【解析】2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊1.2一定是直角三角形嗎 同步練習(xí)（培優(yōu)卷）

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2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊1.2一定是直角三角形嗎同步練習(xí)（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．b2﹣c2＝a2B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5

C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A﹣∠B

【答案】C

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵b2-c2=a2，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC為直角三角形，故A正確，不符合題意；

B、∵a：b：c=3：4：5，

∴可設(shè)a=3k，b=4k，c=5k，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC為直角三角形，故B正確，不符合題意；

∵∠A：∠B：∠C=9：12：15，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=×180°=75°，

∴△ABC不是直角三角形，故C錯誤，符合題意；

∵∠C=∠A-∠B，

∴∠B+∠C=∠A.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=90°，

∴△ABC為直角三角形，故D正確，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可判斷A、B；估計(jì)內(nèi)角和定理可判斷C、D.

2．（2023八下·天河期末）下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（）

A．三角形三條邊的比為

B．三角形三條邊滿足關(guān)系式

C．三角形三條邊的比為

D．三角形三個內(nèi)角滿足關(guān)系式

【答案】A

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理；直角三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、三角形三條邊的比為，

設(shè)三角形三條邊分別為、、，

，，

，

不是直角三角形，A符合題意；

B、，

，

是直角三角形，B不符合題意；

C、三角形三條邊的比為，

設(shè)三角形三條邊分別為、、，

，，

，

是直角三角形，C不符合題意；

D、，，

，

是直角三角形，D不符合題意，

故答案為：A.

【分析】如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

有一個角是直角的三角形是直角三角形.

3．（2023八下·湖北期末）△ABC的三個內(nèi)角分別為∠A，∠B，∠C，三條邊分別為a，b，c．下列條件，能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵a：b：c=1：2：3，

∴設(shè)a=x，b=2x，c=3x，

∵a2+b2=x2+4x2=5x2，c2=9x2，

∴a2+b2≠c2，

∴△ABC不是直角三角形，故A不符合題意；

B、∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∴△ABC不是直角三角形，故B不符合題意；

C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

∴3x+4x+5x=180°，

解之：x=15°，

∴∠C=5×15=75°＜90°，

∴△ABC不是直角三角形，故C不符合題意；

D、∵a2=b2-c2，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC是直角三角形，故D符合題意；

故答案為：D

【分析】利用勾股定理的逆定理可對A，D作出判斷；利用三角形的內(nèi)角和為180°，可求出△ABC的每一個角的度數(shù)，利用有一個角是直角的三角形是直角三角形，可對B，C作出判斷.

4．（2023八下·江州期末）由線段a，b，c組成的三角形中，是直角三角形的是（）.

A．a(chǎn)=1，b=2，c=3B．a(chǎn)=1，b=，c=

C．a(chǎn)=2，b=3，c=5D．a(chǎn)=3，b=4，c=5

【答案】D

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠32，由勾股定理的逆定理可知這三條線段不能作為直角三角形的三邊邊長，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、，由勾股定理的逆定理可知這三條線段不能作為直角三角形的三邊邊長，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、22+32≠52，由勾股定理的逆定理可知這三條線段不能作為直角三角形的三邊邊長，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、32+42=52，由股定理的逆定理可知這三條線段能作為直角三角形的三邊邊長，故此選項(xiàng)符合題意.

故答案為：D.

【分析】分別計(jì)算各選項(xiàng)中各數(shù)的平方，觀察是否滿足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知：若滿足，則可構(gòu)成直角三角形，反之，不能構(gòu)成直角三角形，結(jié)合各選項(xiàng)即可判斷求解.

5．（2023八下·包河期中）下列長度的四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A．1，2，3B．，2，C．4，5，6D．8，15，19

【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：

A、，不可以構(gòu)成直角三角形，A不符合題意；

B、，可以構(gòu)成直角三角形，B符合題意；

C、，不可以構(gòu)成直角三角形，C不符合題意；

D、，不可以構(gòu)成直角三角形，D不符合題意；

故答案為：B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理結(jié)合題意即可求解。

6．（2023八下·雙鴨山期末）滿足下列條件的，其中不是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵b2=（a+c）（a-c）=a2-c2，

∴b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理得：∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合題意；

B、∵a：b：c=1：：2，

∴設(shè)a=x，b=x，c=2x，

a2+b2=x2+(x)2=4x2，c2=(2x)2=4x2，

∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理得：∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合題意；

C、∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠C=∠A-∠B，

∴∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合題意；

D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

則3x+4x+5x=180°，解得x=15°，

∠C=5×15°=75°，∠B=4×15°=60°，∠A=3×15°=45°，

∴△ABC不是直角三角形；符合題意.

故選：D.

【分析】A、用平方差公式將等式右邊去括號，整理可得b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；不符合題意；

B、由題意可設(shè)a=x，b=x，c=2x，分別計(jì)算a2+b2和c2的值，滿足a2+b2=c2，由勾股定理的的逆定理可得△ABC是直角三角形；不符合題意；

C、由三角形內(nèi)角和定理和已知條件可求得∠A=90°，由直角三角形的定義可得△ABC是直角三角形；不符合題意；

D、由題意可設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值，代入計(jì)算可得∠C、∠B、∠A的度數(shù)，根據(jù)三個內(nèi)角的度數(shù)可判斷△ABC不是直角三角形；符合題意.

7．（2023八下·北京市期中）老師布置了任務(wù)：過直線上一點(diǎn)C作的垂線．在沒有直角尺的情況下，嘉嘉和淇淇利用手頭的學(xué)習(xí)工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分別以D，C為圓心，以和為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E．③作直線，即為所求的垂線．方案Ⅱ：取一根筆直的木棒，在木棒上標(biāo)出M，N兩點(diǎn)．①使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)N對應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)Q．②保持點(diǎn)N不動，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在上，將旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M對應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R．③將延長，在延長線上截取線段，得到點(diǎn)S．④作直線，即為所求直線．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

【答案】C

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根據(jù)作圖可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE為直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根據(jù)作圖可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案為：C．

【分析】方案Ⅰ：連接DE，根據(jù)勾股定理逆定理證明△CDE為直角三角形，即可證明EC⊥AB；方案Ⅱ：根據(jù)CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

8．（2023八下·蜀山期中）如圖，小紅家的木門左下角有一點(diǎn)受潮，她想檢測門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測量門的邊和的長，再測量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷是否為直角，這樣做的依據(jù)是（）

A．勾股定理B．勾股定理的逆定理

C．三角形內(nèi)角和定理D．直角三角形的兩銳角互余

【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由題意得這樣做的依據(jù)是勾股定理的逆定理，

故答案為：B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理結(jié)合題意即可求解。

9．（2023八下·鳳臺期中）如圖，每個小正方形的邊長為1，在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，則線段的長為()

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理；線段的中點(diǎn)

【解析】【解答】解：由圖根據(jù)勾股定理可得：，，，

∴，

∴△ABC是直角三角形，

∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，

∴，

故答案為：A.

【分析】利用勾股定理先求出，再求出△ABC是直角三角形，最后計(jì)算求解即可。

10．（2023八下·渦陽期中）如圖，在網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），則的形狀是（）

A．等腰直角三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等邊三角形

【答案】A

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵AB2=12+32=10，AC2=12+32=10，BC2=22+42=20，

∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，

∴△ABC為等腰直角三角形；

故答案為：A.

【分析】利用勾股定理求出三角形三邊的平方，再由勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.

二、填空題

11．（2023八下·北海期末）如圖，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，則要投入元.

【答案】7200

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：連接BD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，

而122+52＝132，

即BC2+BD2＝CD2，

∴∠DBC＝90°，

S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，

＝＝36.

所以需費(fèi)用36×200＝7200（元）.

故答案為7200.

【分析】連接BD，在Rt△ABD中，先根據(jù)勾股定理求出BD2的值，再運(yùn)用勾股定理逆定理證明∠DBC＝90°，最后運(yùn)用S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面積，進(jìn)而即可求解.

12．（2023八下·宣州期中）若a,b,c是直角三角形的三條邊長，斜邊c上的高的長是h，給出下列結(jié)論：

①以a2，b2，c2的長為邊的三條線段能組成一個三角形；②以的長為邊的三條線段能組成一個三角形；③以a+b，c+h，h的長為邊的三條線段能組成直角三角形；④以的長為邊的三條線段能組成直角三角形，符合題意結(jié)論的序號為．

【答案】②③

【知識點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】①選項(xiàng)：根據(jù)勾股定理得出，所以不成立，即不滿足兩邊之和大于第三邊，本選項(xiàng)不符合題意；

②

即

,

．

故本選項(xiàng)符合題意;

③選項(xiàng)：

，

故本選項(xiàng)符合題意；

④選項(xiàng)：

本選項(xiàng)不符合題意；

故答案是：②③

【分析】已知直角三角形的三條邊長，根據(jù)勾股定理得出，同時(shí)直角三角形作為三角形，滿足三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即，再判斷各選項(xiàng)中各個線段是否能組成三角形．

13．（2023八下·洛陽期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，有四條線段，其中能構(gòu)成直角三角形三邊的線段是.

【答案】GH、CD、AB

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得，，，，

∵

∴線段GH、CD、AB能構(gòu)成直角三角形.

故答案為：GH、CD、AB

【分析】根據(jù)網(wǎng)格圖的特征和勾股定理求出AB、DC、GH、DC的值，觀察計(jì)算的各線段的值可得DC2+GH2=AB2，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷線段GH、CD、AB能構(gòu)成直角三角形.

14．（2023八下·永定期中）已知等腰的底邊，D是腰上一點(diǎn)，且，，則的長為.

【答案】

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：，，

，

為直角三角形，，

設(shè)，

是等腰三角形，

，

，

解得，，

故答案為：.

【分析】由勾股定理逆定理知△BDC為直角三角形，且∠BDC=90°，設(shè)AD=x，由等腰三角形的性質(zhì)可得AC=AB=3+x，然后在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

15．（2022八下·交城期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E是格點(diǎn)，則∠ABD＋∠CBE的度數(shù)為．

【答案】45°

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：取網(wǎng)格點(diǎn)M、N、F，連接AM、AN、BM、MF、BN，如圖，

根據(jù)網(wǎng)格線可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，

由網(wǎng)格圖可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，

則∠ABD+∠CBE=∠MAB，

在Rt△ANB中，有，

同理可求得：，

∵，

∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，

∴∠MAB=45°，

即：∠ABD+∠CBE=45°，

故答案為：45°．

【分析】取網(wǎng)格點(diǎn)M、N、F，連接AM、AN、BM、MF、BN，先證出∠ABD+∠CBE=∠MAB，再結(jié)合△ABM是直角三角形，且AM=BM，∠MAB=45°，即可得到∠ABD+∠CBE=45°。

三、綜合題

16．如圖，在中，，，邊上的中線，延長至點(diǎn)，使，連接．

（1）求證：．

（2）求的長．

【答案】（1）解：證明：是邊上的中線，

，

在和中，

，

，

；

（2）解：由（1）得，，

，

，

，

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）圖形符合“倍長中線”的特征，易發(fā)現(xiàn)AD=ED，BD=CD，對頂角∠ADB=∠EDC，因此可證得△ABD≌△EDC（SAS），所以可得CE=AB.

（2）根據(jù)題干中的數(shù)據(jù)，同時(shí)結(jié)合（1）中的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)△ACE的三邊長分別為5，12，13，三邊符合勾股定理，因此最長邊AC所對的∠E=90°，所以在Rt△CDE中，利用CE=5，DE=6，就可以求出斜邊CD的值.

17．（2023八下·惠城期末）.如圖，點(diǎn)在△ABC中，，，，．

（1）求BC的長；

（2）求圖中陰影部分的面積．

【答案】（1）解：

（2）解：

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求出答案；

（2）根據(jù)勾股定理逆定理判斷出直角三角形ABC，最后根據(jù)面積法即可求出答案.

18．（2023八下·息縣期末）在中，，，，設(shè)為最長邊，當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀按角分類．

（1）當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為三角形．

（2）猜想，當(dāng)時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形．

（3）判斷當(dāng)，時(shí)，的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．

【答案】（1）銳角；鈍角

（2）；

（3）解：為最長邊，，

，

，

，即，，

當(dāng)時(shí)，這個三角形是銳角三角形；

，即，，

當(dāng)時(shí)，這個三角形是直角三角形；

，即，，

當(dāng)時(shí)，這個三角形是鈍角三角形．

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：（1）直角三角形的兩直角邊分別為6、8時(shí)，斜邊長為=10，

∴當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為銳角三角形；

當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為鈍角三角形；

故答案為：銳角、鈍角；

（2）猜想：當(dāng)＞時(shí)，為銳角三角形；

當(dāng)＜時(shí)，為鈍角三角形；

故答案為：＞，＜；

【分析】（1）由勾股定理求出兩直角邊長為6、8時(shí)的斜邊的長，再和9比較，即可做出判斷即可；

（2）根據(jù)（1）結(jié)論進(jìn)行猜想即可；

（3）根據(jù)三角形三邊關(guān)系，求出第三邊c的范圍，由勾股定理求出兩直角邊分別為a、b時(shí)，，分三種情況：，，，據(jù)此分別求出c的范圍即可.

19．（2022八下·康巴什期末）課本矩形一節(jié)，根據(jù)矩形的的性質(zhì)得到了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．

小聰同學(xué)畫出了如圖①所示的一個特殊的直角三角形，其中為直角，AD為斜邊BC上的中線，．它證明上面定理思路如下：延長AD至點(diǎn)E，使，連結(jié)BE，再證，從而就可以證明得到；

（1）小聰同學(xué)還想借助圖②，在任意的中，為直角，AD為斜邊BC上的中線，證明結(jié)論，請你幫助小聰同學(xué)完成；

（2）如圖③，在中，垂足為D，如果，，，求的中線AE的長度．

【答案】（1）證明：如圖②所示：延長AD至點(diǎn)E使DE=AD，連接BE．

在△ACD和△EBD中，，

∴△ACD≌△EBD．∴∠C=∠EBD

∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．

在△ABC和△BAE中，，

∴△ABC≌△BAE．∴AE=BC．∴BC=AE=2AD∴AD＝BC．

（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°．

∵CD=1，AD=2，BD=4，

∴根據(jù)勾股定理得：

，，

∴△ABC是直角三角形．∴AE=

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）延長AD至點(diǎn)E使DE=AD，連接BE，在△ACD和△EBD中，證出△ACD≌△EBD，得出∠C=∠EBD，在△ABC和△BAE中，再證出△ABC≌△BAE，得出AE=BC，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)AD⊥BC，得出∠ADC=∠ADB=90°，根據(jù)勾股定理得，證出△ABC是直角三角形，即可得出結(jié)論。

20．（2023八下·淮南期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時(shí)，愛動腦的小明設(shè)計(jì)了如下表格：

n23456

a4581012

b38152435

c510172637

請回答下列問題：

（1）當(dāng)n＝7時(shí)，a＝，b＝，c＝；

（2）請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝；

（3）猜想：以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形？并對你的猜想加以證明．

【答案】（1）14；48；50

（2）2n；；

（3）解：以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

證明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，

c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，

∴a2+b2=c2，

∴以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理；探索數(shù)與式的規(guī)律

【解析】【解答】解：（1）由圖表可以得出：

∵n=2時(shí)，a=2×2，b=22-1，c=22+1，

n=3時(shí)，a=2×3，b=32-1，c=32+1，

n=4時(shí)，a=2×4，b=42-1，c=42+1，

n=5時(shí)，a=2×5，b=52-1，c=52+1，

∴n=7時(shí)，a=2×7=14，b=72-1=48，c=72+1=50；

故答案為：14，48，50；

（2）由規(guī)律可得：a=2n，b=n2-1，c=n2+1；

故答案為：2n，n2-1，n2+1；

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)找出規(guī)律，即可求解；

（2）由（1）規(guī)律可得：a=2n，b=n2-1，c=n2+1；

（3）由2n＜n2-1＜n2+1，可先求出a2+b2，再求出c2，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.

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2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊1.2一定是直角三角形嗎同步練習(xí)（培優(yōu)卷）

一、選擇題

1．已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．b2﹣c2＝a2B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5

C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A﹣∠B

2．（2023八下·天河期末）下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（）

A．三角形三條邊的比為

B．三角形三條邊滿足關(guān)系式

C．三角形三條邊的比為

D．三角形三個內(nèi)角滿足關(guān)系式

3．（2023八下·湖北期末）△ABC的三個內(nèi)角分別為∠A，∠B，∠C，三條邊分別為a，b，c．下列條件，能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023八下·江州期末）由線段a，b，c組成的三角形中，是直角三角形的是（）.

A．a(chǎn)=1，b=2，c=3B．a(chǎn)=1，b=，c=

C．a(chǎn)=2，b=3，c=5D．a(chǎn)=3，b=4，c=5

5．（2023八下·包河期中）下列長度的四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A．1，2，3B．，2，C．4，5，6D．8，15，19

6．（2023八下·雙鴨山期末）滿足下列條件的，其中不是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

7．（2023八下·北京市期中）老師布置了任務(wù)：過直線上一點(diǎn)C作的垂線．在沒有直角尺的情況下，嘉嘉和淇淇利用手頭的學(xué)習(xí)工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分別以D，C為圓心，以和為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E．③作直線，即為所求的垂線．方案Ⅱ：取一根筆直的木棒，在木棒上標(biāo)出M，N兩點(diǎn)．①使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)N對應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)Q．②保持點(diǎn)N不動，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在上，將旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M對應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R．③將延長，在延長線上截取線段，得到點(diǎn)S．④作直線，即為所求直線．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

8．（2023八下·蜀山期中）如圖，小紅家的木門左下角有一點(diǎn)受潮，她想檢測門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測量門的邊和的長，再測量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷是否為直角，這樣做的依據(jù)是（）

A．勾股定理B．勾股定理的逆定理

C．三角形內(nèi)角和定理D．直角三角形的兩銳角互余

9．（2023八下·鳳臺期中）如圖，每個小正方形的邊長為1，在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，則線段的長為()

A．B．C．D．

10．（2023八下·渦陽期中）如圖，在網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），則的形狀是（）

A．等腰直角三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等邊三角形

二、填空題

11．（2023八下·北海期末）如圖，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，則要投入元.

12．（2023八下·宣州期中）若a,b,c是直角三角形的三條邊長，斜邊c上的高的長是h，給出下列結(jié)論：

①以a2，b2，c2的長為邊的三條線段能組成一個三角形；②以的長為邊的三條線段能組成一個三角形；③以a+b，c+h，h的長為邊的三條線段能組成直角三角形；④以的長為邊的三條線段能組成直角三角形，符合題意結(jié)論的序號為．

13．（2023八下·洛陽期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，有四條線段，其中能構(gòu)成直角三角形三邊的線段是.

14．（2023八下·永定期中）已知等腰的底邊，D是腰上一點(diǎn)，且，，則的長為.

15．（2022八下·交城期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E是格點(diǎn)，則∠ABD＋∠CBE的度數(shù)為．

三、綜合題

16．如圖，在中，，，邊上的中線，延長至點(diǎn)，使，連接．

（1）求證：．

（2）求的長．

17．（2023八下·惠城期末）.如圖，點(diǎn)在△ABC中，，，，．

（1）求BC的長；

（2）求圖中陰影部分的面積．

18．（2023八下·息縣期末）在中，，，，設(shè)為最長邊，當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀按角分類．

（1）當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為三角形．

（2）猜想，當(dāng)時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形．

（3）判斷當(dāng)，時(shí)，的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．

19．（2022八下·康巴什期末）課本矩形一節(jié)，根據(jù)矩形的的性質(zhì)得到了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．

小聰同學(xué)畫出了如圖①所示的一個特殊的直角三角形，其中為直角，AD為斜邊BC上的中線，．它證明上面定理思路如下：延長AD至點(diǎn)E，使，連結(jié)BE，再證，從而就可以證明得到；

（1）小聰同學(xué)還想借助圖②，在任意的中，為直角，AD為斜邊BC上的中線，證明結(jié)論，請你幫助小聰同學(xué)完成；

（2）如圖③，在中，垂足為D，如果，，，求的中線AE的長度．

20．（2023八下·淮南期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時(shí)，愛動腦的小明設(shè)計(jì)了如下表格：

n23456

a4581012

b38152435

c510172637

請回答下列問題：

（1）當(dāng)n＝7時(shí)，a＝，b＝，c＝；

（2）請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝；

（3）猜想：以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形？并對你的猜想加以證明．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵b2-c2=a2，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC為直角三角形，故A正確，不符合題意；

B、∵a：b：c=3：4：5，

∴可設(shè)a=3k，b=4k，c=5k，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC為直角三角形，故B正確，不符合題意；

∵∠A：∠B：∠C=9：12：15，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=×180°=75°，

∴△ABC不是直角三角形，故C錯誤，符合題意；

∵∠C=∠A-∠B，

∴∠B+∠C=∠A.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=90°，

∴△ABC為直角三角形，故D正確，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可判斷A、B；估計(jì)內(nèi)角和定理可判斷C、D.

2．【答案】A

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理；直角三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、三角形三條邊的比為，

設(shè)三角形三條邊分別為、、，

，，

，

不是直角三角形，A符合題意；

B、，

，

是直角三角形，B不符合題意；

C、三角形三條邊的比為，

設(shè)三角形三條邊分別為、、，

，，

，

是直角三角形，C不符合題意；

D、，，

，

是直角三角形，D不符合題意，

故答案為：A.

【分析】如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

有一個角是直角的三角形是直角三角形.

3．【答案】D

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵a：b：c=1：2：3，

∴設(shè)a=x，b=2x，c=3x，

∵a2+b2=x2+4x2=5x2，c2=9x2，

∴a2+b2≠c2，

∴△ABC不是直角三角形，故A不符合題意；

B、∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∴△ABC不是直角三角形，故B不符合題意；

C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

∴3x+4x+5x=180°，

解之：x=15°，

∴∠C=5×15=75°＜90°，

∴△ABC不是直角三角形，故C不符合題意；

D、∵a2=b2-c2，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC是直角三角形，故D符合題意；

故答案為：D

【分析】利用勾股定理的逆定理可對A，D作出判斷；利用三角形的內(nèi)角和為180°，可求出△ABC的每一個角的度數(shù)，利用有一個角是直角的三角形是直角三角形，可對B，C作出判斷.

4．【答案】D

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠32，由勾股定理的逆定理可知這三條線段不能作為直角三角形的三邊邊長，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、，由勾股定理的逆定理可知這三條線段不能作為直角三角形的三邊邊長，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、22+32≠52，由勾股定理的逆定理可知這三條線段不能作為直角三角形的三邊邊長，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、32+42=52，由股定理的逆定理可知這三條線段能作為直角三角形的三邊邊長，故此選項(xiàng)符合題意.

故答案為：D.

【分析】分別計(jì)算各選項(xiàng)中各數(shù)的平方，觀察是否滿足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知：若滿足，則可構(gòu)成直角三角形，反之，不能構(gòu)成直角三角形，結(jié)合各選項(xiàng)即可判斷求解.

5．【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：

A、，不可以構(gòu)成直角三角形，A不符合題意；

B、，可以構(gòu)成直角三角形，B符合題意；

C、，不可以構(gòu)成直角三角形，C不符合題意；

D、，不可以構(gòu)成直角三角形，D不符合題意；

故答案為：B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理結(jié)合題意即可求解。

6．【答案】D

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵b2=（a+c）（a-c）=a2-c2，

∴b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理得：∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合題意；

B、∵a：b：c=1：：2，

∴設(shè)a=x，b=x，c=2x，

a2+b2=x2+(x)2=4x2，c2=(2x)2=4x2，

∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理得：∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合題意；

C、∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠C=∠A-∠B，

∴∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合題意；

D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

則3x+4x+5x=180°，解得x=15°，

∠C=5×15°=75°，∠B=4×15°=60°，∠A=3×15°=45°，

∴△ABC不是直角三角形；符合題意.

故選：D.

【分析】A、用平方差公式將等式右邊去括號，整理可得b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；不符合題意；

B、由題意可設(shè)a=x，b=x，c=2x，分別計(jì)算a2+b2和c2的值，滿足a2+b2=c2，由勾股定理的的逆定理可得△ABC是直角三角形；不符合題意；

C、由三角形內(nèi)角和定理和已知條件可求得∠A=90°，由直角三角形的定義可得△ABC是直角三角形；不符合題意；

D、由題意可設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值，代入計(jì)算可得∠C、∠B、∠A的度數(shù)，根據(jù)三個內(nèi)角的度數(shù)可判斷△ABC不是直角三角形；符合題意.

7．【答案】C

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根據(jù)作圖可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE為直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根據(jù)作圖可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案為：C．

【分析】方案Ⅰ：連接DE，根據(jù)勾股定理逆定理證明△CDE為直角三角形，即可證明EC⊥AB；方案Ⅱ：根據(jù)CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

8．【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由題意得這樣做的依據(jù)是勾股定理的逆定理，

故答案為：B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理結(jié)合題意即可求解。

9．【答案】A

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理；線段的中點(diǎn)

【解析】【解答】解：由圖根據(jù)勾股定理可得：，，，

∴，

∴△ABC是直角三角形，

∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，

∴，

故答案為：A.

【分析】利用勾股定理先求出，再求出△ABC是直角三角形，最后計(jì)算求解即可。

10．【答案】A

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵AB2=12+32=10，AC2=12+32=10，BC2=22+42=20，

∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，

∴△ABC為等腰直角三角形；

故答案為：A.

【分析】利用勾股定理求出三角形三邊的平方，再由勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.

11．【答案】7200

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：連接BD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，

而122+52＝132，

即BC2+BD2＝CD2，

∴∠DBC＝90°，

S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，

＝＝36.

所以需費(fèi)用36×200＝7200（元）.

故答案為7200.

【分析】連接BD，在Rt△ABD中，先根據(jù)勾股定理求出BD2的值，再運(yùn)用勾股定理逆定理證明∠DBC＝90°，最后運(yùn)用S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面積，進(jìn)而即可求解.

12．【答案】②③

【知識點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】①選項(xiàng)：根據(jù)勾股定理得出，所以不成立，即不滿足兩邊之和大于第三邊，本選項(xiàng)不符合題意；

②

即

,

．

故本選項(xiàng)符合題意;

③選項(xiàng)：

，

故本選項(xiàng)符合題意；

④選項(xiàng)：

本選項(xiàng)不符合題意；

故答案是：②③

【分析】已知直角三角形的三條邊長，根據(jù)勾股定理得出，同時(shí)直角三角形作為三角形，滿足三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即，再判斷各選項(xiàng)中各個線段是否能組成三角形．

13．【答案】GH、CD、AB

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得，，，，

∵

∴線段GH、CD、AB能構(gòu)成直角三角形.

故答案為：GH、CD、AB

【分析】根據(jù)網(wǎng)格圖的特征和勾股定理求出AB、DC、GH、DC的值，觀察計(jì)算的各線段的值可得DC2+GH2=AB2，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷線段GH、CD、AB能構(gòu)成直角三角形.

14．【答案】

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：，，

，

為直角三角形，，

設(shè)，

是等腰三角形，

，

，

解得，，

故答案為：.

【分析】由勾股定理逆定理知△BDC為直角三角形，且∠BDC=90°，設(shè)AD=x，由等腰三角形的性質(zhì)可得AC=AB=3+x，然后在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

15．【答案】45°

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：取網(wǎng)格點(diǎn)M、N、F，連接AM、AN、BM、MF、BN，如圖，

根據(jù)網(wǎng)格線可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，

由網(wǎng)格圖可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，

則∠ABD+∠CBE=∠MAB，

在Rt△ANB中，有，

同理可求得：，

∵，

∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，

∴∠MAB=45°，

即：∠ABD+∠CBE=45°，

故答案為：45°．

【分析】取網(wǎng)格點(diǎn)M、N、F，連接AM、AN、BM、MF、BN，先證出∠ABD+∠CBE=∠MAB，再結(jié)合△ABM是直角三角形，且AM=BM，∠MAB=45°，即可得到∠ABD+∠CBE=45°。

16．【答案】（1）解：證明：是邊上的中線，

，

在和中，

，

，

；

（