新教材人教A版3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)課件（54張）

3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一一次函數(shù)模型【典例1】某校高一(8)班共有學(xué)生50人,據(jù)統(tǒng)計(jì)原來(lái)每人每年用于購(gòu)買飲料的平均支出是a元.經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查,若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水,則年總費(fèi)用由兩部分組成,一部分是購(gòu)買純凈水的費(fèi)用,另一部分是其他費(fèi)用780元,其中純凈水的銷售價(jià)x(元/桶)與年購(gòu)買總量y(桶)之間滿足如圖所示的關(guān)系.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系.(2)若該班每年需要純凈水380桶,且a=120時(shí),請(qǐng)你根據(jù)提供的信息分析一下:該班學(xué)生集體改飲純凈水與個(gè)人買飲料相比,哪一種更省錢?【思維導(dǎo)引】本題呈現(xiàn)的圖象是一條直線,實(shí)質(zhì)是考查數(shù)形結(jié)合思想、信息處理能力、待定系數(shù)法,解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì).【解析】(1)由題意可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,把(4,400),(5,320)代入得解得所以y=-80x+720.(2)當(dāng)a=120時(shí),若購(gòu)買飲料,則總費(fèi)用為120×50=6000(元);若集體改用桶裝純凈水,設(shè)所用的費(fèi)用為ω元,由380=-80x+720,得x=4.25.所以ω=380×4.25+780=2395(元)<6000(元).所以該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水更省錢.【類題通法】一次函數(shù)模型的特點(diǎn)和求解方法(1)一次函數(shù)模型的突出特點(diǎn)是其圖象是一條直線.(2)解一次函數(shù)模型時(shí),注意待定系數(shù)法的應(yīng)用,主要步驟是:設(shè)元、列式、求解.提醒:解一次函數(shù)模型題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確讀懂題意,從中提煉出一次函數(shù)模型以及一些關(guān)鍵點(diǎn),并用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式.【定向訓(xùn)練】某電腦公司在甲、乙兩地各有一個(gè)分公司,甲分公司現(xiàn)有電腦6臺(tái),乙分公司有同一型號(hào)的電腦12臺(tái).現(xiàn)A地某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)的電腦10臺(tái),B地某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)的電腦8臺(tái).已知甲地運(yùn)往A,B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是40元和30元,乙地運(yùn)往A,B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是80元和50元.(1)設(shè)甲地調(diào)運(yùn)x臺(tái)至B地,該公司運(yùn)往A和B兩地的總運(yùn)費(fèi)為y元,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.(2)若總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)1000元,問(wèn)能有幾種調(diào)運(yùn)方案?【解析】(1)設(shè)甲地調(diào)運(yùn)x臺(tái)到B地,則剩下(6-x)臺(tái)電腦調(diào)運(yùn)到A地;乙地應(yīng)調(diào)運(yùn)(8-x)臺(tái)電腦至B地,調(diào)運(yùn)[10－(6－x)]=(x+4)臺(tái)電腦至A地(0≤x≤6,x∈N),則總運(yùn)費(fèi)y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,所以y=20x+960(x∈N,且0≤x≤6).(2)若使y≤1000,即20x+960≤1000,得x≤2.又0≤x≤6,x∈N,所以0≤x≤2,x∈N.所以x=0,1,2,即能有3種調(diào)運(yùn)方案.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.一段導(dǎo)線,在0℃時(shí)的電阻為2Ω,溫度每增加1℃,電阻增加0.008Ω,那么電阻R(Ω)表示為溫度t(℃)的函數(shù)關(guān)系式為 ()【解析】選B.由題意知電阻R與溫度t構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系,即R=2+0.008t.2.某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次,存車費(fèi)為:電動(dòng)自行車0.3元/輛,普通自行車0.2元/輛.若該天普通自行車存放x輛次,存車費(fèi)總收入為y元,則y與x的函數(shù)解析式為 ()A.y=0.2x(0≤x≤4000) B.y=0.5x(0≤x≤4000)C.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000) D.y=0.1x+1200(0≤x≤4000)【解析】選C.由題意知,普通自行車存放x輛次時(shí),電動(dòng)自行車存放(4000-x)輛次,則y=(4000-x)×0.3+0.2x=-0.1x+1200,0≤x≤4000.探究點(diǎn)二二次函數(shù)模型【典例2】A,B兩城相距100km,在兩地之間距A城xkm處的D地建一核電站給A,B兩城供電,為保證城市安全,核電站距城市距離不得少于10km,已知每個(gè)城市的供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月,B城為10億度/月.(1)把A,B兩城月供電總費(fèi)用y(萬(wàn)元)表示成x(km)的函數(shù),并求定義域.(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn),才能使供電總費(fèi)用最小.【思維導(dǎo)引】(1)分別求出A、B兩城月供電費(fèi)用,進(jìn)而可求出兩地的月供電總費(fèi)用.(2)建立二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)求最值的方法求解.【解析】(1)由題意,設(shè)A城的月供電費(fèi)用為y1,則y1=λ×20x2.設(shè)B城的月供電費(fèi)用為y2,則y2=λ×10×(100-x)2,所以A、B兩城月供電總費(fèi)用y=λ×20x2+λ×10×(100-x)2.因?yàn)棣?0.25,所以y=x2-500x+25000,定義域?yàn)閇10,90].(2)由y=-500x+25000=,則當(dāng)x=時(shí),y最小.故當(dāng)核電站建在距A城km處時(shí),才能使供電總費(fèi)用最小.【類題通法】二次函數(shù)模型是實(shí)際應(yīng)用題中常見(jiàn)的類型,也是高考考查的重點(diǎn)題型.在解決實(shí)際問(wèn)題中的最大、最小值問(wèn)題時(shí),可利用配方法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.【知識(shí)延拓】解決二次函數(shù)模型應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)審題:理解題意,設(shè)定變量x,y.(2)建模:建立二次函數(shù)關(guān)系,并注明定義域.(3)解模:運(yùn)用二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)求解.(4)結(jié)論:回歸到應(yīng)用問(wèn)題中去,給出答案.【定向訓(xùn)練】1.某沙漠地區(qū)的某時(shí)段氣溫與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是f(t)=-t2+24t-101,則該沙漠地區(qū)在該時(shí)段的最大溫差是 ()【解析】選C.f(t)=-t2+24t-101,對(duì)稱軸為t=12,所以f(t)在[4,12]遞增,在(12,18]遞減;所以f(t)max=f(12)=43,f(t)max=f(4)=-21,所以在該時(shí)段的最大溫差是43-(-21)=64.2.某類產(chǎn)品按工藝共分10個(gè)檔次,最低檔次產(chǎn)品每件利潤(rùn)為8元.每提高一個(gè)檔次,每件利潤(rùn)增加2元.用同樣工時(shí),可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件,每提高一個(gè)檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品,則每天獲得利潤(rùn)最大時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是 ()【解析】選C.由題意知,當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時(shí),每天可獲利潤(rùn)y=[8+2][60-3(k-1)]=-6k2+108k+378,配方可得y=-6+864,所以當(dāng)k=9時(shí),獲得利潤(rùn)最大.3.某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天房租、工作人員工資等固定成本為200元,每桶水進(jìn)價(jià)為5元,銷售單價(jià)與日銷售量的關(guān)系如表:銷售單價(jià)(元)6789101112日銷售量(桶)480440400360320280240請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?【解題指南】解答本題可先分析表格,從中找到單價(jià)每增加1元,日銷量就減少40桶,然后設(shè)出有關(guān)未知量,建立函數(shù)模型,進(jìn)而解決問(wèn)題.【解析】設(shè)每桶水在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上上漲x元,利潤(rùn)為y元,由題干表格中的數(shù)據(jù)可以得到,價(jià)格每上漲1元,日銷售量就減少40桶,所以漲價(jià)x元后,日銷售的桶數(shù)為480-40(x-1)=520-40x>0,所以0<x<13,則利潤(rùn)y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200=-40+1490,其中0<x<13.所以當(dāng)x=6.5時(shí),利潤(rùn)最大,即當(dāng)每桶水的價(jià)格為11.5元時(shí),最大利潤(rùn)是1490元.探究點(diǎn)三冪函數(shù)模型【典例3】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元.(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x(萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式.(2)該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金,全部用于理財(cái)投資,問(wèn):怎么分配資金能使投資獲得最大收益,最大收益是多少萬(wàn)元?【思維導(dǎo)引】(1)分別設(shè)出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題中條件求解.(2)建立收益與投資穩(wěn)健型產(chǎn)品金額的函數(shù)關(guān)系式求解.【解析】(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額x(萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式分別為f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2(x≥0),結(jié)合已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品a萬(wàn)元,則投資風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品(20-a)萬(wàn)元,依題意得獲得收益y=f(a)+g(20-a)=(0≤a≤20),令t=(0≤t≤2),則a=20-t2,所以y=所以當(dāng)t=2,即a=16時(shí),y取得最大值,ymax=3.故當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬(wàn)元,投資風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品4萬(wàn)元時(shí),可使投資獲得最大收益,最大收益是3萬(wàn)元.【類題通法】?jī)绾瘮?shù)模型應(yīng)用的求解策略(1)給出含參數(shù)的函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求出參數(shù),明確函數(shù)解析式.(2)根據(jù)題意,直接列出相應(yīng)的函數(shù)解析式.探究點(diǎn)四分段函數(shù)模型【典例4】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知總收入滿足函數(shù):R(x)=其中x是儀器的月產(chǎn)量.(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x).(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?【思維導(dǎo)引】利潤(rùn)=總收入-總成本.由于R(x)是分段函數(shù),所以f(x)也要分段求出,分別求出f(x)在各段中的最大值,通過(guò)比較,就能確定f(x)的最大值.【解析】(1)由月產(chǎn)量為x臺(tái),得總成本為20000+100x,所以f(x)=(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí),f(x)=-x2+300x-20000=-(x-300)2+25000,所以當(dāng)x=300時(shí),f(x)max=25000,當(dāng)x>400時(shí),f(x)=60000-100x,所以f(x)<f(400)=20000.綜上可知當(dāng)每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí),利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為25000元.【類題通法】分段函數(shù)主要是每一段自變量所遵循的變化規(guī)律不同,可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題,將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái),再將其合到一起,要注意各段變量的范圍,特別是端點(diǎn)值.【定向訓(xùn)練】某群體的人均通勤時(shí)間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)S中x%(0<x<100)的成員自駕時(shí),自駕群體的人均通勤時(shí)間為f(x)=(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時(shí)間不受x影響,恒為40分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問(wèn)題:(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間?(2)求該地上班族S的人均通勤時(shí)間g(x)的表達(dá)式;討論g(x)的單調(diào)性,并說(shuō)明其實(shí)際意義.【解析】(1)由題意知,當(dāng)30<x<100時(shí),f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,所以x∈(45，100)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間.(2)當(dāng)0<x≤30時(shí),g(x)=30·x%+40(1－x%)=40-;當(dāng)30<x<100時(shí),g(x)=

所以g(x)=當(dāng)0<x<32.5時(shí),g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)32.5<x<100時(shí),g(x)單調(diào)遞增;說(shuō)明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時(shí),人均通勤時(shí)間是遞減的;有大于32.5%的人自駕時(shí),人均通勤時(shí)間是遞增的;當(dāng)自駕人數(shù)為32.5%時(shí),人均通勤時(shí)間最少.【補(bǔ)償訓(xùn)練】通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間,講座開(kāi)始時(shí),學(xué)生的興趣激增,中間一段不太長(zhǎng)的時(shí)間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散.分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明:用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大,表示接受能力越強(qiáng)),x表示提出和講授概念的時(shí)間(單位:min),可有以下的公式:f(x)=(1)開(kāi)講后多少分鐘,學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?能維持多長(zhǎng)時(shí)間?(2)一道數(shù)學(xué)難題,需要55的接受能力以及13min的時(shí)間,教師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題?(3)如果每隔5min測(cè)量一次學(xué)生的接受能力,再計(jì)算平均值M=它能高于45嗎?【解析】2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,故此時(shí)f(x)遞增,最大值為f(10)=-0.1×(-3)2+59.9=59;顯然,當(dāng)16<x≤30時(shí),f(x)遞減,f(x)<-3×16+107=59.因此,開(kāi)講后10min,學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力(值為59),并維持6min.(2)當(dāng)0<x≤10時(shí),令f(x)=55,則-0.1×(x-13)2=-4.9,即(x-13)2=49,所以x=20或6,但0<x≤10,故x=6.當(dāng)16<x≤30時(shí),令f(x)=55,則-3x+107=55,所以x=17.因此學(xué)生達(dá)到(或超過(guò))55的接受能力的時(shí)間為17-6=11<13(min),教師來(lái)不及在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題.(3)f(5)=53.5,f(10)=59,f(15)=59,f(20)=47,f(25)=-3×25+107=32,f(30)=-3×30+107=17.所以M=≈44.6<45.故平均值不能高于45.函數(shù)的應(yīng)用核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)在解決具體函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)要有建模意識(shí)求解函數(shù)解析式時(shí)要綜合應(yīng)用圖形、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)建模：通過(guò)具體函數(shù)模型的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)利用圖形求解析式時(shí)注意端點(diǎn)值解決實(shí)際問(wèn)題一定注意定義城，分段函數(shù)分類時(shí)合理，不重不漏函數(shù)模型解析式圖象的形式由圖象寫出解析式一次函數(shù)二次函數(shù)冪函數(shù)課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.某廠日產(chǎn)手套的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(雙)之間的關(guān)系式為y=5x+40000.而手套出廠價(jià)格為每雙10元,要使該廠不虧本,至少日產(chǎn)手套 ()A.2000雙 B.4000雙 C.6000雙 D.8000雙【解析】選D.由5x+40000≤10x,得x≥8000.2.某品牌電動(dòng)車有兩個(gè)連鎖店,其月利潤(rùn)(單位:元)分別為y1=-5x2+900x-16000,y2=300x-2000,其中x為銷售量.若某月兩店共銷售了110輛電動(dòng)車,則最大利潤(rùn)為 ()A.11000元 B.22000元 C.33000元 D.40000元【解析】選C.設(shè)兩個(gè)店分別銷售出x與(110-x)輛電動(dòng)車,則兩店月利潤(rùn)L=-5x2+900x-16000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15000=-5(x-60)2+33000,所以當(dāng)x=60時(shí),兩店的月利潤(rùn)取得最大值,最大值為33000元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為20,底邊y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù),則它的解析式為 ()A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10)【解析】選D.依題意,得2x+y=20,所以y=20-2x.又y>0,所以20-2x>0,所以x<10.又2x>y,所以2x>20-2x,所以x>5,所以5<x<10.3.某公司招聘員工,面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算,計(jì)算公式為y=其中,x代表擬錄用人數(shù),y代表面試人數(shù).若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60,則該公司擬錄用人數(shù)為 ()【解析】選C.令y=60,若4x=60,則x=15>10,不合題意;若2x+10=60,則x=25,滿足題意;若1.5x=60,則x=40<100,不合題意.故擬錄用人數(shù)為25.4.(2020·天津高一檢測(cè))發(fā)展農(nóng)村電商是“鄉(xiāng)村振興計(jì)劃”的重要組成,某農(nóng)村電商結(jié)合自己出售的商品,要購(gòu)買3000個(gè)高為2分米,體積為18立方分米的長(zhǎng)方體紙質(zhì)包裝盒.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研.此類包裝盒按面積計(jì)價(jià),每平方分米的價(jià)格y(單位:元)與訂購(gòu)數(shù)量x(單位:個(gè))之間有如下關(guān)系:y=(說(shuō)明:商家規(guī)定每個(gè)紙盒計(jì)費(fèi)面積為六個(gè)面的面積之和),則該電商購(gòu)入3000個(gè)包裝盒至少需要________元.

【解析】