2022-2023學年福建省泉州市重點中學高一（下）期中聯(lián)考數(shù)學試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若角的終邊經(jīng)過點，則的值為()

A.B.C.D.

2.下列結論正確的是()

A.B.

C.D.

3.已知，則()

A.B.C.D.

4.函數(shù)的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則()

A.

B.

C.

D.

5.中，，，則為()

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

6.如圖，某同學運用數(shù)學知識測算東西塔塔尖，的距離，該同學選擇地面上一點為觀測點，測得西塔的塔尖仰角為，東塔的塔尖仰角，且，，，則塔尖、的距離為()

A.B.C.D.

7.不等式，對于任意恒成立，則實數(shù)的最大值是()

A.B.C.D.

8.如圖，在中，，，與交于，設，，，則為()

A.

B.

C.

D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.設復數(shù)，，下列說法正確的是()

A.B.的虛部是C.是純虛數(shù)D.

10.已知向量，，則()

A.與夾角為B.

C.在上的投影向量是D.在上的投影向量是

11.下列命題中正確的是()

A.中，若，則

B.銳角中，不等式恒成立

C.中，若，則是等腰直角三角形

D.中，，則是等腰三角形

12.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是()

A.是函數(shù)的一條對稱軸

B.

C.在上有個實數(shù)解

D.若，則函數(shù)在上單調遞增

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是______．

14.函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是______．

15.如圖是梁思成研究廣濟寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁與該截面的交點，，分別是兩房檐與該截面的交點，該建筑關于房梁所在鉛垂面垂直于水平面的面對稱，，均視作線段，記，，是的四等分點，，，是的四等分點，記，為測量單位，測得，的長度為______用含的式子表示

16.設點在單位圓的內接正六邊形的邊上，點為六邊形上不同于的任意一點若數(shù)量積的結果構成集合，則集合的元素最少有______個；的取值范圍是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

求解：

化簡：；

畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象．

18.本小題分

已知平行四邊形中，，，，點是線段的中點．

求的值；

若，且，求的值．

19.本小題分

的內角，，的對邊分別為，，，且．

求；

若，求面積的最大值．

20.本小題分

已知函數(shù)的最小正周期為．

求函數(shù)的解析式；

將圖象上所有的點橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的倍，再將圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是否存在？對于任意的，，當時，恒成立，若存在，求的取值范圍．

21.本小題分

在酷暑來臨之前，安溪某公司計劃在該集團一處院子修建避暑山莊，以作為合作伙伴“四大集團”的集中研討地院子門前兩條夾角為即的小路，之間要修建一處弓形花園，弓形花園弦長，弓形花園頂點，且，記．

用表示的長度；

要在點修建噴泉，為獲得更好的觀景視野，如何規(guī)劃花園兩條小路，長度，才能使噴泉與山莊的距離最大？

22.本小題分

已知函數(shù)．

求函數(shù)的最小值；

設函數(shù)，記最大值為，最小值為，若實數(shù)滿足，如果函數(shù)在定義域內不存在零點，試求實數(shù)的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：終邊過點，

，

．

故選：．

根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可求得，結合誘導公式可求得結果．

本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．

2.【答案】

【解析】解：對于，因為，，所以，故A錯誤；

對于，因為，所以，故B錯誤；

對于，因為，，

又，所以，故C錯誤；

對于，因為，，

又，所以，即，故D正確．

故選：．

利用三角函數(shù)的性質，結合誘導公式，對選項逐一分析判斷即可．

本題考查了三角函數(shù)線的應用，考查了學生的運算轉化能力，屬于基礎題

3.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查的知識要點是三角恒等變換，同角三角函數(shù)關系式，主要考查學生的運算能力和轉化能力，

直接利用同角三角函數(shù)關系式求出，，再由，運用兩角和的余弦函數(shù)公式求出結果．

【解答】

解：已知：，

所以：，故：，

，所以：，

則：

故選D．

4.【答案】

【解析】解：如圖所示，區(qū)域和區(qū)域面積相等，

故陰影部分的面積即為矩形的面積，根據(jù)圖形可得，

設函數(shù)的最小正周期為，則，

由題意可得：矩形的面積為，解得，

故，可得，即，

可知的圖象過點，即．

，則，

，解得．

故選：．

根據(jù)正切型函數(shù)的對稱性分析可得，進而可求得，再代入點，運算求解即可．

本題主要考查正切函數(shù)的圖像和性質，用割補法求圖形的面積，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，

則在的平分線上，

又，

的角平分線垂直于，根據(jù)等腰三角形三線合一定理得到為等腰三角形，且，

又，則，則，

又，所以，

所以，可得，所以是等腰直角三角形．

故選：．

根據(jù)已知條件可知角的角平分線與垂直，可得，再由向量夾角公式得，得，求出、，即可得的形狀．

本題主要考查三角形的形狀判斷，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：由題得在中，，

，

在中，，

，

則在中，由余弦定理得

，

．

故選：．

由題意得，，利用余弦定理，即可得出答案．

本題考查解三角形，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

7.【答案】

【解析】解：因為對于，任意恒成立，

而，所以對于恒成立，

設，，

則不等式即為在恒成立，

即在恒成立．

而在上單調遞減，所以當時，有最小值，

，即實數(shù)的最大值是．

故選：．

由任意可知，從而原問題等價于對于恒成立，利用換元法令，不等式可整理為在恒成立，得，利用分離常數(shù)法結合對勾函數(shù)的單調性即可求解．

本題主要考查函數(shù)恒成立問題，三角函數(shù)的最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．

8.【答案】

【解析】解：，

，

同理向量還可以表示為，

根據(jù)平面向量基本定理可知向量用不共線的兩個向量線性表示是唯一的

則對應系數(shù)相等可得解得，所以，

故選A．

根據(jù)，，利用、、三點共線和、、三點共線分別表示出向量，根據(jù)平面向量基本定理可求出、的值．

本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義，同時考查了分析問題的能力和計算能力，屬于基礎題．

9.【答案】

【解析】解：對于，復數(shù)不能比較大小，錯；

對于，的虛部是，對；

對于，不是純虛數(shù)，錯；

對于，，對．

故選：．

對于，復數(shù)不能比較大小，可判斷；對于，根據(jù)復數(shù)的虛部的定義可判斷；對于，根據(jù)純虛數(shù)的定義可判斷；對于，計算即可判斷．

本題主要考查復數(shù)的四則運算，考查轉化能力，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：已知向量，，

則，，

對于選項A，因為，，

令與夾角為，

所以，

又，

所以與夾角不為，

故選項A錯誤；

對于選項B，

由平面向量數(shù)量積的坐標運算可得，

所以，

故選項B正確；

對于選項C，因為，，

所以在上的投影向量是，

故選項C正確；

對于選項D，，，

所以在上的投影向量是，

故選項D錯誤．

故選：．

根據(jù)向量的坐標運算求出，，即可計算夾角判斷項；計算即可判斷項；根據(jù)投影向量的公式，求出投影向量，即可判斷、項．

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了向量夾角的運算及投影向量的運算，屬中檔題．

11.【答案】

【解析】解：對于：，，由正弦定理可得，A正確；

對于：在銳角中，，，，

則，

，B正確；

對于：在中，若，

由正弦定理可得，，

又，，，或，

則或，故是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；

對于：，，

即，

，即，，故是直角三角形，

顯然，并不能確定是否為等腰三角形，D錯誤．

故選：．

A.利用大角對大邊以及正弦定理邊化角來判斷；利用以及余弦函數(shù)的性質來判斷；先利用正弦定理邊化角，然后利用倍角公式變形得，關系，進而可得三角形的形狀；利用平面向量數(shù)量積的運算法則得到，從而得以判斷．

本題考查解三角形問題，向量數(shù)量積的運算，屬中檔題．

12.【答案】

【解析】解：由圖可知，最小正周期，

所以，

對于，因為，所以，

所以，即，

又，所以，此時，B錯誤；

對于，令，則，，

當時，，A正確；

對于，因為，，

所以在上有個實數(shù)解，

又的最小正周期，

所以在上有個實數(shù)解，

又，，

所以在上有個實數(shù)解，

故在上有個實數(shù)解，C正確；

對于，，所以，

當時，，

又，即，所以

所以，

令，則，所以，

而在此區(qū)間不單調，所以函數(shù)在上不單調，D錯誤．

故選：．

由圖象可知周期，從而求得，可判斷；由求得，令求解可判斷；利用余弦函數(shù)的性質結合周期可判斷；由復合函數(shù)的單調性可判斷．

本題綜合考查了正弦函數(shù)性質的應用，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：因為復數(shù)為純虛數(shù)，

所以，解得．

故答案為：．

根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解．

本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：因為，，所以，

因為函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，

所以，解得，

所以實數(shù)的取值范圍是．

故答案為：．

由，，求出，再根據(jù)題意可得，從而可得答案．

本題主要考查三角函數(shù)的最值，屬于基礎題．

15.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意作出示意圖，如圖所示，

由題意，，，

在中，，

即，

，

又，

解得，

，

在中，，

．

故答案為：．

根據(jù)題意作出示意圖，在中，利用余弦定理求得，，在中利用余弦定理即可求解．

本題考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：由正六邊形的對稱性知：當點在，在時，數(shù)量積的結果個數(shù)最少，

即，，，

所以集合的元素最少有個．

如圖所示，以圓心為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，

則，，，，，，

所以直線的斜率，即直線的方程為，

設，則，

，，

，，

，

所以，

因為在上，則，

則，

又，則，

所以的取值范圍是，

故答案為：；．

根據(jù)正六邊形的對稱性得到數(shù)量積的最少結果個數(shù)，再以圓心為原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，得到各點的坐標，從而得到直線的方程，設，得到，結合條件得到的取值范圍，即可求解．

本題考查向量數(shù)量積的基本運算，向量數(shù)量積的最值的求解，函數(shù)思想，屬中檔題．

17.【答案】解：

；

計算填表：

描點，連線，可得圖象如下：

【解析】按照基本誘導公式結合奇變偶不變，符號看象限法則化簡即可；

分別計算五點坐標，利用五點法即可畫出圖形．

本題主要考查了運用誘導公式化簡求值和五點法作函數(shù)的圖象，屬于基礎題．

18.【答案】解法：

以點為坐標原點，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

則，

，

；

，

，，

．

法：

；

，所以，

因為，，，所以，

而，

所以與重合，

所以．

【解析】本題考查向量的數(shù)量積、實數(shù)值的求法，考查向量數(shù)量積公式、向量平行、向量垂直的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

法一：以點為坐標原點，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，利用向量法能求出結果．

，由，能求出結果．

法：利用向量數(shù)量積公式直接求解；

，從而，而，但，與重合，由此能求出結果．

19.【答案】解：，

，

由正弦定理得，

又在中，，

即，

又，則，

又，則；

由得，

由余弦定理得，即，當且僅當時，等號成立，

故，

，

面積的最大值為．

【解析】利用兩角和差的三角函數(shù)可得，再利用正弦定理進行邊化角，即可得出答案；

由余弦定理和基本不等式求出的范圍，結合面積公式，即可得出答案．

本題考查解三角形，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：

，

又，，解得，

所以．

由題意可得，

設

，

，當時，恒成立，

即恒成立，即恒成立，

在區(qū)間上單調遞減，

因為，

所以，

，，，，

當時，，則不存在，

當時，，則不存在，

所以不存在，對于任意的，，當時，恒成立．

【解析】利用二倍角公式以及輔助角公式可得，再由即可求解．

由三角函數(shù)的平移變換可得，設，將不等式化為在區(qū)間上單調遞減，只需即可．

本題考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調性，解題的關鍵是結合不等式將問題轉化為在區(qū)間是單調遞減函數(shù)，考查了計算能力、分析能力以及轉化能力．

21.【答案】解：由題意作出圖形，如圖所示：

在中，由正弦定理得，

則，

，；

，，

，

在中，由余弦定理得

，

，

，

當，即時，取得最大值，

，

，

即當時，噴泉與山莊之間的距離最大．

【解析】在中，利用正弦定理，即可得出答案；

在中，利用正弦定理求得，在中，由余弦定理得，化簡后利用正弦函數(shù)的性質，即可得出答案．

本題考查解三角形，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

22.【答案】解：因為，定義域為，

所以當，即時，