遼寧省大連市莊河第五初級中學2022年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

遼寧省大連市莊河第五初級中學2022年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)在定義域[0,+∞)上單調遞增，且對于任意，方程有且只有一個實數(shù)解，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為（）A．

B．

C．

D．

參考答案：B2.已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.(0,+∞) B.(1,+∞) C. D.參考答案：A【分析】令f（x）＝0，可得＝，可得a在x≠0有且只有2個不等實根，等價為函數(shù)g（x）的圖象和直線y＝a有且只有兩個交點．求出g（x）的導數(shù)和單調區(qū)間，利用數(shù)形結合即可得到a的范圍．【詳解】f（x），令f（x）＝0，可得＝，當x＝0時，上式顯然不成立；可得a在x≠0有且只有2個不等實根，等價為函數(shù)g（x）的圖象和直線y＝a有且只有兩個交點．由g′（x）<0恒成立，可得x＞0時，g（x）遞減；當x＜0時，g（x）遞減．且g（x）在x>0或x<-1時恒成立，作出函數(shù)g（x）的圖象，如圖：由圖象可得a>0時，直線y＝a和y＝g（x）的圖象有兩個交點．故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題解法，注意運用函數(shù)方程的轉化思想和數(shù)形結合思想方法，考查運用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題，考查運算能力，屬于中檔題．3.A為三角形ABC的一個內角，若sinA+cosA=，則這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定參考答案：B【考點】二倍角的正弦．【分析】利用sinA+cosA=，兩邊平方可得，進而判斷出A是鈍角．【解答】解：∵sinA+cosA=，兩邊平方可得：，化為，∵A∈（0，π），∴sinA＞0，cosA＜0．∴A為鈍角．∴這個三角形是鈍角三角形．故選：B．4.設集合，，則A∪B=（

）A.(－1,2) B.(0,1) C.(－∞,2) D.(－1,1)參考答案：A【分析】分別求出集合和，再求并集即可.【詳解】解不等式得，即；由得，即；所以.故選A【點睛】本題主要考查集合的并集運算，熟記概念即可求解，屬于基礎題型.5.設函數(shù)若，，則關于x的方程的解的個數(shù)為（

）A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：B6.某種電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】設“開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P（A）=，P（AB）=，由此利用條件概率計算公式求得P（B/A）的值．【解答】解：設“開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P（A）=，P（AB）=，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次出現(xiàn)紅燈的概率是：P（B/A）===．故選：C．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意條件概率計算公式的靈活運用．7.在n元數(shù)集S={a1，a2，…，an}中，設x（S）=，若S的非空子集A滿足x（A）=x（S），則稱A是集合S的一個“平均子集”，并記數(shù)集S的k元“平均子集”的個數(shù)為fs（k）．已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，則下列說法錯誤的是（）A．fs（9）=fT（1） B．fs（8）=fT（1） C．fs（6）=fT（4） D．fs（5）=fT（4）參考答案：D【考點】集合的表示法．【分析】根據(jù)新定義求出k元平均子集的個數(shù)，逐一判斷．【解答】解：X（S）=5，將S中的元素分成5組（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）．則fS（1）==1，fS（2）==4，fS（3）=?=4，fS（4）==6，fS（5）=?=6，同理：X（T）=0，將T中的元素分成5組（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3），（4，﹣4），（0）．則fT（1）==1，fT（2）==4，fT（3）=?=4，fT（4）==6，fT（5）=?=6，fT（8）==1，∴fS（4）=fS（5）=fT（4）=6．故選：D．8.已知向量，則的最小值為A.1

B.

C.

D.參考答案：D9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則（

）A．9

B．18

C.

15

D．27參考答案：C10.直線與平面成45°角，若直線在內的射影與內的直線成45°角，則與

所成的角是

（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標之和為

．參考答案：1712.若關于的不等式的解集為，則實數(shù)_________．參考答案：略13.已知直線l：y=kx+4（k≠±4）交雙曲線C：x2﹣=1于A，B兩點，交x軸于Q，交y軸于P，若，且，則k2=

．參考答案：4【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】設及A、B兩點的坐標，求得P，Q的坐標，利用，找到λ1和λ2與A、B兩點的坐標和直線l的斜率的關系，再利用A、B兩點是直線和雙曲線的交點以及λ1+λ2=﹣，聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理和代入法，化簡整理，即可求出直線l的k2．【解答】解：l的方程：y=kx+4（k≠±4，且k≠0），設A（x1，y1），B（x2，y2），則Q（﹣，0），P（0，4），∵，∴（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1）=λ2（x2+，y2），∴λ1==﹣，同理λ2=﹣，所以λ1+λ2=﹣﹣=﹣．即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）又y=kx+4以及x2﹣=1，消去y得（3﹣k2）x2﹣8kx﹣19=0．當3﹣k2=0時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，3﹣k2≠0．由韋達定理有：x1+x2=，x1x2=﹣，代入（*）式得，2k2（﹣）+5k（）+8=0，解得k2=4，故答案為：4．14.設函數(shù)f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=．參考答案：2考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．專題：綜合題；壓軸題．分析：函數(shù)可化為f（x）==，令，則為奇函數(shù)，從而函數(shù)的最大值與最小值的和為0，由此可得函數(shù)f（x）=的最大值與最小值的和．解答：解：函數(shù)可化為f（x）==，令，則為奇函數(shù)，∴的最大值與最小值的和為0．∴函數(shù)f（x）=的最大值與最小值的和為1+1+0=2．即M+m=2．故答案為：2．點評：本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的奇偶性，解題的關鍵是將函數(shù)化簡，轉化為利用函數(shù)的奇偶性解題．15.一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是

參考答案：16.函數(shù)的圖像向右平移個單位后，與函數(shù)的圖像重合，則___________.參考答案：略17.已知

。參考答案：5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分12分）如圖，在四面體中，平面ABC⊥平面，（Ⅰ）求四面體ABCD的體積；（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。參考答案：解：（I）過D作DF⊥AC于F，由平面ABC⊥平面ACD知，DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高。設G為CD的中點，則由AC＝AD，知AG⊥CD，從而。由，得。在中，，所以。所以四面體ABCD的體積。（II）過F作FE⊥AB于E，連結DE，由三垂線定理，得DE⊥AB，所以∠DEF為二面角C－AB－D的平面角。在中，，在中，EF//BC，從而EF：BC＝AF：AC，所以，在中，，即所求二面角的正切值為。略19.現(xiàn)有一個尋寶游戲，規(guī)則如下：在起點P處有A、B、C三條封閉的單向線路，走完這三條線路所花費的時間分別為10分鐘、20分鐘、30分鐘，游戲主辦方將寶物放置在B線路上（參賽方并不知曉），開始尋寶時參賽方在起點處隨機選擇路線順序，若沒有尋到寶物，重新回到起點后，再從沒有走過的線路中隨機選擇路線繼續(xù)尋寶，直到尋到寶物并將其帶回至P處，期間所花費的時間記為X．（1）求X≤30分鐘的概率；（2）求X的分布列及EX的值．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差；相互獨立事件的概率乘法公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出X≤30分鐘的概率．（2）由題意知X的所有可能取值為20，30，50，60，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及EX的值．解答： 解：（1）X≤30分鐘的概率：P（X≤30）=P（B）+P（AB）==．（2）由題意知X的所有可能取值為20，30，50，60，P（X=20）=P（B）=，P（X=30）=P（AB）==，P（X=50）=P（CB）==，P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=，∴X的分布列為：X20305060P∴EX=20×+30×+50×+60×=40（分）．點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）設△的內角、、的對邊分別為、、，且，，，求的值．參考答案：解：（Ⅰ），則的最小正周期是.

……………（6分）（Ⅱ），則，∵，∴，∴，∴，∴，

∵，由正弦定理，得，①

由余弦定理，得，即，②由①②解得.

………………（12分）21.(本小題滿分12分)在中，角所對的邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）求的最大值，并求取得最大值時角的大?。畢⒖即鸢福航猓海?）由正弦定理得因為所以又故（2）由（1）知于是取最大值2．故的最大值為2，此時

略22.（本小題滿分13分）為了了解低保戶的生活情況，用分層抽樣的方法從三個居民區(qū)的低保戶中，抽取若干家庭進行調研，有關數(shù)據(jù)如小表（單位：戶）：居民區(qū)低保戶數(shù)抽取低保戶數(shù)3421768

（1）求；

（2）若從兩個居民區(qū)抽取的低保戶中隨機選2戶進行幫扶，用列舉法求這2戶都來自居