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文檔簡介
第第頁2022-2023學年福建省泉州市重點中學高一(下)期中聯(lián)考數(shù)學試卷(含解析)2022-2023學年福建省泉州市重點中學高一(下)期中聯(lián)考數(shù)學試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)
1.若角的終邊經(jīng)過點,則的值為()
A.B.C.D.
2.下列結論正確的是()
A.B.
C.D.
3.已知,則()
A.B.C.D.
4.函數(shù)的圖象如圖所示,圖中陰影部分的面積為,則()
A.
B.
C.
D.
5.中,,,則為()
A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形
6.如圖,某同學運用數(shù)學知識測算東西塔塔尖,的距離,該同學選擇地面上一點為觀測點,測得西塔的塔尖仰角為,東塔的塔尖仰角,且,,,則塔尖、的距離為()
A.B.C.D.
7.不等式,對于任意恒成立,則實數(shù)的最大值是()
A.B.C.D.
8.如圖,在中,,,與交于,設,,,則為()
A.
B.
C.
D.
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)
9.設復數(shù),,下列說法正確的是()
A.B.的虛部是C.是純虛數(shù)D.
10.已知向量,,則()
A.與夾角為B.
C.在上的投影向量是D.在上的投影向量是
11.下列命題中正確的是()
A.中,若,則
B.銳角中,不等式恒成立
C.中,若,則是等腰直角三角形
D.中,,則是等腰三角形
12.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列結論正確的是()
A.是函數(shù)的一條對稱軸
B.
C.在上有個實數(shù)解
D.若,則函數(shù)在上單調遞增
三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.復數(shù)為純虛數(shù),則實數(shù)的值是______.
14.函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,則實數(shù)的取值范圍是______.
15.如圖是梁思成研究廣濟寺三大士殿的手稿,它是該建筑中垂直于房梁的截面,其中是房梁與該截面的交點,,分別是兩房檐與該截面的交點,該建筑關于房梁所在鉛垂面垂直于水平面的面對稱,,均視作線段,記,,是的四等分點,,,是的四等分點,記,為測量單位,測得,的長度為______用含的式子表示
16.設點在單位圓的內接正六邊形的邊上,點為六邊形上不同于的任意一點若數(shù)量積的結果構成集合,則集合的元素最少有______個;的取值范圍是______.
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.本小題分
求解:
化簡:;
畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.
18.本小題分
已知平行四邊形中,,,,點是線段的中點.
求的值;
若,且,求的值.
19.本小題分
的內角,,的對邊分別為,,,且.
求;
若,求面積的最大值.
20.本小題分
已知函數(shù)的最小正周期為.
求函數(shù)的解析式;
將圖象上所有的點橫坐標不變,縱坐標縮短為原來的倍,再將圖象向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,是否存在?對于任意的,,當時,恒成立,若存在,求的取值范圍.
21.本小題分
在酷暑來臨之前,安溪某公司計劃在該集團一處院子修建避暑山莊,以作為合作伙伴“四大集團”的集中研討地院子門前兩條夾角為即的小路,之間要修建一處弓形花園,弓形花園弦長,弓形花園頂點,且,記.
用表示的長度;
要在點修建噴泉,為獲得更好的觀景視野,如何規(guī)劃花園兩條小路,長度,才能使噴泉與山莊的距離最大?
22.本小題分
已知函數(shù).
求函數(shù)的最小值;
設函數(shù),記最大值為,最小值為,若實數(shù)滿足,如果函數(shù)在定義域內不存在零點,試求實數(shù)的取值范圍.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:終邊過點,
,
.
故選:.
根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可求得,結合誘導公式可求得結果.
本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義,屬于基礎題.
2.【答案】
【解析】解:對于,因為,,所以,故A錯誤;
對于,因為,所以,故B錯誤;
對于,因為,,
又,所以,故C錯誤;
對于,因為,,
又,所以,即,故D正確.
故選:.
利用三角函數(shù)的性質,結合誘導公式,對選項逐一分析判斷即可.
本題考查了三角函數(shù)線的應用,考查了學生的運算轉化能力,屬于基礎題
3.【答案】
【解析】
【分析】
本題考查的知識要點是三角恒等變換,同角三角函數(shù)關系式,主要考查學生的運算能力和轉化能力,
直接利用同角三角函數(shù)關系式求出,,再由,運用兩角和的余弦函數(shù)公式求出結果.
【解答】
解:已知:,
所以:,故:,
,所以:,
則:
故選D.
4.【答案】
【解析】解:如圖所示,區(qū)域和區(qū)域面積相等,
故陰影部分的面積即為矩形的面積,根據(jù)圖形可得,
設函數(shù)的最小正周期為,則,
由題意可得:矩形的面積為,解得,
故,可得,即,
可知的圖象過點,即.
,則,
,解得.
故選:.
根據(jù)正切型函數(shù)的對稱性分析可得,進而可求得,再代入點,運算求解即可.
本題主要考查正切函數(shù)的圖像和性質,用割補法求圖形的面積,屬于中檔題.
5.【答案】
【解析】解:因為為方向上的單位向量,為方向上的單位向量,
則在的平分線上,
又,
的角平分線垂直于,根據(jù)等腰三角形三線合一定理得到為等腰三角形,且,
又,則,則,
又,所以,
所以,可得,所以是等腰直角三角形.
故選:.
根據(jù)已知條件可知角的角平分線與垂直,可得,再由向量夾角公式得,得,求出、,即可得的形狀.
本題主要考查三角形的形狀判斷,屬于中檔題.
6.【答案】
【解析】解:由題得在中,,
,
在中,,
,
則在中,由余弦定理得
,
.
故選:.
由題意得,,利用余弦定理,即可得出答案.
本題考查解三角形,考查轉化思想,考查邏輯推理能力和運算能力,屬于中檔題.
7.【答案】
【解析】解:因為對于,任意恒成立,
而,所以對于恒成立,
設,,
則不等式即為在恒成立,
即在恒成立.
而在上單調遞減,所以當時,有最小值,
,即實數(shù)的最大值是.
故選:.
由任意可知,從而原問題等價于對于恒成立,利用換元法令,不等式可整理為在恒成立,得,利用分離常數(shù)法結合對勾函數(shù)的單調性即可求解.
本題主要考查函數(shù)恒成立問題,三角函數(shù)的最值,考查運算求解能力,屬于中檔題.
8.【答案】
【解析】解:,
,
同理向量還可以表示為,
根據(jù)平面向量基本定理可知向量用不共線的兩個向量線性表示是唯一的
則對應系數(shù)相等可得解得,所以,
故選A.
根據(jù),,利用、、三點共線和、、三點共線分別表示出向量,根據(jù)平面向量基本定理可求出、的值.
本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義,同時考查了分析問題的能力和計算能力,屬于基礎題.
9.【答案】
【解析】解:對于,復數(shù)不能比較大小,錯;
對于,的虛部是,對;
對于,不是純虛數(shù),錯;
對于,,對.
故選:.
對于,復數(shù)不能比較大小,可判斷;對于,根據(jù)復數(shù)的虛部的定義可判斷;對于,根據(jù)純虛數(shù)的定義可判斷;對于,計算即可判斷.
本題主要考查復數(shù)的四則運算,考查轉化能力,屬于基礎題.
10.【答案】
【解析】解:已知向量,,
則,,
對于選項A,因為,,
令與夾角為,
所以,
又,
所以與夾角不為,
故選項A錯誤;
對于選項B,
由平面向量數(shù)量積的坐標運算可得,
所以,
故選項B正確;
對于選項C,因為,,
所以在上的投影向量是,
故選項C正確;
對于選項D,,,
所以在上的投影向量是,
故選項D錯誤.
故選:.
根據(jù)向量的坐標運算求出,,即可計算夾角判斷項;計算即可判斷項;根據(jù)投影向量的公式,求出投影向量,即可判斷、項.
本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,重點考查了向量夾角的運算及投影向量的運算,屬中檔題.
11.【答案】
【解析】解:對于:,,由正弦定理可得,A正確;
對于:在銳角中,,,,
則,
,B正確;
對于:在中,若,
由正弦定理可得,,
又,,,或,
則或,故是等腰三角形或直角三角形,C錯誤;
對于:,,
即,
,即,,故是直角三角形,
顯然,并不能確定是否為等腰三角形,D錯誤.
故選:.
A.利用大角對大邊以及正弦定理邊化角來判斷;利用以及余弦函數(shù)的性質來判斷;先利用正弦定理邊化角,然后利用倍角公式變形得,關系,進而可得三角形的形狀;利用平面向量數(shù)量積的運算法則得到,從而得以判斷.
本題考查解三角形問題,向量數(shù)量積的運算,屬中檔題.
12.【答案】
【解析】解:由圖可知,最小正周期,
所以,
對于,因為,所以,
所以,即,
又,所以,此時,B錯誤;
對于,令,則,,
當時,,A正確;
對于,因為,,
所以在上有個實數(shù)解,
又的最小正周期,
所以在上有個實數(shù)解,
又,,
所以在上有個實數(shù)解,
故在上有個實數(shù)解,C正確;
對于,,所以,
當時,,
又,即,所以
所以,
令,則,所以,
而在此區(qū)間不單調,所以函數(shù)在上不單調,D錯誤.
故選:.
由圖象可知周期,從而求得,可判斷;由求得,令求解可判斷;利用余弦函數(shù)的性質結合周期可判斷;由復合函數(shù)的單調性可判斷.
本題綜合考查了正弦函數(shù)性質的應用,屬于中檔題.
13.【答案】
【解析】解:因為復數(shù)為純虛數(shù),
所以,解得.
故答案為:.
根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解.
本題主要考查純虛數(shù)的定義,屬于基礎題.
14.【答案】
【解析】解:因為,,所以,
因為函數(shù)在區(qū)間上存在最小值,
所以,解得,
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為:.
由,,求出,再根據(jù)題意可得,從而可得答案.
本題主要考查三角函數(shù)的最值,屬于基礎題.
15.【答案】
【解析】解:根據(jù)題意作出示意圖,如圖所示,
由題意,,,
在中,,
即,
,
又,
解得,
,
在中,,
.
故答案為:.
根據(jù)題意作出示意圖,在中,利用余弦定理求得,,在中利用余弦定理即可求解.
本題考查了余弦定理在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.
16.【答案】
【解析】解:由正六邊形的對稱性知:當點在,在時,數(shù)量積的結果個數(shù)最少,
即,,,
所以集合的元素最少有個.
如圖所示,以圓心為原點,所在直線為軸,建立平面直角坐標系,
則,,,,,,
所以直線的斜率,即直線的方程為,
設,則,
,,
,,
,
所以,
因為在上,則,
則,
又,則,
所以的取值范圍是,
故答案為:;.
根據(jù)正六邊形的對稱性得到數(shù)量積的最少結果個數(shù),再以圓心為原點,所在直線為軸,建立平面直角坐標系,得到各點的坐標,從而得到直線的方程,設,得到,結合條件得到的取值范圍,即可求解.
本題考查向量數(shù)量積的基本運算,向量數(shù)量積的最值的求解,函數(shù)思想,屬中檔題.
17.【答案】解:
;
計算填表:
描點,連線,可得圖象如下:
【解析】按照基本誘導公式結合奇變偶不變,符號看象限法則化簡即可;
分別計算五點坐標,利用五點法即可畫出圖形.
本題主要考查了運用誘導公式化簡求值和五點法作函數(shù)的圖象,屬于基礎題.
18.【答案】解法:
以點為坐標原點,所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系,
則,
,
;
,
,,
.
法:
;
,所以,
因為,,,所以,
而,
所以與重合,
所以.
【解析】本題考查向量的數(shù)量積、實數(shù)值的求法,考查向量數(shù)量積公式、向量平行、向量垂直的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.
法一:以點為坐標原點,所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系,利用向量法能求出結果.
,由,能求出結果.
法:利用向量數(shù)量積公式直接求解;
,從而,而,但,與重合,由此能求出結果.
19.【答案】解:,
,
由正弦定理得,
又在中,,
即,
又,則,
又,則;
由得,
由余弦定理得,即,當且僅當時,等號成立,
故,
,
面積的最大值為.
【解析】利用兩角和差的三角函數(shù)可得,再利用正弦定理進行邊化角,即可得出答案;
由余弦定理和基本不等式求出的范圍,結合面積公式,即可得出答案.
本題考查解三角形,考查轉化思想,考查邏輯推理能力和運算能力,屬于中檔題.
20.【答案】解:
,
又,,解得,
所以.
由題意可得,
設
,
,當時,恒成立,
即恒成立,即恒成立,
在區(qū)間上單調遞減,
因為,
所以,
,,,,
當時,,則不存在,
當時,,則不存在,
所以不存在,對于任意的,,當時,恒成立.
【解析】利用二倍角公式以及輔助角公式可得,再由即可求解.
由三角函數(shù)的平移變換可得,設,將不等式化為在區(qū)間上單調遞減,只需即可.
本題考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的平移變換,三角函數(shù)的單調性,解題的關鍵是結合不等式將問題轉化為在區(qū)間是單調遞減函數(shù),考查了計算能力、分析能力以及轉化能力.
21.【答案】解:由題意作出圖形,如圖所示:
在中,由正弦定理得,
則,
,;
,,
,
在中,由余弦定理得
,
,
,
當,即時,取得最大值,
,
,
即當時,噴泉與山莊之間的距離最大.
【解析】在中,利用正弦定理,即可得出答案;
在中,利用正弦定理求得,在中,由余弦定理得,化簡后利用正弦函數(shù)的性質,即可得出答案.
本題考查解三角形,考查轉化思想,考查邏輯推理能力和運算能力,屬于中檔題.
22.【答案】解:因為,定義域為,
所以當,即時,
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