新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識歸類與題型專題講解訓(xùn)練-專題7.4-數(shù)列求和

新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識歸類與題型專題講解訓(xùn)練專題7.4數(shù)列求和【考綱要求】1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.【知識清單】知識點(diǎn)1．?dāng)?shù)列求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3.數(shù)列前項(xiàng)和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：公式法、分組轉(zhuǎn)化法求和【典例1】（2020屆山東省濟(jì)寧市第一中學(xué)高三二輪檢測）已知數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【典例2】（2019·湖南師大附中高考模擬（文））已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【總結(jié)提升】1．公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．3．分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.4．倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5．并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，.【變式探究】1.（2019·天津高考真題（理））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.2.（2019·北京高考模擬（文））已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（Ⅰ）求，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)二：錯(cuò)位相減法求和【典例3】（2020·全國高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【典例4】（2019·天津高考真題（文））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.【規(guī)律方法】1.錯(cuò)位相減法求和的策略(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．2．錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0等比數(shù)列，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩式錯(cuò)位相減并整理即得.【變式探究】1.（2020屆山東省六地市部分學(xué)校高三3月線考）數(shù)列滿足：（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.2.（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝1，且.（Ⅰ）證明：數(shù)列{an+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝log2（an+2）﹣log23，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消法求和【典例5】（2020屆山東省濰坊市高三下學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．（1）在下列條件中選擇一個(gè)________使數(shù)列是等比數(shù)列，說明理由；①數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【典例6】（2020·山東滕州市第一中學(xué)高三3月模擬）已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：.【典例7】（2019·浙江高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記證明：【總結(jié)提升】1.裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．2.常見“裂項(xiàng)”方法：【變式探究】1.（2018·天津高考真題（理））（2018年天津卷理）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{b（I）求{an}（II）設(shè)數(shù)列{Sn}的前n（i）求Tn（ii）證明k=1n2.（2019·天津南開中學(xué)高考模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【總結(jié)提升】1．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前SKIPIF1<0項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法.適用于類似SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，SKIPIF1<0為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，2.需