《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題4

廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題(4)與解答一、填空題(每小題3分，共15分)設(shè)P(A)二0.5,P(B)=0.6,P(BIA)二0.8，則A,B至少發(fā)生一個的概率TOC\o"1-5"\h\z為.設(shè)X服從泊松分布，若EX2=6，則P(X>1)=.設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為f(x)=<4(x+°0<x<2,今對0,其他.x進(jìn)行8次獨(dú)立觀測，以y表示觀測值大于1的觀測次數(shù)，則DY=.元件的壽命服從參數(shù)為丄的指數(shù)分布，由5個這種元件串聯(lián)而100組成的系統(tǒng)，能夠正常工作100小時以上的概率為設(shè)測量零件的長度產(chǎn)生的誤差X服從正態(tài)分布N(2)，今隨機(jī)地測量16個零件，得國X=8，藝X2=34.在置信度0.95下,iiTOC\o"1-5"\h\zi=1i=1卩的置信區(qū)間為.(t(15)=1.7531,t(15)=2.1315)0.050.025_解：(1)0.8=P(BIA)=P(BA=P(B)—P(AB)得P(AB)=0.21-P(A)0.5P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1.1-0.2=0.9?(2)X?P(X),6=EX2=DX+(EX)2二九+九2故九二2?P(X>1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e-2-2e-2=1-3e-2?3)Y?B(8,p)，其中p=P(X>1)=J2i(3)Y?B(8,p)，14815系統(tǒng)⑷設(shè)第i件元件的壽命為?，則X?啕),i=1，2,3,4,5-的壽命為Y，所求概率為系統(tǒng)P(Y>100)=P(X>100,X>100,…，X>100)125=[P(X>100)]5=[1-1+e-1]5=e-5.S<n(5)卩的置信度1-dS<n(X-1(n-1)2,X+1(n-1)a/2Jna/2

X=0.5,S2=丄[蘭X2-16X2]=2,S=1.4142,n=1615ii=1t(15)=2.1315.所以卩的置信區(qū)間為(-0.2535,1.2535).二、單項(xiàng)選擇題(下列各題中每題只有一個答案是對的，請將其代號填入()中，每小題3分，共15分)A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是(A-B)UB=AUB.(AUB)-A=B.(aUB)-AB=ABUAB-(D)(AUB)C=(A-C)U(B-C).()設(shè)X,X是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為F(x),F(x)，為使F(x)=aF(x)+bF(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值12中應(yīng)取A)C)aA)C)a=-1,b=322B)D)=2—23313a=b=-?22F(5y-3)?X)F(耳^)F(5y-3)?X)F(耳^)?X54)設(shè)隨機(jī)變量X,X12114則X,X的相關(guān)系數(shù)為p121?(C)1?42的概率分布為X-1

―iP-4i=1,且滿足P(XX=0)=1，12B(A)0.X1X2(3)設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為F(x)，則Y=3-5X的分布函數(shù)為F(y)=B)5F(y)-B)5F(y)-3XD)(5)設(shè)隨機(jī)變量X?U[0,6],Y~B(12,1)且X,Y相互獨(dú)立，根據(jù)切4比廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)雪夫不等式有P(X-3<Y<X+3)(A)<0.25.(B)<—.(C)>0.75.(D)>—1212解：(1)(A):成立，(B):(AB)—A二B—A豐BF(+8)二1二a+b-選(C)F(y)二P(Y<y)二P(3—5X<y)二P(X>(3—y)/5)Y()應(yīng)選(B)應(yīng)應(yīng)選(D)3—y3—y二1—P(―y>X)二1—F(—)5X、5EX二0,EX二0,

于是p彳二°,EXX二0，12所以cov(X,X)二0，12選(A)X1X(5)P(X—3<Y<X+3)=P(lY—X1<3)921E(Y—X)二EY—EX二0D(Y—X)二DY+DX二3+二44由切比雪夫不等式21P(lY—X1<3)>1-4二—912應(yīng)選(D)三、(8分)在一天中進(jìn)入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為九的泊松分布,而進(jìn)入超市的每一個人購買A種商品的概率為p，若顧客購買商品是相互獨(dú)立的，求一天中恰有k個顧客購買A種商品的概率。廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)(X,Y)的概率密度為廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)xx解：設(shè)B=‘一天中恰有k個顧客購買A種商品'k二0,1,C二‘一天中有n個顧客進(jìn)入超市'n二k,k+1,…n貝UP(B)=藝P(CB)=藝P(C)P(BIC)nnnn=k=藝e-XCkpk(1—p)n-kn!nn—k=業(yè)e—正九n—k(1—p)n—kk!(n—k)!n—k—^-P)^e-^Pk—0,1,?…k!四、(10分)設(shè)考生的外語成績(百分制)x服從正態(tài)分布，平均成績(即參數(shù)卩之值)為72分，96以上的人占考生總數(shù)的2.3%,今任取100個考生的成績，以y表示成績在60分至84分之間的人數(shù)，求(1)y的分布列.(2)EY和DY.(①(2)—0.977,①(1)—0.8413)(1)Y?B(100,p)，其中p—P(60<X<84)—①(84—72)—①(60—72)—2①(塁)—196—72240.023—P(X>96)—1—①()—1—①(——)QQ①(24)—0.977，即24—2，故竺—1QQQ所以p—2①(1)—1—0.6826.故Y的分布列為P(Y—k)—Ck(0.6826)k(0.3174)100-k100(2)EY—100X0.6826—68.26，DY—68.26x0.3174—21.6657?五、(10分)設(shè)(X,Y)在由直線x-1,x-e2,y-0及曲線y-1所圍成的區(qū)x域上服從均勻分布，求邊緣密度/(x)和f(y)，并說明X與Y是否獨(dú)立.求P(X+Y>2).e21dxe21dx—Inx|e2—21x12(e2-1),1<y<e—21—1e—2<y<12y20,其它其它=<1-,(x,y)eD,f(x,y)彳2，0,其它.(l)/(x)=f(x,y)dy=P°x2dy,11-,(x,y)eD,f(x,y)彳2，0,其它.(l)/(x)=f(x,y)dy=P°x2dy,1<x<e2'0,—g其它.12x0,其它.1<x<e2,Y(y)=j+gf(x,y)dxn—gJe21dx,12Jydx,121<y<e—2,e—2<y<1,0,XYP(X+Y>2)二1—P(X+Y<2)二1—JJf(x,y)dxdyx+y<21113.=1——x—=1—==0.75?2244六、(8分)二維隨機(jī)變量(X,Y)在以(-1,0),(0,1),(10)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)(X,Y)的概率密度為yte)Df(x,片(X,Y)的概率密度為yte)Df(x,片0解］「1x+y二zi廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)廣州工程仿真科技有限公司工程仿真網(wǎng)設(shè)Z的概率密度為f(z)，Zf(z)設(shè)Z的概率密度為f(z)，Zf(z)=j+8f(z-y,y)dyZ-8解2：分布函數(shù)法，設(shè)Z的分布函數(shù)為F(z)，則2ZF(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=Uf(x,y)dxdyZ0,z<—10,Udxdy,—1<z<1=<(z+1)24D11,1,z>1z<-1,—1<z<1,z>1.故Z的密度為z+1ZZ20,Izl<1,其它.七、(9分)已知分子運(yùn)動的速度X具有概率密度I4X2—(x)2f(X)J喬ea'X>0,a>0,x,x,,x為X的簡單隨'12n[0,x<0.機(jī)樣本(1)求未知參數(shù)u的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)；(2)驗(yàn)證所求得的矩估計(jì)是否為u的無偏估計(jì)。解：(1)先求矩估計(jì)

二EXe-(:0a3\；‘兀e-(ax)2+8+亠二EXe-(:0a3\；‘兀e-(ax)2+8+亠a、：兀+8xe-(a尸dx02a2再求極大似然估計(jì)L(X，…,X；a)=Tf1ni=14x2e-n-丄另x2=a-3n兀-24n(x…x)2-ea2,=ji1nn1pInL=-3nIna+In(兀［4")+ln(x…x)2—Xx21na2ii=1alnL3n2n=—+工x2□0daaa3ii=1得a的極大似然估計(jì)<02"x2，3n2）對矩估計(jì)所以矩估計(jì)a所以矩估計(jì)a=2八、（5分）一工人負(fù)責(zé)n臺同樣機(jī)床的維修，這n臺機(jī)床自左到右排在一條直線上，相鄰兩臺機(jī)床的距離為a（米）。假設(shè)每臺機(jī)床發(fā)生故障的概率均為-，且相互獨(dú)立，若Z表示工人修完一臺后到另一臺需要檢修的n機(jī)床所走的路程，求EZ.解：設(shè)從左到右的順序?qū)C(jī)