj表示第k種產(chǎn)出指標的權(quán)系數(shù)，

uj≥0（是變權(quán)數(shù)）

第6講DEA模型對于每一個決策單元DMUj都有相應(yīng)的效率評價指數(shù)：

我們可以通過適當?shù)娜?quán)系數(shù)v和u，使得hj≤1,j=1,…，n第6講DEA模型

對第j0個決策單元進行效率評價，一般說來，hj0越大表明DUMj0能夠用相對較少的輸入而取得相對較多的輸出。這樣我們?nèi)绻麑UMj0進行評價，看DUMj0在這n個DMU中相對來說是不是最優(yōu)的，我們可以考察當盡可能地變化權(quán)重時，hj0的最大值究竟是多少。第6講DEA模型如以第j0個決策單元的效率指數(shù)為目標，以所有決策單元的效率指數(shù)為約束，就構(gòu)造了如下的CCR（C2R）模型：第6講DEA模型上述規(guī)劃模型是一個分式規(guī)劃，使用Charnes－Cooper變化，令：可變成如下的線性規(guī)劃模型P：（P）第6講DEA模型

利用線性規(guī)劃的最優(yōu)解來定義決策單元j0的有效性，從模型可以看出，該決策單元j0的有效性是相對其他所有決策單元而言的。對于CCR模型可以用規(guī)劃P表達，而線性規(guī)劃一個重要的有效理論是對偶理論，通過建立對偶模型更容易從理論和經(jīng)濟意義上作深入分析第6講DEA模型規(guī)劃P的對偶規(guī)劃為規(guī)劃D/：（D/）第6講DEA模型為了討論和計算應(yīng)用方便，進一步引入松弛變量s＋和剩余變量s－，將上面的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，可變成：（D）將上述規(guī)劃（D）直接定義為規(guī)劃（P）的對偶規(guī)劃第6講DEA模型

例：設(shè)有4個決策單元，2個投入指標和1個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。寫出評價第1個決策單元相對效率的C2R模型。

1234決策單元投入1→13342→31321121→1產(chǎn)出

解：（P）：MaxVP=1

s.t.1+32-1≥031+2-1≥031+32-21≥041+22-1≥0

1+32=1

1,2,1≥0（D）：MinVD=s.t.1+32+33+44+s-1=31+2+33+24+s-2=3

1+2+23+4–s+1=1

1,2,3,4,s-1,s-2s+1≥0第6講DEA模型DEA有效性的定義：我們能夠用

C2R模型判定是否同時技術(shù)有效和規(guī)模有效：（1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。則決策單元j0為DEA有效，決策單元的經(jīng)濟活動同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效（2）θ*＝1，但至少某個輸入或者輸出大于0，則決策單元j0為弱DEA有效，決策單元的經(jīng)濟活動不是同時為技術(shù)效率最佳和規(guī)模最佳（3）θ*＜1，決策單元j0不是DEA有效，經(jīng)濟活動既不是技術(shù)效率最佳，也不是規(guī)模最佳第6講DEA模型在評價決策單元是否為DEA有效時,如果利用原線性規(guī)劃問題需要判斷是否存在最優(yōu)解，滿足：如果利用對偶線性規(guī)劃需要判斷它的所有最優(yōu)解都滿足

無論是對于線性規(guī)劃還是對于對偶規(guī)劃，這都是不容易做到的。因此Charnes和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。具有非阿基米德無窮小的C2R模型:第6講DEA模型1952年，Charnes通過引入具有非阿基米德無窮小量ε，從而可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEA有效性，成功解決了計算和技術(shù)上的困難，建立了具有非阿基米德無窮小量ε的C2R模型。令ε是非阿基米德無窮小量，它是一個小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)。C2R模型的計算：最優(yōu)解為，，，。在實際操作中，只要取足夠小，例如取=10-6。按照阿基米德公理，“無窮小”只能為零

。文獻：張寶成.含非阿基米德無窮小量DEA模型的研究綜述,《系統(tǒng)工程學(xué)報》,

2010年6月第6講DEA模型

【例】設(shè)有4個決策單元，2個投入指標和1個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。判定各個決策單元是否DEA有效。1234決策單元投入1→13342→31321121→1產(chǎn)出

解：①決策單元1所對應(yīng)的線性規(guī)劃（D

），取

=10-6，為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s-2+s+1)]s.t.1+32+33+44+s-1=31+2+33+24+s-2=3

1+2+23+4–s+1=1

1,2,3,4,s-1,s-2s+1≥0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解

0=(1,0,0,0)T

，S10-=S20-=S10+=0，

0=1因此，決策單元1為DEA有效。④決策單元4所對應(yīng)的線性規(guī)劃（D

），取

=10-6，為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s-2+s+1)]s.t.1+32+33+44+s-1=431+2+33+24+s-2=2

1+2+23+4–s+1=1

1,2,3,4,s-1,s-2s+1≥0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解

0=(0,3/5,1/5,0)T

，S10-=S20-=S10+=0，

0=3/5＜1因此，決策單元4不是DEA有效。②同樣地，經(jīng)過判定，決策單元2，3均為DEA有效。第6講DEA模型λj使各個有效點連接起來,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包絡(luò)面。在實際運用中,對松弛變量的研究是有意義的,因為它是一種純的過剩量(s-)或不足量(s+)，θ則表示DMU離有效前沿面或包絡(luò)面的一種徑向優(yōu)化量或“距離”設(shè)其中,,是決策單元j0對應(yīng)的線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解,則(,)為DMUj0對應(yīng)的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影,它是DEA有效的。C2R模型中變量的經(jīng)濟含義:定理3第6講DEA模型

DEA有效的經(jīng)濟含義

DEA的理論、模型是以微觀經(jīng)濟學(xué)為其理論基礎(chǔ)。生產(chǎn)前沿面：生產(chǎn)前沿面是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡(luò)面的有效部分，這也是稱謂“數(shù)據(jù)包絡(luò)分析”的原因所在。決策單元為DEA有效，也即相應(yīng)于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標的Pareto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面（Pareto最優(yōu)點構(gòu)成的面）。參考文獻：李雙杰，范超：《隨機前沿分析與數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法的評析與比較》，統(tǒng)計與決策2009年第7期第6講DEA模型

研究DEA有效性的經(jīng)濟含義是以生產(chǎn)函數(shù)y=為背景的．

“技術(shù)有效”：若生產(chǎn)狀態(tài)（x,y）滿足y=，則稱生產(chǎn)狀態(tài)（x,y）是“技術(shù)有效”的（也即輸出相對輸入而言已達到最大）。此時，點（x,y）位于生產(chǎn)函數(shù)的曲面上．

“規(guī)模有效”：當時，經(jīng)濟學(xué)中的“邊際報酬遞減規(guī)律”是指：生產(chǎn)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表現(xiàn)為先增后減的規(guī)律（或函數(shù)先為凸，后為凹）。

所謂“規(guī)模有效”，是指投入量x既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收益由遞增（遞增）到遞減（遞減）之間的一種狀態(tài)（即“規(guī)模收益不變”的最佳狀態(tài)）。第6講DEA模型我們現(xiàn)在來研究在模型C2R之下的DEA有效性的經(jīng)濟含義.檢驗決策單元j0的DEA有效性,即考慮線性規(guī)劃問題:由于,即滿足

可以看出,線性規(guī)劃是表示在生產(chǎn)可能集T內(nèi),當產(chǎn)出Y0保持不變的情況下,盡量將投入量X0按同一比例θ減少.如果投入量X0不能按同一比例θ減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值θ=1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0既為技術(shù)有效,也為規(guī)模有效.反之,如果投入量X0能按同一比例θ減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值θ<1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0不為技術(shù)有效,或不為規(guī)模有效.第6講DEA模型1

、生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集.(1)生產(chǎn)函數(shù)y=f(x)

：在單投入和單產(chǎn)出的情況下，生產(chǎn)函數(shù)(一般是增函數(shù))表示理想的生產(chǎn)狀態(tài)，即投入x所能獲得的最大產(chǎn)出y。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲線上的點(x,y)所對應(yīng)的決策單元，從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于技術(shù)有效狀態(tài).生產(chǎn)函數(shù)圖形如下圖，A、C處于技術(shù)有效狀態(tài)。①點A將曲線分為兩部分，在點A之左，y’＞0，y’’＞0，曲線在生產(chǎn)函數(shù)的下凸區(qū)間，表示增加投入量可以使產(chǎn)出量的遞增速度增加，此時稱為規(guī)模收益遞增，廠商有投資的積極性；在點A之右，y’＞0，y’’＜0，曲線是上凸的，在此區(qū)間，增加投入量只能使產(chǎn)出量增加的速度減小，此時稱為規(guī)模收益遞減，廠商己經(jīng)沒有增加投資的積極性。點A是生產(chǎn)函數(shù)曲線的拐點，點A所對應(yīng)的決策單元，既是技術(shù)有效，也是規(guī)模有效。這是因為該決策單元減少投入量或增加投入量，都不是最佳生產(chǎn)規(guī)模。

②點C在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，對應(yīng)的決策單元技術(shù)有效，但不是規(guī)模有效。這是由于點C位于規(guī)模收益遞減區(qū)間。③點B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線之上，并位于規(guī)模收益遞減區(qū)域，點B所對應(yīng)的決策單元既不是技術(shù)有效，也不是規(guī)模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)

第6講DEA模型

考慮投入量為，產(chǎn)出量為的某種生產(chǎn)活動。我們的目的是根據(jù)所觀察到的生產(chǎn)活動（xj,yj),j=1,2,…,n,去描述生產(chǎn)可能集，特別是根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)去確定哪些生產(chǎn)活動是相對有效的。(2)生產(chǎn)可能集所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的集合，記作T={(X,Y)|產(chǎn)出Y可由投入X生產(chǎn)出來}，因此，生產(chǎn)可能集可確定為：第6講DEA模型有效性定義：對任何一個決策單元，它達到100%的效率是指：①在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，除非同時降低其他種類的輸出；②要達到現(xiàn)有的輸出，任何一種輸入都無法降低，除非同時增加其他種類的輸入。一個決策單元達到了100%的效率，該決策單元就是有效的，也就是有效的決策單元。無效性定義：（1）對任意（X，Y）∈T，并且，均有（2）對任意（X，Y）∈T，并且，均有這就是說，以較多的輸入或較少的輸出進行生產(chǎn)總是可能的。第6講DEA模型

由于(Xk,Yk)是決策單元k的生產(chǎn)活動，于是有(Xk,Yk)T，k=1,2,…,n

在C2R模型中，生產(chǎn)可能集應(yīng)該滿足下面的四條公理：

公理1(凸性)

對于任意(X1,Y1)T、(X2,Y2)T，以及任意

[0,1]，均有

(X1,Y1)+(1-)(X2,Y2)=(

X1+(1-)X2

，

Y1+(1-)Y2)T

即是說,如果X1,X2分別以

,1-

加權(quán)和作為投入量，則Y1,Y2以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。

公理2(錐性)

對于任意(X,Y)T，以及任意數(shù)≥0，均有

(X,Y)=(

X,

Y)T

即是說，如果以X的

倍作為投入量，則產(chǎn)出量是Y的同樣倍數(shù)。

公理3(無效性)

對于任意(X,Y)T，①若X’≥X，則均有(X’,Y)T；②若Y’≤Y，則均有(X,Y’)T。即是說，在原生產(chǎn)活動中，單方面地增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動總是可能的。

公理4(最小性)

生產(chǎn)可能集T是滿足公理1～3的所有集合的交集。

由n個決策單元(Xk,Yk)的生產(chǎn)活動所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理1～4是唯一確定的。這個生產(chǎn)可能集可以表示為：第6講DEA模型【例4】設(shè)有單投入單產(chǎn)出3個決策單元的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖：1231→245213.5→1

則其生產(chǎn)可能集為第6講DEA模型(3)模型C2R下DEA有效性的經(jīng)濟意義

由于(X0,Y0)T，即(X0,Y0)滿足條件：

線性規(guī)劃模型（D’）表示在生產(chǎn)可能集內(nèi)，當產(chǎn)出Y0保持不變的情況下，盡量將投入量X0按同一比例減少。如果投入量X0不能按同一比例θ減少，即模型（D’）的最優(yōu)值VD’

=

0=1，決策單元k0同時技術(shù)有效和規(guī)模有效；如果投入量X0能按同一比例

減少，模型（D’）最優(yōu)值VD’

=

0＜1，決策單元k0不是技術(shù)有效或規(guī)模有效。

其中：第6講DEA模型

設(shè)模型（D

）的最優(yōu)解為

0、s0-、s0+、0

，分三種情況進一步討論：①

0=1，且s0-=0、s0+=0：決策單元k0為DEA有效。其經(jīng)濟意義是：決策單元k0的生產(chǎn)活動(X0,Y0)同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效。所謂技術(shù)有效，是指對于生產(chǎn)活動(X0,Y0)，從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用，投入要素達到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評價指標h0=Vp=VD=

0=1。②

0=1，但至少有某個si0-＞0或者至少有某個sj0+＞0：決策單元k0為弱DEA有效。其經(jīng)濟意義是：決策單元k0不是同時技術(shù)有效和規(guī)模收益有效。若某個si0-＞0，表示第i種投入指標有si0-沒有充分利用；若某個sj0+＞0，表示第j種產(chǎn)出指標與最大產(chǎn)出值尚有sj0+的不足。

③

0

＜1：決策單元k0不是DEA有效。其經(jīng)濟意義是：決策單元k0的生產(chǎn)活動(X0,Y0)既不是技術(shù)效率最佳,也不是規(guī)模收益最佳。

例如，

=0.9＜1，模型（D

）的約束條件為

這表示：得到產(chǎn)出量Y0，至多只需投入量0.9X0，即生產(chǎn)活動(X0,Y0)的投入規(guī)模過大，故不是同時為技術(shù)效率最佳和規(guī)模收益最佳。第6講DEA模型【例5】設(shè)有單投入單產(chǎn)出3個決策單元的評價系統(tǒng)(數(shù)據(jù)如下)，討論各決策單元的DEA有效性。1231→245213.5→1

解：①決策單元1的線性規(guī)劃模型（D

），取

=10-6，為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.21+42+53+s-1=221+2+3.53–s+1=2

1,2,3,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優(yōu)解0=(1,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1

因此，決策單元1同時技術(shù)有效和規(guī)模有效。生產(chǎn)活動(2，2)在圖中對應(yīng)點A，表示同時取得最佳技術(shù)效率和最佳規(guī)模收益。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)

第6講DEA模型②決策單元2的線性規(guī)劃模型（D

），取

=10-6，為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.21+42+53+s-1=421+2+3.53–s+1=1

1,2,3,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優(yōu)解0=(1/2,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1/4＜1

因此，決策單元2不是DEA有效。

生產(chǎn)活動(4，1)在圖中對應(yīng)點B，既非技術(shù)有效，也非規(guī)模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)

第6講DEA模型③決策單元3的線性規(guī)劃模型（D

），取

=10-6，為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.21+42+53+s-1=521+2+3.53–s+1=3.5

1,2,3,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優(yōu)解0=(7/4,0,0)T，S10-=S10+=0，0=7/10＜1

因此，決策單元3不是DEA有效。

生產(chǎn)活動(5，3.5)在圖中對應(yīng)點C，該點在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，僅是技術(shù)有效而不是規(guī)模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)

第6講DEA模型(4)生產(chǎn)活動規(guī)模收益的判定

定理:

設(shè)線性規(guī)劃（D

）的最優(yōu)解為

0、s0-、s0+、0

①若則決策單元k0規(guī)模收益不變；②若則決策單元k0規(guī)模收益遞增；③若則決策單元k0規(guī)模收益遞減。第6講DEA模型【例6】設(shè)有單投入單產(chǎn)出5個決策單元的評價系統(tǒng)(數(shù)據(jù)如下圖)。試討論決策單元1、2、5

的規(guī)模收益問題。123451→35426

解：①決策單元1的線性規(guī)劃模型（D

），取

=10-6，為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.31+52+43+24+65+s-1=321+42+3+4+4.55–s+1=2

1,2,3,4,5,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優(yōu)解0=(0,1/2,0,0,0)T，S10-=S10+=0，0=5/6＜1

因此，決策單元1非DEA有效。24114.5→1

由于所以決策單元1規(guī)模收益遞增。第6講DEA模型②決策單元2的線性規(guī)劃模型（D

），取

=10-6，為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.31+52+43+24+65+s-1=521+42+3+4+4.55–s+1=4

1,2,3,4,5,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優(yōu)解0=(0,1,0,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1

因此，決策單元2為DEA有效。

由于所以決策單元2規(guī)模收益不變。③決策單元5的線性規(guī)劃模型（D

），取

=10-6，為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.31+52+43+24+65+s-1=621+42+3+4+4.55–s+1=4.5

1,2,3,4,5,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優(yōu)解0=(0,9/8,0,0,0)T，S10-=S10+=0，0

=15/16＜1

因此，決策單元5非DEA有效。

由于所以決策單元5規(guī)模收益遞減。

同樣地，可以判定決策單元3、4均為規(guī)模收益遞增。第6講DEA模型例6:

下面是具有3個決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù).相應(yīng)決策單元所對應(yīng)的點以A,B,C表示,其中點A、C在生產(chǎn)曲線上,點B在生產(chǎn)曲線下方。由3個決策單元所確定的生產(chǎn)可能集T也在圖中標出來。245213.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)對于決策點A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”,它所對應(yīng)的C2R模型為其最優(yōu)解為:第6講DEA模型245213.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)對于決策點B,它不是“技術(shù)有效”,因為點B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,也不是“規(guī)模有效”,這是因為它的投資規(guī)模太大.其最優(yōu)解為:其對應(yīng)的C2R模型如下:由于θ<1,故B點不是DEA有效,由,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.第6講DEA模型245213.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)其最優(yōu)解為:對于決策點C,,因為點C是在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,它是“技術(shù)有效”,但由于它的投資規(guī)模太大,所以不是“規(guī)模有效”.其對應(yīng)的C2R模型如下:由于θ<1,故C點不是DEA有效,由,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.第6講DEA模型(4)DEA方法在評價中的應(yīng)用

應(yīng)用DEA方法評價企業(yè)經(jīng)濟效益的步驟是：①確定評價目標；②建立評價指標體系；③收集和整理數(shù)據(jù)；④建立DEA模型，計算分析；⑤作出評價，提出決策建議。在實際應(yīng)用中，計算過程均可利用DEA軟件，也可利用線性規(guī)劃軟件在計算機上實現(xiàn)。

第6講DEA模型

衡量某一決策單元j0是否DEA有效——是否處于由包絡(luò)線組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個由n個決策單元組成（線性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項產(chǎn)出均不低于

j0

決策單元的各項產(chǎn)出，它的各項投入均低于

j0決策單元的各項的各項投入。即有：

（5）構(gòu)建DEA模型的思路∑

jyrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

jxij≤Exij0

（i=1，2，…，m，E＜1）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn

這說明

j0

決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。第6講DEA模型

基于上述事實，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：minE

S.t.∑

jyrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

jxij≤Exij0

（i=1，2，…，m）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn結(jié)果分析：1、當求解結(jié)果有E＜1

時，則j0決策單元非DEA有效；2、否則，則j0決策單元DEA有效。第6講DEA模型三、DEA應(yīng)用案例1.對生產(chǎn)水平的相對有效性分析

--梁敏.邊馥萍.生產(chǎn)水平的相對有效性分析.

數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究[J]2003.9：91-94第6講DEA模型第6講DEA模型利用含有非阿基米德無窮小ε的CCR模型，對北京地區(qū)建立如下模型：第6講DEA模型同樣建立其他三個直轄市的模型，求得的解如下：第6講DEA模型例：醫(yī)院相對效率評價輸入量全職非主治醫(yī)師人數(shù)提供的經(jīng)費可供住院的床位數(shù)輸出量開診日的藥物治療服務(wù)開診日的非藥物治療服務(wù)接受過培訓(xùn)的護士數(shù)目接受過培訓(xùn)的實習(xí)醫(yī)師數(shù)目第6講DEA模型投入方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院全職非主治醫(yī)師285.20162.30275.70210.40提供的經(jīng)費（千元）123.8128.70348.50154.10可提供的住院床位數(shù)（千張）106.7264.21104.10104.044類醫(yī)院的年輸入量（年消耗）第6講DEA模型輸出方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院開診日的藥物治療（千次）48.1434.6236.7233.16開診日的非藥物治療（千次）43.1027.1145.9856.46接受過培訓(xùn)的護士數(shù)目253148175160接受過培訓(xùn)的實習(xí)醫(yī)師數(shù)目412723844類醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務(wù)）第6講DEA模型通過建立一個線性規(guī)劃模型，以4類醫(yī)院的輸入量和輸出量為基礎(chǔ)建立一個假設(shè)的合成醫(yī)院。通過將4類醫(yī)院的輸入量（或輸出量）的加權(quán)平均值作為假設(shè)的合成醫(yī)院的輸入量（或輸出量）。在線性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假如合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院（四類醫(yī)院的加權(quán)平均）相對低效，進而可被認為比其他醫(yī)院相對低效。第6講DEA模型wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；ws為國家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重所以，DEA模型的第一個約束條件為

wg＋wu＋wc＋ws＝1第6講DEA模型為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即合成醫(yī)院的輸出量≥鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量我們可寫出輸出量的約束條件：48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.72（藥物治療）43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98（非藥物治療）253wg+148wu+175wc+160ws≥175（護士）41wg+27wu+23wc+84ws≥23（實習(xí)醫(yī)師）第6講DEA模型為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即合成醫(yī)院的輸入量≤鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，則275.70E為合成醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)。當E＝1時，合成醫(yī)院需要與鎮(zhèn)醫(yī)院相同的輸入量資源；當E>1時，合成醫(yī)院需要的輸入量資源大于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源；當E<1時，合成醫(yī)院需要的輸入量資源小于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源。（模型的目標）第6講DEA模型我們可寫出輸入量的約束條件：285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws≤275.70E（全職非主治醫(yī)師）123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws≤348.50E（提供的經(jīng)費）106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws≤104.10E（可提供的住院床位數(shù)）DEA模型的邏輯就是尋求一種合成能否在取得相同的或更多的輸出量的同時只需更少的輸入量。假如這種合成可以得到，那么合成的一部分（如鎮(zhèn)醫(yī)院）將被判定比合成（合成醫(yī)院）低效。第6講DEA模型minEs.t.wg＋wu＋wc＋ws＝148.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.7243.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98253wg+148wu+175wc+160ws≥17541wg+27wu+23wc+84ws≥23285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws≤275.70E123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws≤348.50E106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws≤104.10E

E,wg,wu,wc,ws≥0第6講DEA模型模型解得E＝0.905這說明合成醫(yī)院能獲得鎮(zhèn)醫(yī)院的每一個輸出量的同時而同時只用鎮(zhèn)醫(yī)院最多90.5％的輸入量資源。因此，鎮(zhèn)醫(yī)院是相對低效（或DEA無效）的。第6講DEA模型4.DEA有效決策單元的構(gòu)造

評價系統(tǒng)并非所有的決策單元都是DEA

有效，經(jīng)過判定后，如何對一些非DEA有效的決策單元進行分析，指出造成非有效的原因，并據(jù)此改進為具有DEA有效性的決策單元。為此，需要討論決策單元在相對有效面上的"投影"。

定義1：

DEA的相對有效面(有效生產(chǎn)前沿面)

：0T·X0－0T

·Y0=0

如果決策單元k0是DEA有效，線性規(guī)劃(P)有最優(yōu)解0、0，并且滿足條件

Vp=0T·Y0=1，0＞0，0＞0

而0T·X0=1，故0T·X0=0T

·Y0

。于是，點(X0,Y0)在超平面

上。并且超平面

上的其它點(X,Y)所表示的決策單元也是DEA

有效的，因此，可以利用在相對有效面上“投影”的方法，改進非DEA有效的決策單元。

定義2：

設(shè)0、s0-、s0+、

0是線性規(guī)劃問題（D

）的最優(yōu)解。令

稱為決策單元k0對應(yīng)的(X0,Y0)在DEA相對有效面

上的"投影"。構(gòu)成了一個新的決策單元，它是否DEA

有效，有下面的定理。第6講DEA模型

定理3：設(shè)是決策單元k0對應(yīng)的(X0,Y0)在DEA相對有效面

上的"投影"，則新決策單元相對于原來的n個決策單元來說，是DEA有效的。新決策單元給出了一個改進非DEA有效決策單元的方法，亦即構(gòu)造新的DEA有效決策單元的方法。

【例】設(shè)有4個決策單元，2個投入指標和1個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。對非DEA有效的決策單元，求出它在DEA相對有效面上的“投影”，并判定新決策單元的

DEA

有效性。1234決策單元投入1→13342→31321121→1產(chǎn)出

解：決策單元1，2，3均為DEA

有效，決策單元4為非DEA

有效，決策單元4對應(yīng)的線性規(guī)劃（D

）的最優(yōu)解為0=(0,3/5,1/5,0)T

，S10-=S20-=S10+=0，0=3/5，令

則新決策單元是決策單元4

對應(yīng)的(X0,Y0)在DEA相對有效面

上的"投影"，

它(作為第5個決策單元)與原來的4個決策單元構(gòu)成新的評價系統(tǒng)，如下圖：第6講DEA模型12345

決策單元投入1→133412/52→31326/511211→1產(chǎn)出

對應(yīng)的線性規(guī)劃模型（D

）為（D

）：MinVD=[-0.000001(s-1+s-2+s+1)]s.t.1+32+33+44+(12/5)5

+s-1=(12/5)

31+2+33+24+(6/5)5

+s-2=(6/5)

1+2+23+4+

5

–s+1=1

1,2,3,4,

5

,s-1,s-2s+1≥0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解0=(0,3/5,1/5,0,0)T

，S10-=S20-=S10+=0，0=1，因此，新決策單元5是DEA有效的。

由此例看出，在評價系統(tǒng)中決策單元4非DEA有效，用“投影”方法構(gòu)造了在DEA相對有效面上的新決策單元5。并且分析決策單元4非DEA有效的原因是：投入指標量過大，經(jīng)過改進，只需要原投入量的3/5，因為決策單元4原投入量為(4，2)T，改進后應(yīng)為(12/5，6/5)T，后者為前者的3/5，產(chǎn)出量不變，相對效率提高，即可轉(zhuǎn)化為DEA有效的決策單元。第6講DEA模型四、DEA軟件介紹1.DEAP-Version2.1（Win4deap1.1.2）http://2.FRONTIER-Version4.1Chttp://3.EfficiencyMeasurementSystem-Version1.3.0

http://4.LINDO軟件第6講DEA模型五、DEA主要應(yīng)用領(lǐng)域1.經(jīng)濟體效率評價：企業(yè)效率，銀行效率,鐵路運營地區(qū)FDI引進效率,投資基金業(yè)績中國各地區(qū)健康生產(chǎn)效率2.運行過程評價:并購效率,改革績效3.規(guī)模效率:企業(yè)規(guī)模經(jīng)濟效率，科研機構(gòu)規(guī)模效益,壽險公司規(guī)模效率4.技術(shù)進步:中國全要素生產(chǎn)率估算與分析農(nóng)業(yè)創(chuàng)新系統(tǒng),各