2023年福建省寧德市中考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷含解析

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一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.的相反數(shù)是()

A.B.C.D.

2.如圖是四款新能源汽車的標(biāo)志，其中是中心對稱圖形的是()

A.B.

C.D.

3.點在數(shù)軸上的位置如圖所示，將點向左移動個單位長度得到點，則點表示的數(shù)是()

A.B.C.D.

4.下列運算正確的是()

A.B.C.D.

5.下列四個點中，有三個點在同一反比例函數(shù)的圖象上，則不在這個函數(shù)圖象上的點是()

A.B.C.D.

6.下列事件中，屬于必然事件的是()

A.打開電視機(jī)，正在播放新聞B.翻開書，頁碼是偶數(shù)

C.購買一張體育彩票，能夠中獎D.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)小于

7.甲、乙兩名同學(xué)在相同條件下次射擊訓(xùn)練的成績單位：環(huán)如圖所示則下列敘述正確的是()

A.甲的平均數(shù)大，甲的方差大B.甲的平均數(shù)大，乙的方差大

C.乙的平均數(shù)大，甲的方差大D.乙的平均數(shù)大，乙的方差大

8.為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊進(jìn)行了消防演習(xí)如圖，架在消防車上的云梯可伸縮，也可繞點轉(zhuǎn)動，其底部離地面的距離為，當(dāng)云梯頂端在建筑物所在直線上時，底部到的距離為若，則此時云梯頂端離地面的髙度的長是()

A.B.C.D.

9.為落實“數(shù)字中國”的建設(shè)工作，一市政府計劃對全市中小學(xué)多媒體教室進(jìn)行安裝改造，現(xiàn)安排兩個安裝公司共同完成已知甲公司安裝工效是乙公司安裝工效的倍，乙公司安裝間教室比甲公司安裝相同數(shù)量的教室多用天求甲、乙兩個公司每天各安裝多少間教室？設(shè)乙公司每天安裝間教室，則列出的方程正確的是()

A.B.

C.D.

10.五巧板是一種類似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成按如圖方式分割的一幅五巧板，若從中拿走一塊，使得剩下的四塊板仍然能拼成一個正方形，則拿走的那塊板的序號是()

A.

B.

C.

D.

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

11.計算：．

12.將一副三角板按如圖所示的位置擺放，若，則______．

13.計算：______．

14.某校午托服務(wù)提供、兩種午飯?zhí)撞凸W(xué)生選擇，每位學(xué)生只能從中任選一種，甲、乙兩位同學(xué)都選中套餐的概率是______．

15.如圖，已知，，，，將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點是點若點落在射線上，則點到距離等于______．

16.已知拋物線的頂點為，交軸于點；拋物線的頂點為，交軸于點若，且以，，，四點為頂點的四邊形為矩形，則______．

三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

解不等式組：．

18.本小題分

如圖，在矩形中，點，在對角線上，，求證：．

19.本小題分

若一組實數(shù)，滿足：，則稱這組數(shù)，為“和諧輪換數(shù)”．

下列兩組數(shù)中，，是“和諧輪換數(shù)”的是______；填序號

，；，；

已知，，請說明，是“和諧輪換數(shù)”．

20.本小題分

為了落實國家教育數(shù)字化戰(zhàn)術(shù)行動的有關(guān)精神，某校組織全體學(xué)生參加“信息素養(yǎng)提升”知識競賽現(xiàn)從中隨機(jī)抽取男、女學(xué)生各名的成績進(jìn)行分析，并繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)分為組：組：，組：，組：，組：，表示成績，成績?yōu)檎麛?shù)，其中女生成績處于組的有人，成績分別為：，，，，，，，，，，，．

男生信息素養(yǎng)知識競賽成績統(tǒng)計表

組別

男生人

請根據(jù)以上信息，完成下列問題：

抽取的男生成績落在組的頻率是______；抽取的女生成績的中位數(shù)是______分；

從平均數(shù)的角度分析，競賽成績更好的是男生還是女生？每組中各個數(shù)據(jù)用該組的中間值代替，如的中間值為

該校有名學(xué)生，且男女生比例相當(dāng)若及分以上的成績記為優(yōu)秀，估計該校在本次知識競賽中成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)．

21.本小題分

如圖，在中，，．

尺規(guī)作圖：在和上分別確定點，的位置，使得是以為底邊的等腰直角三角形；保留作圖痕跡，不寫作法

在的條件下，若，，求的長．

22.本小題分

某市為助力新能源汽車產(chǎn)業(yè)的健康發(fā)展，打造新能源交通生態(tài)城市，近幾年在全市范圍內(nèi)安裝電動汽車充電樁年該市投入資金萬元，安裝型充電樁個和型充電樁個；年又投入萬元，安裝型充電樁個和型充電樁個已知這兩年安裝、兩種型號的充電樁單價不變．

求安裝型充電樁和型充電樁的單價各是多少萬元？

為適應(yīng)電動汽車快速發(fā)展的需要，市政府計劃年再安裝、兩種型號的充電樁共個考慮到充電容量等綜合因素，決定安裝型充電樁的數(shù)量不多于型充電樁的一半在安裝單價不變的前提下，當(dāng)安裝型充電樁多少個時，所需投入的總費用最少，最少費用是多少萬元？

23.本小題分

如圖，為的半徑，且，點為的中點，過點作交于點，，點在優(yōu)弧上運動，將沿方向平移得到；連接，．

求的度數(shù)；

如圖，當(dāng)點在延長線上時，求證：是的切線．

24.本小題分

如圖，點為矩形對角線的中點，直線過點，分別交，于點，，將矩形沿折疊，點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，交于點，交于點，連接．

求證：；

求證：；

如圖，連接交于點，連接判斷，和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

25.本小題分

已知拋物線與軸分別交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點直線經(jīng)過點，與軸正半軸和拋物線分別交于，兩點．

如圖，當(dāng)點的坐標(biāo)為，且的面積為時，求該拋物線的表達(dá)式；

在的條件下，若，求的值；

如圖，過點作軸于點判斷的面積與的面積之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根據(jù)概念，的相反數(shù)是．

故選：．

根據(jù)相反數(shù)的概念，求解即可．

本題考查了相反數(shù)的概念．

2.【答案】

【解析】解：是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

B.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：．

根據(jù)中心對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，進(jìn)行判斷即可．

本題考查的是中心對稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：由題意可得，

點向左移動個單位長度得到點，

點代表的數(shù)字是：，

故選：．

根據(jù)數(shù)軸上點平移規(guī)律：左減右加，直接求取即可得到答案．

本題主要考查數(shù)軸，掌握數(shù)軸上點平移規(guī)律：左減右加是解題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：，故A錯誤，不符合題意；

，故B錯誤，不符合題意；

，故C錯誤，不符合題意；

，故D正確，符合題意；

故選：．

根據(jù)合并同類項法則，冪的乘方，積的乘方法則，同底數(shù)冪的乘，除法法則分別判斷即可．

本題考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運算的法則．

5.【答案】

【解析】解：、，不符合題意；

B、，符合題意；

C、，不符合題意；

D、，不符合題意；

不在這個函數(shù)圖象上的點是，

故選：．

由反比例函數(shù)表達(dá)式的特點可知，在其圖象上的點的橫、縱坐標(biāo)的乘積都等于，所以判斷點是否在反比例函的圖象上，只要驗證一下橫、縱坐標(biāo)的乘積是否與相等就可以了．

本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．

6.【答案】

【解析】解：由題意可得，

打開電視機(jī)，正在播放新聞，是隨機(jī)事件，故A不符合題意；

翻開書，頁碼是偶數(shù)，是隨機(jī)事件，故B不符合題意；

購買一張體育彩票，能夠中獎，是隨機(jī)事件，故C不符合題意；

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)小于，是必然事件，故D符合題意；

故選：．

根據(jù)事件定義逐個判斷即可得到答案．

本題考查事件的定義：一定發(fā)生的叫必然事件，一定不發(fā)生的將不可能事件，可能發(fā)生的叫隨機(jī)事件．

7.【答案】

【解析】解：甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，

從折線圖可以看出甲的波動比乙的大，所以甲的方差大．

故選：．

根據(jù)平均數(shù)的概念計算出平均數(shù)，從折線圖可以看出甲的波動比乙的大，所以甲的方差大．

本題主要考查折線統(tǒng)計圖，算術(shù)平均數(shù)，方差的知識，熟練根據(jù)折線統(tǒng)計圖獲取相應(yīng)的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：在直角三角形中，，

，

根據(jù)題意可得：，

；

故選：．

根據(jù)的正切可得，而，進(jìn)而即可求解．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，比較簡單，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：由題意可得，

，

故選：．

根據(jù)乙公司安裝間教室比甲公司安裝相同數(shù)量的教室多用天列式即可得到答案．

本題考查利用分式方程解決實際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．

10.【答案】

【解析】解：如圖，

依題意可得，

剩下的四塊板仍然能拼成一個正方形，

取下來的是，

故選：．

根據(jù)仍要拼得正方形求解即可得到答案．

本題考查正方形的分割圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，確保剩下的四塊板仍然能拼成一個正方形．

11.【答案】

【解析】

【分析】

主要考查了零指數(shù)冪的意義，即任何非數(shù)的零次冪等于．

根據(jù)零指數(shù)冪的運算法則進(jìn)行計算．

【解答】

解：．

故答案為

12.【答案】

【解析】解：，，

，

故答案為：．

根據(jù)平角的定義求出即可．

本題考查了余角和補角、平角的定義，能根據(jù)圖形和平角的定義求出結(jié)果是解此題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：原式．

故答案為：．

由于兩分式的分母相同，分子不同，故根據(jù)同分母的分式相加減的法則進(jìn)行計算即可．

本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．

14.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意畫圖如下：

所有等可能的情況有種，其中甲、乙兩位同學(xué)都選中套餐的有種，

則甲、乙兩位同學(xué)都選中套餐的概率為；

故答案為：：

畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，再找出甲乙兩人選擇同款套餐的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．

此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

15.【答案】

【解析】解：過點作于點，

將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，

，

，，

≌，

，

點到距離等于．

故答案為：．

過點作于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明≌是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：由題意可得，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

，，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

，，，

該四邊形是、作對角線，

四邊形為矩形，，

，即：，

化簡得：，

解得，不符合題意，舍去，

故答案為：．

根據(jù)拋物線的性質(zhì)分別求出，，，四點坐標(biāo)，結(jié)合矩形性質(zhì)列式求解即可得到答案；

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出，，，四點坐標(biāo)，并確定其位置，利用矩形性質(zhì)列式求解．

17.【答案】解：

解不等式，得．

解不等式，得．

原不等式組的解集是．

【解析】先分別求出每個不等式的解集，再找出兩個不等式解集的公共部分即可．

本題考查了一元一次不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】證明：四邊形是矩形，

，，

，

在和中，

，

≌，

．

【解析】由矩形的性質(zhì)可得，，由“”可證≌，可得．

本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】

【解析】解：當(dāng)，時；

，；

，不是“和諧輪換數(shù)”；

當(dāng)，時；

，；

，是“和諧輪換數(shù)”；

故答案為：；

，，

．

．

．

，是“和諧輪換數(shù)”．

根據(jù)“和諧輪換數(shù)”的定義計算判斷即可；

根據(jù)“和諧輪換數(shù)”的定義解答即可．

本題是新定義問題，主要考查了整式的運算，正確理解“和諧輪換數(shù)”的定義、熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】

【解析】解：，

抽取的男生成績落在組的頻率是：，

女生成績有小到大排列第，第個數(shù)據(jù)分別是，，

抽取的女生成績的中位數(shù)是分，

故答案為：，；

男生成績的平均數(shù)；分，

女生成績的平均數(shù)分；

，

女生的競賽成績更好．

男生優(yōu)秀人數(shù)：，

女生優(yōu)秀人數(shù)：，

優(yōu)秀人數(shù)是：．

答：估計該校在本次知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)有名．

先求出，再用的值除以即可求出抽取的男生成績落在組的頻率；關(guān)鍵中位數(shù)的意義確定抽取的女生成績的中位數(shù)即可；

分別求出男生和女生的平均數(shù)，再比較作出判斷即可；

分別估計出男生和女生的人數(shù)，再相加即可作出估計．

本題考查頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計圖，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，用樣本估計總體，理解相關(guān)統(tǒng)計量的意義，以及從統(tǒng)計圖表中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：如圖，以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交，于點，，分別以點，為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，兩弧相交于點，連接交于點，過點作，交于點，是以為底邊的等腰直角三角形；

由作圖可知：，

，

，

，

，

，

，

，

是以為底邊的等腰直角三角形；

是以為底邊的等腰直角三角形，

，，

，，

∽，

，

設(shè)，則，，

，

解得：，

的長等于．

【解析】以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交，于點，，分別以點，為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，兩弧相交于點，連接交于點，過點作，交于點，即為所求；先證，再證，即可得答案；

先證∽，得，設(shè)，則，，得，解方程即可得答案．

本題考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．

22.【答案】解：設(shè)安裝型充電樁的單價為萬元，型充電樁的單價萬元，根據(jù)題意，

得，

解這個方程組，得；

答：安裝型充電樁和型充電樁的單價分別是萬元和萬元．

設(shè)型充電樁安裝了個，則型充電樁安裝了個，投入的總費用為萬元，根據(jù)題意，得

．

解這個不等式，得．

投入的總費用．

，

，

隨增大而減小，

為正整數(shù)，當(dāng)取最大值時，的最小值為萬元．

答：當(dāng)型充電樁安裝個時，所需投入的總費用最少，最少的費用為萬元．

【解析】設(shè)安裝型充電樁的單價為萬元，型充電樁的單價萬元，根據(jù)題意即可列出關(guān)于、的方程組，解方程組即可求出答案；

設(shè)型充電樁安裝了個，則型充電樁安裝了個，投入的總費用為萬元，根據(jù)題意可列出不等式，進(jìn)而可求出的取值范圍，然后得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，正確理解題意、列出方程組、不等式及一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：如圖，連接，．

點為的中點，且，

，，

，

在中，．

，

又，

，

，

．

證明：如圖，連接，，，

由平移得：，，

四邊形是平行四邊形，

，點在延長線上，

，

，，

，

垂直平分，

，

，

為等邊三角形，

，

平行四邊形是菱形，

，

在和中，

，

≌，

，

又是的半徑，

是的切線．

【解析】連接，，先根據(jù)特殊角的正弦值可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓周角定理即可得；

連接，，，先證出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，根據(jù)菱形的判定可得四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)定理證出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)圓的切線的判定即可得證．

本題考查了特殊角的正弦值、圓周角定理、圓的切線的判定、菱形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓的切線的判定方法是解題關(guān)鍵．

24.【答案】證明四邊形是矩形，

，，

，．

點為的中點，

．

≌，

，

．

證明：由對稱可得，．

，

．

．

．

由得，

．

．

．

，

．

．

解：數(shù)量關(guān)系是：．

≌，

．

由對稱可得，

，

，

由知，