人教A版（2023）必修第二冊(cè)8.2立體圖形的直觀圖（含解析）

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一、單選題

1．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇跡之一，其中較為著名的是胡夫金字塔.令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周長(zhǎng)如果除以其高度的兩倍，得到的商為3.14159，這就是圓周率較為精確的近似值，胡夫金字塔底部形為正方形，整個(gè)塔形為正四棱錐，經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后，底座邊長(zhǎng)大約230米.因年久風(fēng)化，胡夫金字塔現(xiàn)高約為136.5米，則與建成時(shí)比較頂端約剝落了（）

A．8米B．10米C．12米D．14米

2．如圖所示，是水平放置的的直觀圖，軸，軸，，，則中，（）

A．B．C．D．

3．上、下底面面積分別為36π和49π，母線長(zhǎng)為5的圓臺(tái)，其兩底面之間的距離為（）

A．4B．3C．2D．2

4．?dāng)€尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式．宋代稱(chēng)為撮尖，清代稱(chēng)為攢尖．依其平面有圓形攢尖，三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，也四有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑．如圖所示．某園林建筑屋頂為六角攢尖，它的主輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐（底面為正六邊形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心）．若正六棱錐的側(cè)棱與高線所成的角為，則其外接球半徑與側(cè)棱長(zhǎng)的比值為（）

A．B．C．D．

5．水平放置的有一邊在水平線上，它的斜二測(cè)直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正，則的面積是（）

A．B．C．D．

6．如圖，若斜邊長(zhǎng)為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）

A．2B．C．D．8

7．已知直角梯形上下兩底分別為分別為2和4，高為，則利用斜二測(cè)畫(huà)法所得其直觀圖的面積為（）

A．B．C．3D．6

8．某幾何體有6個(gè)頂點(diǎn)，則該幾何體不可能是（）

A．五棱錐B．三棱柱C．三棱臺(tái)D．四棱臺(tái)

9．若一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形（如圖），則原圖的周長(zhǎng)為（）

A．B．16C．D．

10．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）

A．2B．C．D．4

11．某圓錐母線長(zhǎng)為2，底面半徑為，則過(guò)該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）

A．2B．C．D．1

12．采用斜二測(cè)畫(huà)法作一個(gè)五邊形的直觀圖，則其直觀圖的面積是原來(lái)五邊形面積的

A．倍B．倍C．倍D．倍

二、填空題

13．如圖所示，四邊形ABCD是一平面圖形的水平放置的斜二測(cè)直觀圖，四邊形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，則這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積是________.

14．如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．

15．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，則的值是_____

16．如圖所示，表示水平放置的用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則△的邊上的高為_(kāi)_______.

三、解答題

17．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別為2cm，2cm，3cm的長(zhǎng)方體的直觀圖．

18．畫(huà)出一個(gè)上下底面邊長(zhǎng)分別為1,2,高為2的正三棱臺(tái)的直觀圖.

19．已知一長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為3cm的正方形，高為4cm，試用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出此長(zhǎng)方體的直觀圖．

20．畫(huà)底面邊長(zhǎng)為2cm，高為3cm的正四棱柱的直觀圖．

21．如圖，是水平放置的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖，，，能否判斷的形狀并求邊的實(shí)際長(zhǎng)度是多少？

試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)

試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)

參考答案：

1．B

由題設(shè)條件求出建成時(shí)的高度，從而得出答案.

【詳解】

，（米）

故選：B

2．B

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法原則，由直觀圖判斷原圖中的長(zhǎng)度，再利用勾股定理計(jì)算.

【詳解】

在直觀圖中，，，

由斜二側(cè)畫(huà)法知，在中，，，且；

所以．

故選：B.

3．D

根據(jù)圓臺(tái)底面半徑，母線，高之間的關(guān)系l2＝h2＋(R－r)2求解.

【詳解】

設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l、高h(yuǎn)和上、下兩底面圓的半徑r，R，

因?yàn)樯?、下底面面積分別為36π和49π，

所以

因?yàn)閘2＝h2＋(R－r)2，

所以，解得h＝2，即兩底面之間的距離為2.

故選：D

4．A

設(shè)底面中心為H，連接，由正棱錐性質(zhì)知，底面，則，求得，設(shè)正六棱錐外接球半徑為R，可求得，在直角中，利用勾股定理求得，即可求得的比值.

【詳解】

如圖，設(shè)底面中心為H，底面邊長(zhǎng)為a，連接，，

底面為正六邊形，

由正棱錐性質(zhì)知，底面

又側(cè)棱與高所成的角為，，則，即

設(shè)正六棱錐外接球球心為O，半徑為R，連接,則，

，

在直角中，，即

故選：A

方法點(diǎn)睛：本題考查正六棱錐的外接球，空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法：求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

5．C

根據(jù)直觀圖和原圖面積比的關(guān)系，即得解

【詳解】

由題意，.

且

故

故選：C

6．C

由斜二測(cè)還原圖形計(jì)算即可求得結(jié)果.

【詳解】

在斜二測(cè)直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，.

還原原圖形如圖：則，則

.

故選：C

7．C

按照斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出直觀圖，利用梯形面積公式便可求得其面積.

【詳解】

如圖所示，實(shí)線表示直觀圖，.

,

,

∴直觀圖的面積為,

故選：C.

本題主要考查斜二測(cè)畫(huà)法，關(guān)鍵是掌握斜二測(cè)畫(huà)法的要領(lǐng).

8．D

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)判斷．

【詳解】

四棱臺(tái)有8個(gè)頂點(diǎn)，不符合題意.，其他都是6個(gè)頂點(diǎn)．

故選：D．

9．B

由題意可得原圖形是一個(gè)平行四邊形，然后根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法中直觀圖與原圖的關(guān)系可求出平行四邊形的邊長(zhǎng)，從而可求出其周長(zhǎng)

【詳解】

由題意，平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，

所以原圖形是一個(gè)平行四邊形，

斜二測(cè)畫(huà)法中平行于軸的邊長(zhǎng)在原圖中長(zhǎng)度為2，

斜二測(cè)畫(huà)法中與軸垂直的邊長(zhǎng)在原圖中的長(zhǎng)度為，

則原圖形的周長(zhǎng)為2+2+6+6＝16．

故選：B．

10．C

由三視圖得出該四棱錐為正四棱錐，再結(jié)合勾股定理得出答案.

【詳解】

由三視圖可知，該四棱錐為正四棱錐，正方形底面的邊長(zhǎng)為

側(cè)棱長(zhǎng)為，即最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為

故選：C

11．A

如圖截面為，P為MN的中點(diǎn)，設(shè)，，進(jìn)而可得面積最大值.

【詳解】

如圖所示，截面為，P為MN的中點(diǎn)，設(shè)

,

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截面面積最大.

故選：A

易錯(cuò)點(diǎn)睛：先求出面積的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)而判斷最大值，本題容易誤認(rèn)為垂直于底面的截面面積最大.

12．D

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法中原圖形面積與直觀圖面積的關(guān)系式即可得出答案.

【詳解】

解：斜二測(cè)畫(huà)法中原圖形面積與直觀圖面積的關(guān)系式

所以

故選：D

13．

先利用梯形面積公式得到直觀圖的面積，再利用直觀圖與原圖形面積的倍數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.

【詳解】

直角梯形ABCD的面積，設(shè)原圖形面積為，則，則這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積

故答案為：

14．

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則得到直角三角形的直角邊長(zhǎng)，用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知，，，，

所以，

所以的周長(zhǎng)為.

故答案為：.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則是解題關(guān)鍵.

15．

【詳解】

設(shè)球半徑為，則．故答案為．

點(diǎn)睛:空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．

16．

作線段，交軸于點(diǎn)，則所求的高為，根據(jù)三角知識(shí)即可求解．

【詳解】

作線段，交軸于點(diǎn)，

則，

所以邊上的高為

故答案為：．

17．見(jiàn)解析

由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則畫(huà)出直觀圖即可.

【詳解】

畫(huà)軸：畫(huà)軸、軸、軸，使；

畫(huà)底面：作水平放置的長(zhǎng)方形的直觀圖，與重合，在軸上作，在軸上作，

過(guò)分別作軸的平行線交于點(diǎn)，即得長(zhǎng)方形的直觀圖；

畫(huà)側(cè)棱：過(guò)各點(diǎn)作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取，使；

成圖：連接，并去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，得到的圖形即為正六棱柱的直觀圖．

18．見(jiàn)解析

建立空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的方法先后畫(huà)出下上底面即可.

【詳解】

①建立空間直角坐標(biāo)系,畫(huà)x軸y軸z軸相交于點(diǎn)O.使x軸與y軸的夾角為45°，y軸與z軸的夾角為90°，

②底面在y軸上取線段取，且以為中點(diǎn)，作平行于x軸的線段,使,在y軸上取線段,使.連接,則為正三棱臺(tái)的下底面的直觀圖.

③畫(huà)上底面在z軸上取,使,過(guò)點(diǎn)作,,建立坐標(biāo)系.在中,類(lèi)似步驟②的畫(huà)法得上底面的直觀圖.

④連線成圖連接,,,去掉輔助線,將被遮住的部分畫(huà)成虛線,則三棱臺(tái)即為要求畫(huà)的正三棱臺(tái)的直觀圖.

本題主要考查了立體圖形的直觀圖畫(huà)法,屬于中等題型.

19．作圖見(jiàn)解析.

根據(jù)斜二測(cè)法的作圖步驟即可得到此長(zhǎng)方體的直觀圖.

【詳解】

1.畫(huà)軸：畫(huà)出軸，軸，軸，三軸相交于點(diǎn)，使得；

2.畫(huà)底面：以點(diǎn)為中點(diǎn)，在軸上畫(huà)，在軸上畫(huà)，分別過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為，則四邊形即為該四棱柱的底面；

3.畫(huà)側(cè)棱：過(guò)點(diǎn)分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長(zhǎng)的線段，如圖（1）所示；

4.成圖：連接，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到該棱柱的直觀圖，如圖（2）所示.

圖（1）圖（2）

20．見(jiàn)詳解.

用斜二測(cè)法畫(huà)直觀圖即可.

【詳解】

21．答案見(jiàn)解析

由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知：，從而易得邊的實(shí)際長(zhǎng)