人教A版數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課件2-1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.會(huì)用不等式組表示不等關(guān)系.(數(shù)學(xué)建模)2.能夠用作差法比較兩個(gè)數(shù)或式的大小.(邏輯推理)3.掌握等式的性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)4.理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)5.會(huì)用不等式的性質(zhì)證明不等式或解決范圍問(wèn)題.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]某次化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上,同學(xué)們做了一個(gè)鹽水加熱的實(shí)驗(yàn):已知b克鹽水中含有a(b>a>0)克鹽,若給鹽水加熱,蒸發(fā)了m(0<m<b-a)克水后鹽水更咸了,你知道為什么鹽水變咸了嗎?你能用一個(gè)不等式表示嗎?通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們就能夠用數(shù)學(xué)知識(shí)解決上述問(wèn)題.[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn)一:不等式與不等關(guān)系1.不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn).(1)不等符號(hào)>,<,≥,≤或≠.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.2.不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換.文字語(yǔ)言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號(hào)語(yǔ)言>

≥<

≤≤≥≥≤微思考不等式“a≥b”有幾層含義,如何理解?提示

不等式“a≥b”有兩層含義,一是a>b,二是a=b,兩者中有一個(gè)成立,則不等式就是成立的,如“3≥3”“3≥2”均是正確的.微練習(xí)(2021山東濰坊高一期中)鐵路總公司關(guān)于乘車(chē)行李規(guī)定如下:乘坐動(dòng)車(chē)組列車(chē)攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm,設(shè)攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c(單位:cm),這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為(

)A.a+b+c>130

B.a+b+c<130C.a+b+c≥130 D.a+b+c≤130答案

D知識(shí)點(diǎn)二:實(shí)數(shù)的大小比較比較實(shí)數(shù)a,b的大小的依據(jù)微思考如果給定實(shí)數(shù)a與b,那么如何比較它們的大小呢?提示

通常是通過(guò)判斷它們的差(a-b)的符號(hào)來(lái)比較它們的大小.當(dāng)a與b同號(hào)且都不為0時(shí),也可通過(guò)它們的商與1的大小關(guān)系來(lái)比較它們的大小.名師點(diǎn)析

比較實(shí)數(shù)(式)大小的方法

作差法作商法依據(jù)a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=ba>0,b>0且>1?a>b;a>0,b>0且<1?a<b;a>0,b>0且=1?a=b應(yīng)用范圍數(shù)(式)的大小不明顯,作差后可化為積或商的形式同號(hào)兩數(shù)比較大小微練習(xí)若x為實(shí)數(shù),則x2-1與2x-5的大小關(guān)系是

.

答案

x2-1>2x-5解析

∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.知識(shí)點(diǎn)三:重要不等式?a,b∈R,a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.微思考重要不等式?a,b∈R,a2+b2≥2ab的證明用了實(shí)數(shù)的什么性質(zhì)?提示

由于a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,因此不等式的證明利用了“任意實(shí)數(shù)的平方不小于0”的性質(zhì),這是作知識(shí)點(diǎn)四:不等式的性質(zhì)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的比較等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a=b?b=aa>b?b<aa=b,b=c?a=ca>b,b>c?a>ca=b?a+c=b+ca>b?a+c>b+ca=b?ac=bca>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bca=b,c=d?a+c=b+da>b,c>d?a+c>b+da=b,c=d?ac=bda>b>0,c>d>0?ac>bda=b≥0?an=bna>b>0?an>bn(n∈N,n≥2)名師點(diǎn)析

對(duì)不等式性質(zhì)的理解(1)性質(zhì)1和性質(zhì)2,分別稱(chēng)為“對(duì)稱(chēng)性”與“傳遞性”,在它們的證明中,要用到比較大小的“定義”等知識(shí).(2)性質(zhì)3(即可加性)是移項(xiàng)法則“不等式中任何一項(xiàng)的符號(hào)變成相反的符號(hào)后,可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù).(3)性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號(hào)”.(4)性質(zhì)5(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等號(hào)方向不變,不能相減”.(5)性質(zhì)6和性質(zhì)7(即同向同正可乘性,可乘方性),即均為正數(shù)的同向不等式相乘,得同向不等式,并無(wú)相除式.(6)性質(zhì)1和性質(zhì)3是雙向推導(dǎo),其他是單向推導(dǎo).微思考“a>b>0?an>bn>0(n∈N,n>1)”成立的條件是什么?b>0的條件能去掉嗎?提示

成立的條件是“n為大于1的自然數(shù),且a>b>0”.不能,假如去掉“b>0”這個(gè)條件,取a=3,b=-5,n=2,那么就會(huì)出現(xiàn)32>(-5)2的錯(cuò)誤結(jié)論.微練習(xí)若a>b,則下列各式正確的是(

)A.a-2>b--a>2-bC.-2a>-2b D.a2>b2答案

A解析

因?yàn)閍>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正確,B,C錯(cuò)誤;又取a=0,b=-1時(shí),a>b,但a2<b2,D錯(cuò)誤,故選A.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一用不等式(組)表示不等關(guān)系例1用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長(zhǎng)18m,要求菜園的面積不小于110m2,靠墻的一邊長(zhǎng)為xm.試用不等式表示其中的不等關(guān)系.分析表示出矩形菜園的另一邊長(zhǎng),利用面積公式表示面積,要注意x的范圍.反思感悟

利用不等式表示不等關(guān)系時(shí)的注意點(diǎn)(1)必須是具有相同性質(zhì),可以比較大小的兩個(gè)量才可用不等式來(lái)表示,沒(méi)有可比性的兩個(gè)量之間不能用不等式來(lái)表示;(2)在用不等式表示實(shí)際問(wèn)題時(shí),一定要注意單位統(tǒng)一;(3)若待比較的量中涉及特殊的數(shù)集要標(biāo)明.延伸探究

本例中,若矩形的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)12m,對(duì)面積沒(méi)有要求,則x應(yīng)滿(mǎn)足的不等關(guān)系是什么?解

因?yàn)榫匦蔚牧硪贿?5-≤12,所以x≥6.又因?yàn)?<x≤18,且x≤12,所以6≤x≤12.變式訓(xùn)練1(1)某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線,專(zhuān)業(yè)成績(jī)x不低于95分,文化課總分y高于380分,體育成績(jī)z超過(guò)45分,用不等式組表示就是(

)(2)一輛汽車(chē)原來(lái)每天行駛xkm,如果該汽車(chē)每天行駛的路程比原來(lái)多19km,那么在8天內(nèi)它的行程將超過(guò)2200km,用不等式表示為

.

答案

(1)D

(2)8(x+19)>2200解析

(1)由題意,得x不低于95,即x≥95;y高于380,即y>380;z超過(guò)45,即z>45.故選D.(2)因?yàn)樵撈?chē)每天行駛的路程比原來(lái)多19

km,所以汽車(chē)每天行駛的路程為(x+19)km,則在8天內(nèi)它的行程為8(x+19)km,因此,不等關(guān)系“在8天內(nèi)它的行程將超過(guò)2

200

km”可以用不等式8(x+19)>2

200來(lái)表示.探究二實(shí)數(shù)大小的比較例2已知a,b∈R,比較a4+b4與a3b+ab3的大小.要點(diǎn)筆記

用作差法比較實(shí)數(shù)大小的步驟作差法是比較兩個(gè)代數(shù)式大小的基本方法,一般步驟是:(1)作差;(2)變形.變形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定號(hào),即確定差的符號(hào);(4)下結(jié)論,寫(xiě)出兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系.探究三不等式性質(zhì)的應(yīng)用1.應(yīng)用不等式性質(zhì)判斷命題真假例3對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,判斷下列結(jié)論是否正確:(1)若a>b,則ac2>bc2;(2)若a<b<0,則a2>ab>b2;反思感悟

1.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí),通常有兩種方法:一是直接利用不等式的性質(zhì),進(jìn)行推理,看根據(jù)條件能否推出相應(yīng)的不等式;二是采用取特殊值的方法,判斷所給的不等式是否成立,尤其是在選擇題中經(jīng)常采用這種辦法.變式訓(xùn)練3(1)(2021陜西咸陽(yáng)高二期末)若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a<b<0,則下列不等式中不成立的是(

)(2)(多選題)(2021浙江臺(tái)州高一期末)下列命題正確的是(

)A.若a>b,c>d,則a+c>b+dB.若a>b,c>d,則ac>bdC.若a>b,則c∈R,a+c>b+cD.若a>b,則?c∈R,a>c,c>b答案

(1)B

(2)ACD2.應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式

∵a>b>0,c<d<0,∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.反思感悟

1.簡(jiǎn)單不等式的證明可直接由已知條件,利用不等式的性質(zhì),通過(guò)對(duì)不等式變形得證.2.對(duì)于不等式兩邊都比較復(fù)雜的式子,直接利用不等式的性質(zhì)不易證得,可考慮將不等式兩邊作差,然后進(jìn)行變形,根據(jù)條件確定每一個(gè)因式的符號(hào),利用符號(hào)法則判斷最終的符號(hào),完成證明.3.利用不等式性質(zhì)求取值范圍例5已知1<a<4,2<b<8,試求2a+3b,-b與a-b的取值范圍.解

∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24.∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又∵1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范圍是{2a+3b|8<2a+3b<32},b的取值范圍為{-b|-8<-b<-2},a-b

的取值范圍是{a-b|-7<a-b<2}.要點(diǎn)筆記

利用不等式的性質(zhì)可以解決取值范圍問(wèn)題,當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個(gè)變量求取值范圍時(shí),要注意兩個(gè)變量是相互制約的,不能分割開(kāi)來(lái),應(yīng)建立待求整體與已知變量之間的關(guān)系,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)求出取值范圍.

素養(yǎng)形成利用不等式求取值范圍的常用方法典例

已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍.【規(guī)范答題】解

(方法1)待定系數(shù)法設(shè)4a-2b=m(a-b)+n(a+b),則4a-2b=(m+n)a+(-m+n)b,所以4a-2b=3(a-b)+(a+b).因?yàn)?≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.又2≤a+b≤4,所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10.即{4a-2b|5≤4a-2b≤10}.(方法2)換元法所以4a-2b=2(m+n)-(n-m)=3m+n,而1≤m=a-b≤2,2≤n=a+b≤4,所以{4a-2b|5≤4a-2b≤10}.方法點(diǎn)睛

求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)的應(yīng)用的一個(gè)重要內(nèi)容.解題時(shí)應(yīng)將條件式視為一個(gè)整體,并用其表示所求范圍的量,同時(shí)注意取等號(hào)的條件是否具備.切記不可利用不等式的性質(zhì)分別求出變量自身的范圍,再去求由此構(gòu)成的代數(shù)式的取值范圍,這往往會(huì)擴(kuò)大代數(shù)式的范圍.

當(dāng)堂檢測(cè)1.(2020湖北天門(mén)高一期中)下列說(shuō)法正確的是(

)A.若

>1,則a>bB.一個(gè)不等式的兩邊加上或乘以同一個(gè)實(shí)數(shù),不等號(hào)方向不變C.一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越大D.a>b>0,c>d>0?答案

D解析

對(duì)于選項(xiàng)A,只有b>0時(shí)正確;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)兩邊同時(shí)乘的數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)方向發(fā)生變化;對(duì)于選項(xiàng)C,一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越小;對(duì)于選項(xiàng)D,由c>d>0得

>0,因?yàn)閍>b>0,所以

,即D選項(xiàng)正確.故選D.2.(2021安徽池州高一期末)已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,則(

)A.P>Q

B.P<QC.P≥Q D.P≤Q答案

C解析

因?yàn)镻-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)