2020-2021學年高一數(shù)學專項測試和期中期末強化沖刺卷3

2020—2021高中必修二2019A專項沖刺卷(人教版)

專項3.2期中檢測02

(考試時間：120分鐘滿分：150分)

一'選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的)

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)一%的共軌復數(shù)應對應點的坐標為()

3+z

A.(1,3)B.(1,—3)C.(—1,3)D.(3,-1)

【答案】B

【分析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算化筒」=l+3i，再由共聊復數(shù)的定義和復數(shù)的幾何表示可得選項.

3+z

【詳解】

10z10z(3-z),?10z

T-',-l+3z,所以復數(shù)4的共扼復數(shù)是1-3L其實部是1,虛部是一3,對應復

3+i(3+i)(3-i)3+i

平面上的點為(1，-3),

故選：B.

【點睛】

本題主要考查復數(shù)除法的化簡運算，共輾復數(shù)，以及復平面、實部虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知A48C中，43=2,點。是邊8C的中點，若BdA方=3,則AC的長為

2

A.2B.y/7C.3D.372

【答案】C

【詳解】

由題意可得：

BC-AD=(AC-AB)-1(AC+AB)=|(AC2-AB2)=|,

AC-AB=5,^4C2-4=5,|^C|=3,

則AC的長為3.

本題選擇C選項.

點睛：計算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標運算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和

圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應用.

3.將函數(shù)/(x)=sinx-cosx的圖象的橫坐標縮短到原來的千倍(縱坐標不變)得到函數(shù)g(x)的

圖象，再由g(x)的圖象()單位可得丁=cos2x+sin2x的圖像.

A.向左平移四個B.向左平移衛(wèi)個C.向右平移2個D.向右平移二個

4242

【答案】A

【分析】

由題意利用兩角和與差的公式化簡f(x)，再利用圖像變換規(guī)律得到g(x)，再化簡

y=cos2x+sin2x=J^sin(2x+?),觀察g(x)到該函數(shù)的變換，即可得解.

【詳解】

化簡/(x)=sinx-cosx=s/2sin71

x~~

函數(shù)F(x)的圖像橫坐標縮短到原來的g倍(縱坐標不變)得至i」g(x)=J^sin(2x-?

又y=cos2x+sin2x=0sin[2x+(

g(x)=的圖像向左平移:個單位長度得到

g(x)=V2sin^2^%+^-^=V^sin(2x+?)

故選：A

【點睛】

方法點睛：本題主要考查函數(shù)y=Asin(s+9)的圖像變換規(guī)律，做題時要注意三點:

(1)弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖像，得到哪個函數(shù)的圖像；

(2)注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，先利用誘導公式化為同名函數(shù);

⑶由y=Asinw的圖像得到y(tǒng)=Asin(3+9)的圖像時，需平移的單位數(shù)應為忸L而不是1夕1.

CD

4.設(shè)復數(shù)g=a+bi(a,beR),則a+h=

A.0B.1C.2D.-1

【答案】A

【分析】

r\?

先由復數(shù)的除法運算，化簡再由復數(shù)相等，即可求出結(jié)果.

1-Z

【詳解】

2i2;(l+z)乂工

因為口=-!+/,=a+hi(a,h&R),

(1-0(1+/)

所以a=-l,b=l,因此a+Z?=0.

故選A

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的運算與復數(shù)相等，熟記復數(shù)的除法運算法則、以及復數(shù)相等的充要條件即可，

屬于?？碱}型.

5.已知AABC是邊長為。的正三角形，且為7=2而，而=〃元(4〃6/e,義+〃=1).設(shè)函數(shù)

/(2)=麗?麗，當函數(shù)/(㈤的最大值為—2時，。=

A.4&B.逑C.473D.正

33

【答案】D

【分析】

用再7,檢表示出面V，用湎7,而表示出CM，然后表示出了(>l)=BN?CM,代入2+〃=1,

得到關(guān)于;I的函數(shù)，求出其最大值，令最大值等于-2,從而求出。的值.

【詳解】

BN=AN-AB,CM^AM-AC,

因為AABC是邊長為。的正三角形，口麗=4通，AN=JLIAC

所以/(/[)=麗.函=(麗—麗).(麗—記)

AN-AM-AM-AB-AN-AC+AB-AC

19212

=—A4>/LICI~-4礦-UCl~+]Q-

又因；l+〃=l,代入〃=1—4得

/(2)=A)?2-A?2-(l-/l)a2+^a2

^a2(-22+/l-l)

所以當2=g時，/⑷取得最大，最大值為嗎）=一#

所以-3/=一2,解得。=任，舍去負根.

83

故選D項.

【點睛】

本題考查向量的計算和表示，以及向量數(shù)量積，二次函數(shù)求最值，有一定的綜合性，屬于中檔題.

6.圓錐的高縮小為原來的1,底面半徑擴大為原來的2倍，則它的體積是原來體積的（）

3

2343

A.-B.-C.-D.一

3234

【答案】C

【分析】

先求得圓錐原來的體積，再求得變換后圓錐的體積，由此求得新圓錐體積和原來體積的關(guān)系，從而

得出正確選項.

【詳解】

設(shè)一個圓錐的底面半徑為r,高為h，則其體積丫=一萬，月；

3

圓錐的高縮小為原來的工，底面半徑擴大為原來的2倍，則所得圓錐的底面半徑為2r，高為工〃，

33

4

K9-4

,.24,---4

體積為K=_^.(2r}---h=-7rr2h.：.V13-.?..它的體積是原來體積的

i3'/39

3-

故選：c.

【點睛】

本小題主要考查圓錐體積計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.在AABC中，內(nèi)角A，8,C所對的邊分別是a，b,C,已知

si〃(3-A)+si〃(B+A)=3s%2A,.且C=V7,C=y則AABC的面積是(??)

3百7D'W

A.DR.--后--叵

~4~6亍

【答案】D

【解析】

分析：由題意得s比反asA=3s譏4cosA,分casA=O和COSAHO兩種情況求解，然后結(jié)合三角形

面積公式可得結(jié)果.

詳解：s加伊一A)+s加(B+A)=3s加24,

sinBcosA=3sinAcosA.

77

①當cosA=0時，AABC為直角三角形，且A=一

2

,：c=不,0=。，

,V7V21

.b=-------=------

，?43

tan—

3

1V21幣w

q—X---------X

②當cosA。0時，則有=3sinA.，

由正弦定理得0=3。.

由余弦定理得c?=/+〃—2aAosC，

21

即7=q-+(3a)—2a.(3a).5,

解得a=l.

lxlx3x^=^

,,S.ABC--absinC

234

綜上可得AA8C的面積是地或述.

46

故選D.

點睛：在判斷三角形的形狀時，對于形如5比309必=35/九4。區(qū)的式子，當需要在等式的兩邊約去

cosA時，必須要考慮cosA是否為0,否則會丟掉一種情況.

8.若復數(shù)z滿足z(2+i)=5i,則復數(shù)z的虛部為.

A.-2B.-1C.1D.2.

【答案】D

【分析】

根據(jù)復數(shù)除法的運算法則去計算即可.

【詳解】

5z512-i)

因為z(2+/)=5i，所以z=7^=7：I、/1E=1+2,，虛部是2，

2+t(2+z)(2-z)

故選D.

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法運算以及復數(shù)實部、虛部判斷，難度較易.復數(shù)除法運算時，注意利用平方差公

式的形式將分母實數(shù)化去計算

9.如圖，以棱長為1的正方體的頂點A為球心，以0為半徑作一個球面，則該正方體的表面被球

面所截得的所有弧長之和為()

A.—B.五兀

八3萬c9"

C.—D.—

24

【答案】C

【分析】

正方體的面對角線長為近，因此題中所截得的弧只能在以G為頂點的三個面內(nèi)，三個弧一樣，上

底面的弧是以A1為圓心1為半徑的1個圓

【詳解】

設(shè)尸是正方體上底面上在球面上的點，則PA=J5,由于A&，平面AgG。，則

???/P=*2_例2=］二p在以A為圓心，1為半徑的圓弧上，由對稱性，正方體的表面被該

球面所截得的弧長是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長是以4為圓心，1為半徑的圓

周長的所以所有弧長之和為3、二=苧.

442

故選C.

【點睛】

本題考查求正方體表面被球面所截弧長，解題關(guān)鍵是確定弧的位置和形狀.根據(jù)正方體中的垂直關(guān)

系確定尸4=1是解題關(guān)鍵.

10.已知復數(shù)z(l-i)=i,則下面關(guān)于復數(shù)Z的命題正確的是()

A.z=-+-iB.復數(shù)z對應的點在第一象限

22

C.|z|=lD.復數(shù)z的虛部與實部互為相反數(shù)

【答案】D

【分析】

先把復數(shù)z(l-i)=i化簡求出復數(shù)z,然后逐個判斷即可.

【詳解】

得2」;上二金11.

解:由z(l-z)=z,—+—z

l-i(1-/)(1+/)222

所以復數(shù)z對應的點在第二象限，|z|=，］=也，實部為-工虛部為g,

11V2222

故選：D

【點睛】

此題考查復數(shù)的有關(guān)概念和復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

11.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，則圓柱的表面積是()

16I,8421/

A.—+16B.—F16C.—F16D.—F16

TC717171

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，圓柱的底面周長和高均等于4,由此算出底面圓的半徑為廠2,利用圓柱的表面積公式

即可算出該圓柱的表面積.

【詳解】

???圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，

...圓柱的高與母線長都為4,底面周長等于4,

設(shè)底面圓的半徑為r,可得27tL4,得-2,

冗

222

因此該圓柱的體積是S=2%?〃+/）=2?—（—+4）=—+16,

717171

故本題選B.

【點睛】

本題給出圓柱的側(cè)面展開形狀，求圓柱的表面積.考查了圓柱的側(cè)面展開圖和圓柱表面積公式等知

識，屬于基礎(chǔ)題.

12.如圖，正方體A3CO-A與GA中，E,尸分別為棱GA，AA的中點，則異面直線DE與

所成角的余弦值是（）

3>/10

10

【答案】A

【分析】

取4片的中點N,連接EMFN,可得四邊形A7VEZ）為平行四邊形，所以A7V//OE,則NB4N（或

其補角）為異面直線OE與AE所成角，在△AAE中由余弦定理可求解.

【詳解】

取ABx的中點N，連接EN,FN,AN

由E,N分別為GA，A4的中點，則EN//AA且EN=42

在正方體中A。//4A且A。=42，所以EN//4）且EN=A￡）

所以四邊形ANE￡＞為平行四邊形，所以AN//DE

則NE4N（或其補角）為異面直線OE與A尸所成角.

設(shè)正方體的棱長為2,則在AANE中，==夜，AN=AE="R=J^

AF2+AN2-FN25+5-2_4

所以cosNE4N二

2AF-AN2x75x75-5

二'填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.如圖所示，在矩形A8CO中，45=24）=2,沿對角線AC將其折成直二面角，連結(jié)BD，

則該三棱錐D-ABC的體積為.

【答案】正

15

【解析】

【分析】

利用等面積法求得直角三角形AC0的邊AC上的高，也即三棱錐。一A3C的高，由此計算出三棱

錐的體積.

【詳解】

依題意，ACnJm+CD2=石，設(shè)直角三角形ACD的邊AC卜一的高為〃，根據(jù)等面積有

11,2

-ACh=-ADCD,解得〃=-7=，故三棱錐的體積為

22yj5

VnARr=-xlxABxfiCxA=lxlx2xlx-^=—.

D'ABC32327515

【點睛】

本小題主要考查折疊問題，考查三棱錐體積的求法，考查等面積法求平面圖形的高，屬于基礎(chǔ)圖.

14.已知G點為AA3C的重心，且而J,兩，則sm-的值為________

sin2C

【答案】5

【分析】

由題意建立平面直角坐標系，然后結(jié)合重心的性質(zhì)和正弦定理即可求得sm-A：snrB的值.

sin2C

【詳解】

以點G為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)A（0,2m）,8（2〃,0）,

由重心的性質(zhì)可得：M（0,-/??）,7V（-n,0）,

故直線4N的方程為：—+^-=1,直線的方程為：—+-^-=1,

-n2m2n-m

聯(lián)立直線AN與直線BM的方程可得點C的坐標為C（-2?,-2m）.

結(jié)合兩點之間距離公式可得：a2=16/72+4m2.b2=4H2+16m2.c2=4m2+4n2.

2222

x.imPAT,sinA+sinBa+b_

利用正弦定理可知：------j--------=——--=5.

sin2Cc2

故答案為：5.

【點睛】

本題主要考查正弦定理及其應用，直線方程的應用，直線交點坐標的求解等知識，意在考查學生的

轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

15.已知"=6+2i(a,b&R),其中i為虛數(shù)單位，則a—.

【答案】-3

【分析】

先由復數(shù)的除法運算，化簡"，再由復數(shù)相等的充要條件，即可得出結(jié)果.

i

【詳解】

因為~^=-.，一.、=］一8,

又交/■=0+2"所以l-ai=b+2i,因此。=-2,。=1,

z

所以a-b=-3.

故答案為-3

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的運算，熟記復數(shù)的除法運算，以及復數(shù)相等的充要條件即可，屬于基礎(chǔ)題型.

24

16.三棱錐尸—ABC中，平面ABC,ZBAC=——，AP=3,AB=20，。是邊上

3

jr

的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為

【答案】57萬

【分析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出AABC的外接圓圓心與三棱錐尸-ABC外接球的球心，求出外

接球的半徑，再計算它的表面積.

【詳解】

由題意，三棱錐尸一ABC中，R4_L平面A8C,直線PQ與平面ABC所成的角為仇

,P\3Ji

如圖所示，Kijsinn^=-,且sin。的最大值是火，

PQPQ2

所以。。）.=26,所以A。的最小值是JL即A到3C的距離為百，

77

所以AQJ_5C,因為AB=2G，在&AABQ中可得NA3C=—,即可得3C=6.

6

取AABC的外接圓圓心為O',作OO'//Q4,

6

所以=2r,解得r=2G>所以O(shè)'A=2，

sin120°

取”為孫的中點，所以O(shè)H=O'A=2jaPH=3,

2

由勾股定理得OP=R=y/PH2+OH2

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積是S=47TR2=4萬x（與產(chǎn)=57萬.

【點睛】

本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及球的表面積的計算問題，解答時要認真審題，確定球的球心

和半徑，注意球的性質(zhì)的合理運用是解答的關(guān)鍵，對于求解球的組合體問題常用方法有Q）三條棱

兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）

利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑.著重考查了分析問題和解答問題的能

力，以及數(shù)形結(jié)合思想的應用.

17.在復數(shù)范圍內(nèi)寫出方程z?：25的解集.

【答案】{-1+V3/,-1-73Z,0,2}

【分析】

設(shè)z=a+4（a力eR）,代入z2=25,然后利用復數(shù)相等的條件求解.

【詳解】

設(shè)z=a+Z?i(a,/?eH),代入Z2=25，

得(a+bi)2=2(a-bi),

所以a?—+2abi=2a—2hi，

a2-b2=2a且2ab=-2b,

(2=-l,h-±>/3>或人=0，a=0或2，

故答案為：{-l+V3z,-l-V3z,0,2}

【點睛】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查方程的解法，是基礎(chǔ)題.

18.在△A8C中，角A，B,C的對邊分別是。，b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,b=6，

則a+c的取值范圍是.

【答案】(4,25]

【解析】

(2a-c)cosB=bcosC,；?由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,又sin(B+C)=sinA,A2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)

=sinA,VsinA/0,.,.cosB=—,因為3￡(0,")二.3=1，因為b二百根據(jù)正弦定理有

——=―--=——=^=r=2「.a=2sinA,c=2sinC/.a+c=2sinA+2sinC

sinAsinCsinBV3

T

=2sinA+2sin]?+4)=3sinA+VJcosA=2>/3sin(A+

八.17171.7T57r.(.fl,

3666l6八2一

所以a+ce(G,2>/5]

故答案為(6,2g]

三'解答題(本大題共6小題，共66分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

19.已知復數(shù)z=+3(1+1)

2-i

(1)求復數(shù)z.

⑵若z2+az+b=l-i,求實數(shù)a,b的值.

a=-3,

【答案】(1)1+i;(2)〈”.

b=4.

【解析】

試題分析：(1)由復數(shù)的運算法則，把復數(shù)Z=0一’>2+3(1二2等價轉(zhuǎn)化為Z=1+j,能夠得到復

2-z

數(shù)Z的實部和虛部.

(2)^z=l+i^Xz2+az+b=l-i，得3+))+(2+a)i=l-i,由復數(shù)相等的充要條件，能夠

求出實數(shù)a,。的值.

試題解析:

—2i+3+3i_3+i(3+i)(2+i)_

⑴Z二---------------------------------------------1+i.

2-i2-i5

⑵把z=l+i代入z2+az+b=l-i,

得(l+i)2+a(l+i)+b=l-i,

整理得a+b+(2+a)i=l-i,

a+b-l,

所以《

2+a=-1,

a=-3,

解得《

0=4.

點睛：本題主要考查了復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的表示，解答中根據(jù)復數(shù)的表示和和復數(shù)的四則運算

化簡為復數(shù)的形式，再利用復數(shù)相等的坐標間的關(guān)系，得到方程，求解。力的值即可，其中熟練學

握復數(shù)的運算、表示和復數(shù)相等的條件是解答的關(guān)鍵.

20.如圖，在ETZVLBC中，AB=5C=3,點￡、廠分別在線段A3、AC上，且EFUBC,

將AAE/沿EE折起到的位置，使得二面角P—E尸一8的大小為60°.

(I)求證：EF上PB；

(II)當點E為線段A3的靠近8點的三等分點時，求四棱錐P-E8C戶的側(cè)面積.

【解析】

試題分析：⑴由石尸，PE.所，班:利用判定定理證明平面P8E:.EF±PB

(2)先確定APBE,"BC,APEF均為直角三角形,求出這三個三角形面積，過點/做8C的垂線,

由余弦定理可得cosNPFC=—,，代入求出面積

4

解析：(I)證明：vAB=SC=3..BC±AB

■■■EFIIBC.?.EE_LAB,翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有EF工PE、EF工BE

.?.政工平面依石:.EFVPB

(11)VEF±AE.EF±BEZPEB二面角P—所一6的平面角，

NPEB=60,，又PE=2,BE=1,由余弦定理得PB=g,

：,PB2+EB2=PE2■PBVEB-.PB,BC,EB兩兩垂直,又EF工PE,EF±BE,

2

；.APBE,APBC,"EF均為直角三角形由AAEF?AA8C可得，EF=—BC=2；

3

S▽BC=；BCPB=專，S"BE=；PBBE=今，S,EF=；EFPE=2;

在四邊形BCEE中，過點尸做6C的垂線，垂足為〃：則

FC2=FH2+HC2=BE2+(BC-EF)1=2,所以EC=血；

APFC中，F(xiàn)C=4i,PC=4BC2+PEP=273,PF=dPE°+EF2=20

PF2+PC2-PC21

有余弦定理可得：cosNPFC=一=

2PFFC4

則sin/P/C=-,S'=~PF-FCsinZPFC=晅:

422

所以四棱錐的側(cè)面積為S"BC+S“PBE+S.PEF+S“FC=2+26+孚

點睛：本題考查了立體幾何中的線線垂直，利用其判定定理即可證明，在求椎體側(cè)面枳時要先確定

三角形的形狀，利用面積公式求出解得，注意本題中還運用了余弦定理來求解三角形的邊長，利用

面積公式求出結(jié)果

21.如圖，設(shè)計一個正四棱錐形冷水塔，高是3米，底面的邊長是8米：

P

4--------------------------------

(1)求這個正四棱錐形冷水塔的容積(冷水塔的厚度忽略不計);

(2)制造這個冷水塔的側(cè)面需要多少平方米的鋼板？

【答案】(1)64立方米(2)80平方米

【分析】

(1)已知底面邊長及高，根據(jù)正四棱錐的體積公式求解

(2)根據(jù)題意，求正四棱錐的側(cè)面積，己知各側(cè)面三角形的底邊，再求得三角形底邊上高即可，再

代入面積公式求解.

【詳解】

1

9-

(1)V^-S'「；ABCD,h=—x8x3=64.

33

..?正四棱錐形冷水塔的容積為64立方米.

p

(2)

取底面ABC。的中心。，A￡)的中點M，連結(jié)PO，OM,PM.

則POL平面A3CO,PM±AD^

PO=〃=3，OM=—AB=4,

2

PM=y/PO2+OM2=5，

SAAD=gA。?PM=gx8x5=20.

,，5?iii泡—4SAPA0—80.

制造這個冷水塔的側(cè)面需要80平方米的鋼板.

【點睛】

本題主要考查了正四棱錐的體積和側(cè)面積的求法，還考查了抽象概括的能力，屬于基礎(chǔ)題.

22.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為mb,c,且2acosC-c=2b.

(I)求角A的大??；

(II)若c=Q,角8的平分線BD=百，求^ABC的面積.

【答案】(1)A=—Z.7T(2)、組/3

32

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)余弦定理得到'+"—《.=一工,所以COSA=-L進而得到角A；(2)根據(jù)

2bc22

V2_V3信b

角平分線定理得到sinNAOB—一^即sinNAOB=*，故乙4。8=:；由面積公式得到最

sin——24

3

終面積.

解析：

42b2_2

(I)因為24cosc—c=2b,所以2〃------------c=2b.

2ab

即，"+"才，，所以cosA=-,

2bc22

因為0<A<?,所以A=——

3

(U)在^ABD中，由正弦定理得

ABBD

sinZADB-sinZA

&=G

所以5皿/403一.2萬

sin

3

即sin乙4。8=注

2

27rTC

因為A=——,所以0</A￡>3v—

32

71

即ZADB=-

rrTT

所以ZAB。=土,ZA3C=ZAC3=一

126

所以△ABC的面積=J_xA§2xsin型=3

232

23.已知函數(shù)〃x）=|x+2|+|2x—3].

（1）若關(guān)于％的不等式/（x）〈加2機的解集不是空集，求加的取值范圍;

⑵設(shè)“X）的最小值為X,若正實數(shù)a,b,c滿足a+Hc=；l.證明：

a2+b2a1+c2b1+c2

---------+---------+--------->7.

cba

7

【答案】（1）出＜—1或加〉一.（2）見解析

2

【解析】

【分析】

（1）等式/（力＞/一|機的不是空集，等價于“X）的最小值“"血＜布-|〃2,

/（%!=/（'!）=：,解得答案