2018年湖南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷

湖南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（B）卷試題2018.02第Ⅰ卷（共70分）一、填空題（本大題共10小題，每小題7分，滿分70分，將答案填在答題紙上）1.設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．2.如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,那么的最小值為．3.如圖，與分別是單位圓上的定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，則．4.已知二面角為，動(dòng)點(diǎn)，分別在面，內(nèi)，到的距離為，到的距離為，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值為．5.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形分成四個(gè)全等的正三角形，第一次挖去中間的一個(gè)小三角形，將剩下的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去一個(gè)小三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊．設(shè)是第次挖去的小三角形面積之和（如是第次挖去的中間小三角形面積，是第次挖去的三個(gè)小三角形面積之和）.則前次挖去的所有小三角形面積之和的值為．6.若，則的值為．7.如圖放置的邊長(zhǎng)為的正方形沿軸正向滾動(dòng)，即先以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)落在軸上時(shí)，再以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)，當(dāng)正方形的某個(gè)頂點(diǎn)落在軸上時(shí)，則以該頂點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn).設(shè)頂點(diǎn)滾動(dòng)時(shí)的曲線為，則在上的表達(dá)式為．8.四個(gè)半徑都為的球放在水平桌面上，且相鄰的球都相切（球心的連線構(gòu)成正方形）.有一個(gè)正方體,其下底與桌面重合,上底的四個(gè)頂點(diǎn)都分別與四個(gè)球剛好接觸,則該正方體的棱長(zhǎng)為．9.設(shè)，，，則的最小值為．10.設(shè)，函數(shù)（其中表示對(duì)于，當(dāng)時(shí)表達(dá)式的最大值），則的最小值為．第Ⅱ卷（共80分）三、解答題（本大題共4小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）11.如圖，四棱錐中，底面，，，，，為棱上的一點(diǎn)，平面平面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的大小.12.棋盤上標(biāo)有第站，棋子開(kāi)始時(shí)位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第站（勝利大本營(yíng)）或第站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第站的概率為.（1）求的值；（2）證明：；（3）求，的值.13.（1）已知是矩形所在平面上的一點(diǎn)，則有.試證明該命題；（2）將上述命題推廣到為空間上任一點(diǎn)的情形，寫出這個(gè)推廣后的命題并加以證明；（3）將矩形進(jìn)一步推廣到長(zhǎng)方體，并利用（2）得到的命題建立并證明一個(gè)新命題.14.設(shè)曲線所圍成的封閉區(qū)域?yàn)?（1）求區(qū)域的面積；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，求的最大值.試卷答案一、填空題1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二、解答題11.解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線，，分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，.

（1）證明：，，設(shè)平面的法向量為，由，，得到，，故，，取，則，又設(shè)，則，,設(shè)平面的法向量為，由，，得到，，故，，令，則，由平面平面，得到，所以，，，故.（2）解：由（1）知，取的中點(diǎn)，則，，故，，又，故，因此向量與的夾角等于二面角的平面角，于是，所以二面角的大小為.12.解：（1）棋子跳到第站有以下三種途徑：連續(xù)三次擲出正面，其概率為；第一次擲出反面，第二次擲出正面，其概率為；第一次擲出正面，第二次擲出反面，其概率為，因此.（2）易知棋子先跳到第站，再擲出反面，其概率為；棋子先跳到第站，再擲出正面，其概率為，因此有，即，或即.（3）由（2）知數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此有.由此得到.由于若跳到第站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有.13.（1）證明：如圖，設(shè)在直角坐標(biāo)平面中，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn)，則，，故.（2）推廣命題：若棱錐的底面是矩形，則有.證明：如圖，設(shè)棱錐的底面在空間直角坐標(biāo)系的平面上,矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故.（3）再推廣命題：設(shè)是長(zhǎng)方體，是空間上任意一點(diǎn)，則.證明：如圖，由（2）中定理可得和，所以.14.解：（1）由題設(shè)，有，因此.

若，則當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，圖像是兩條直線段；當(dāng)，，，對(duì)應(yīng)于一段二次函數(shù)的圖像；若，則當(dāng)時(shí)，類似于前面的推導(dǎo)得，對(duì)應(yīng)于二次函數(shù)圖像的一段：；當(dāng)，，得到，無(wú)解.綜上所述，區(qū)域的集合為：，由區(qū)域上函數(shù)圖像性質(zhì)，知區(qū)域的面積為.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，為了求的最大值，由區(qū)域的對(duì)稱性，只需考慮直線與在軸右側(cè)圖像相交部分即可.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，易知此時(shí)與相交時(shí)有.①當(dāng)時(shí)，與分別相交于二次函數(shù)以及，兩個(gè)交點(diǎn)分別為，因此，，為關(guān)