九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題09 《一元二次方程的應(yīng)用綜合》重難點(diǎn)題型分類（原卷版）

/專題09《一元二次方程的應(yīng)用綜合》重難點(diǎn)題型分類專題簡(jiǎn)介：本份資料專攻《一元二次方程的應(yīng)用綜合》中“與一元二次方程有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題”、“一元二次方程與一次函數(shù)的綜合”、“與一元二次方程有關(guān)的閱讀探究問題”等重點(diǎn)題型；適用于老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用或者考前刷題時(shí)使用。考點(diǎn)1：與一元二次方程有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題方法點(diǎn)撥：一元二次方程在幾何動(dòng)點(diǎn)問題中運(yùn)用的關(guān)鍵是找到合適的直角三角形，用設(shè)定的字母把三邊表示出來(lái)，再根據(jù)勾股定理列出方程進(jìn)行求解，最后必須根據(jù)題意判定結(jié)果的合理性。只要認(rèn)真審題，牢固掌握并靈活運(yùn)用各個(gè)特殊幾何圖形的性質(zhì)定理，并根據(jù)邊角間的數(shù)量關(guān)系列出等式，就能輕松應(yīng)對(duì)這類題型。1．（2022·安徽合肥·八年級(jí)期末）如圖，在中，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)移動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．問經(jīng)過(guò)幾秒后，，兩點(diǎn)的距離是？2．（2022·河北唐山·八年級(jí)期中）如圖1，，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿路線運(yùn)動(dòng)，到D停止；點(diǎn)P的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，如圖1是的面積與x（秒）的圖像．(1)______時(shí)間段內(nèi)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)；______時(shí)間段內(nèi)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)；(2)根據(jù)題目中提供的信息，請(qǐng)你推斷出圖1中的______；______；______；圖2中的______；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，．3．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊向點(diǎn)以/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以/秒的速度移動(dòng)．如果、兩點(diǎn)在分別到達(dá)、兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，回答下列問題：(1)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí)，的面積等于；(2)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始后第秒時(shí)，五邊形的面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍．4．（2022·山東淄博·九年級(jí)期中）如圖，在直角梯形中，，，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線的方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒），當(dāng)為何值時(shí)，以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？考點(diǎn)2：一元二次方程與一次函數(shù)的綜合方法點(diǎn)撥：利用一次函數(shù)與韋達(dá)定理進(jìn)行求解最值問題。1．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）為積極響應(yīng)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)售價(jià)為45萬(wàn)元時(shí)，年銷售量為550臺(tái)．假定該設(shè)備的年銷售量y（單位：臺(tái)）和銷售單價(jià)x（單位：萬(wàn)元）成一次函數(shù)關(guān)系．(1)求年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知每臺(tái)設(shè)備成本價(jià)為30萬(wàn)元，根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于70萬(wàn)元，如果該公司想獲得10000萬(wàn)元的年利潤(rùn)，則該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是多少萬(wàn)元？2．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）“人與自然和諧共生”哈爾濱濕地節(jié)系列活動(dòng)中，某景點(diǎn)接待游客逐漸增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若該景點(diǎn)接待游客數(shù)量的周平均增長(zhǎng)率相同．(1)求該景點(diǎn)在6月份的第二周接待游客多少人？(2)該景點(diǎn)第四周接待游客數(shù)量是第二周接待游客數(shù)量的1.8倍，平均每位游客購(gòu)買1件旅游紀(jì)念品．該景點(diǎn)只銷售A，B兩種旅游紀(jì)念品，A種紀(jì)念品每件利潤(rùn)5元，B種紀(jì)念品每件利潤(rùn)8元，且售出的B種紀(jì)念品的數(shù)量不多于A種紀(jì)念品的3倍，設(shè)第四周該景點(diǎn)售出A種旅游紀(jì)念品a件，獲得的總利潤(rùn)為W元，求W與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出獲得的最大利潤(rùn)．3．（2022·山東濱州·八年級(jí)期末）某超市以每千克40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種干果，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到實(shí)惠，現(xiàn)決定降價(jià)銷售，已知這種干果銷售量y（千克）與每干克降價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每千克干果降價(jià)3元時(shí)，超市獲利多少元？(3)若超市要想獲利2090元，且讓顧客獲得更大實(shí)惠，這種干果每千克應(yīng)降價(jià)多少元？4．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）某快餐店試銷某種套餐，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費(fèi)用為600元（不含套餐成本）．試銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，若每份套餐售價(jià)不超過(guò)10元，每天可銷售400份；若每份套餐售價(jià)超過(guò)10元，每提高1元，每天的銷售量就減少40份．為了便于結(jié)算，每份套餐的售價(jià)x（元）取整數(shù)，用y（元）表示該店每天的利潤(rùn)．(1)若每份套餐售價(jià)不超過(guò)10元．①試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；②若要使該店每天的利潤(rùn)不少于800元，則每份套餐的售價(jià)應(yīng)為多少元？(2)該店把每份套餐的售價(jià)提高到10元以上，每天的利潤(rùn)能否達(dá)到1560元？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，求出每份套餐的售價(jià)應(yīng)定為多少元時(shí)，既能保證利潤(rùn)又能吸引顧客？5．（2022·山東·煙臺(tái)市福山區(qū)教學(xué)研究中心八年級(jí)期中）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．為滿足市場(chǎng)需求，某超市購(gòu)進(jìn)一批吉祥物“冰墩墩”，進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元，第一天以每個(gè)25元的價(jià)格售出30個(gè)，為了讓更多的消費(fèi)者擁有“冰墩墩”，從第二天起降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出3個(gè)．(1)當(dāng)售價(jià)小于25元時(shí)，試求出第二天起每天的銷售量y（個(gè)）與每個(gè)售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果前兩天共獲利525元，且第二天銷售數(shù)量不低于30個(gè)，則第二天每個(gè)“冰墩墩”的銷售價(jià)格為多少元？考點(diǎn)3：與一元二次方程有關(guān)的閱讀探究問題方法點(diǎn)撥：閱讀材料型題是近年來(lái)中考試題中出現(xiàn)的新題型，它以內(nèi)容豐富、構(gòu)思新穎別致、題型多樣為特點(diǎn)，由閱讀材料和解決問題兩部分組成，讓考生在閱讀的基礎(chǔ)上,理解其中的內(nèi)容、方法和思想，進(jìn)而解決問題，解答閱讀理解題，要讀懂材料，正確理解題意，弄清題目要求，理清問題與材料之間的關(guān)系。把問題帶到題目中，認(rèn)真理解材料所提供的思路，多角度去思考，或直接運(yùn)用閱讀中得到的方法、思想解決問題，或在材料中所提供的信息的基礎(chǔ)上加以類比、變式、拓展得到類似的方法進(jìn)行求解.1．（2022·廣西北?！て吣昙?jí)期中）閱讀材料：把代數(shù)式因式分解，可以分解如下：(1)探究：請(qǐng)你仿照上面的方法，把代數(shù)式因式分解．(2)拓展：當(dāng)代數(shù)式時(shí)，求的值．2．（2022·安徽合肥·八年級(jí)期中）探究：已知，如圖是一個(gè)三角形點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有一個(gè)點(diǎn)，第二行有兩個(gè)點(diǎn)，…，第行有個(gè)點(diǎn)…，容易發(fā)現(xiàn)，10是三角形點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)和．(1)求三角形點(diǎn)陣中前10行的點(diǎn)數(shù)和；(2)若三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和為300，求的值；(3)三角形點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和能是600嗎？______（填“能”或“不能”）3．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）綜合與探究：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1，那么稱這樣的方程是“鄰根方程”．例如：一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程：是“鄰根方程”．(1)通過(guò)計(jì)算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①；

②．(2)已知關(guān)于x的一元二次方程（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，求m的值．4．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）變形為a（x+m）2+n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式ax2+bx+c的配方法．運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式．例如：x2+11x+24＝（x+8）（x+3）根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)初步感知：用多項(xiàng)式的配方法將x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式；(2)問題探究：下面是某位同學(xué)用配方法及平方差公式把多項(xiàng)式x2﹣3x﹣40進(jìn)行分解因式的解答過(guò)程：解：x2﹣3x﹣40＝x2﹣3x+32﹣32﹣40＝（x﹣3）2﹣49＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）＝（x+4）（x﹣10）老師說(shuō)，這位同學(xué)的解答過(guò)程中有錯(cuò)誤，請(qǐng)你找出該同學(xué)解答中開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，并用“一一”標(biāo)畫出來(lái)，然后寫出完整的、正確的解答過(guò)程．5．（2022·山東·青島大學(xué)附屬中學(xué)三模）[問題提出]如圖1，由（長(zhǎng)×寬×高）個(gè)小立方塊組成的正方體中，到底有多少個(gè)長(zhǎng)方體（包括正方體）呢？[問題探究]我們先從較為簡(jiǎn)單的情形入手．如圖2，由個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)共有條線段，寬和高分別只有1條線段，所以圖中共有個(gè)長(zhǎng)方體．如圖3，由個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)和寬分別有條線段，高有1條線段，所以圖中共有個(gè)長(zhǎng)方體．(1)如圖4，由個(gè)小立方體組成的正方體中，長(zhǎng)、寬、高分別有條線段，所以圖中共有________個(gè)長(zhǎng)方體．(2)由個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，