數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用(全文)

精品文檔-下載后可編輯數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用(全文)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚寫過這樣一首詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘.幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.”由此數(shù)形結(jié)合對數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)的重要性可見一斑.在解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒛承?shù)學(xué)問題化抽象為具體顯得更加易于理解，符合初中生的思維特點(diǎn)，并且能夠?qū)⒊橄笏季S洗盡鉛華轉(zhuǎn)化為具體的形象思維，有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)更加懂得數(shù)學(xué)而不只是學(xué)會數(shù)學(xué)；這不正是授之以漁嗎！

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生能力的培養(yǎng)是舉足輕重的，并且是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的數(shù)學(xué)思想，可以說它貫穿于整個數(shù)學(xué)的教學(xué)，在解函數(shù)、不等式、解析幾何等問題中隨處可以見其身影.函數(shù)值的分布情況可以通過函數(shù)圖象直觀得到，不等式求解可以將兩端分別構(gòu)造函數(shù)圖象來比較數(shù)量大小.幾何和代數(shù)本是一家，圖形的面積周長必須代數(shù)的幫助，某些構(gòu)造特別的代數(shù)式又必須有幾何圖形的輔助才得以更加快捷解決，數(shù)和形，兩者相互依存形影不離.縱觀整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)，初一、初二學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)軸、有理數(shù)和實(shí)數(shù)，一次函數(shù)、反比例函數(shù)等這些正是數(shù)和形的初步結(jié)合，此時教學(xué)教師可以適當(dāng)講授數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)史相關(guān)趣事讓學(xué)生在快樂中認(rèn)識和理解這種重要數(shù)學(xué)思想方法.到了初三學(xué)生接觸了二次函數(shù)，再結(jié)合前面的一次函數(shù)和反比例函數(shù)構(gòu)造的數(shù)學(xué)題對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維要求就很高了，如果只是采用代數(shù)方法教學(xué)可能會事倍功半.接下來學(xué)生學(xué)習(xí)了圓形，結(jié)合前面的三角形和平行四邊形構(gòu)造的幾何題也會要求學(xué)生適當(dāng)引入代數(shù)計(jì)算來輔助解題.這樣由數(shù)需形，形依賴數(shù)的不斷學(xué)習(xí)和練習(xí)，學(xué)生將會加深對數(shù)和形關(guān)系的認(rèn)識，并且能夠熟練掌握靈活運(yùn)用，最終轉(zhuǎn)化為自己的思維和能力.正所謂幾何使人形象直觀，代數(shù)使人嚴(yán)謹(jǐn)縝密.下面我們由具體的數(shù)學(xué)問題具體分析這種數(shù)學(xué)思想的魅力，并且在教學(xué)中加以運(yùn)用.

一、以形觀數(shù)高屋建瓴

自從引入數(shù)軸及坐標(biāo)軸，學(xué)生對數(shù)又有了進(jìn)一步的認(rèn)識，這也是數(shù)與形的初次牽手合作.數(shù)值的大小比較，不等式解的區(qū)間等都得以生動直觀地表現(xiàn).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中相反數(shù)、絕對值概念是比較抽象的，由于學(xué)生之前沒有接觸過相關(guān)內(nèi)容所以很多學(xué)生不大容易理解，因此相反數(shù)、絕對值概念通過借助和利用數(shù)軸上點(diǎn)與原點(diǎn)之間的位置關(guān)系來刻劃，幫助學(xué)生理解和掌握.在教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用無非是用特定的圖形來輔助解決某些構(gòu)造復(fù)雜特殊的代數(shù)式，即以形解數(shù)；而一些幾何圖形或者函數(shù)圖象需要引入代數(shù)計(jì)算來直觀比較大小，即以數(shù)解形.不管是以數(shù)解形或者是以形解數(shù)其解題都是從一個較高的角度分析問題從而得到一個簡潔高效的解題方法.下面是一些數(shù)形結(jié)合思想的冰山一角.

例1求絕對值小于4的整數(shù).

分析我們把一個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值.借助數(shù)軸發(fā)現(xiàn)到原點(diǎn)的距離小于4個單位長度的整數(shù)點(diǎn)有7個.

因此絕對值等于4的整數(shù)有-3，-2，-1，0，1，2，3.

例2解不等式：（1）5x-1>2x+5，（2）x-4

分析學(xué)習(xí)完函數(shù)圖象后學(xué)生對不等式的解法又多了一種更加直觀的解法，根據(jù)不等號兩邊函數(shù)圖象的位置來判斷兩者數(shù)量關(guān)系.這不僅是一種解題方法更是一種數(shù)學(xué)思維的拓寬延展.函數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合應(yīng)用比較多的，尤其是函數(shù)求解的大概范圍，解的個數(shù)及多個函數(shù)之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的比較，運(yùn)用圖象可以直觀地得到答案.

例3已知點(diǎn)M（0，2），N（12，3），點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上一個動點(diǎn)，則PM+PN的最小值是多少？

分析這個題目就屬于那種“數(shù)缺形時少直觀”的感覺.雖然學(xué)生可以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離來計(jì)算但是用純數(shù)的運(yùn)算很容易出錯，況且出題人的用意也正是考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思維.當(dāng)然有了圖形我們便可以直觀地看出其中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)而解得正確的結(jié)果.

我們都清楚如果代數(shù)問題能從幾何角度來解就會找到捷徑，可以避免一些不必要的計(jì)算和失誤.在教學(xué)中我們偏愛幾何的直觀而畏懼抽象的代問題，所以一直以來許多數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)學(xué)者甚至數(shù)學(xué)教師都致力于將代數(shù)問題幾何化幾何問題代數(shù)化，這不僅僅是方便教學(xué)更是為了數(shù)學(xué)這門自然科學(xué)的蓬勃發(fā)展.一些幾何問題可以通過建立坐標(biāo)引進(jìn)坐標(biāo)來解決，但抽象的代數(shù)問題用幾何解決則有多種途徑.這些都是數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要不斷努力研究改進(jìn)的.

二、以數(shù)解形巧借東風(fēng)

數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中運(yùn)用是有規(guī)律可循的，形與數(shù)的轉(zhuǎn)化也是依靠它們之間的信使來完成的并不是無中生有沒有根據(jù)的.例如代數(shù)和函數(shù)圖象是依靠坐標(biāo)系、坐標(biāo)系中的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)表和數(shù)據(jù)之間的一一對應(yīng)，勾股數(shù)與直角三角形三邊之間的一一對應(yīng)等等.教師在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想時應(yīng)讓學(xué)生明白數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化契機(jī)和對應(yīng)關(guān)系，如何更加巧妙高效自然地將數(shù)與形結(jié)合起來是滲透這一思想方法時教師應(yīng)該著重設(shè)計(jì)的.同樣的在解決圖形中數(shù)量相關(guān)時可以通過設(shè)未知數(shù)x來通過代數(shù)運(yùn)算解決，在圖表問題中可以通過分析圖表提供的數(shù)據(jù)關(guān)系再運(yùn)用所學(xué)過的代數(shù)方程來求值就輕松很多了.

例4如圖3，字母B所代表的正方形的面積是.

分析運(yùn)用勾股定理解出邊長從而來計(jì)算面積.某人在該周內(nèi)持有若干股甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價計(jì)算（不計(jì)手續(xù)費(fèi)、稅費(fèi)等），該人賬戶上星期二比星期一多獲利200元，星期三比星期二多獲利1300元.試問該人持有甲、乙股票各多少股？

分析本例是由圖表獲取數(shù)據(jù)以數(shù)解形的典型例子，通