數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊中職PPT完整全套教學(xué)課件

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊（上冊(cè)）全套可編輯PPT課件上下冊(cè)集合不等式函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)數(shù)列平面向量直線和圓的方程立體幾何概率與統(tǒng)計(jì)初步集合第一

單元集合的概念第一節(jié)集合的表示方法第二節(jié)集合之間的關(guān)系第三節(jié)集合的運(yùn)算第四節(jié)目錄CONTENTS命題第五節(jié)充要條件第六節(jié)引例在某個(gè)城市中有一名理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫(xiě)的:“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉.我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎!”來(lái)找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人.可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見(jiàn)自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們認(rèn)為他能不能給自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉；而如果他給自己刮臉，他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉.第一節(jié)集合的概念日常生活中，我們所看到的、聽(tīng)到的、觸摸到的、想到的各種各樣的實(shí)物或一些抽象的符號(hào)都可以視作對(duì)象，由某些指定的對(duì)象集在一起所組成的整體就叫作集合，簡(jiǎn)稱集.組成集合的每個(gè)對(duì)象稱為元素.例如，把所有小于10的自然數(shù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的各個(gè)數(shù)都看成對(duì)象，所有這些對(duì)象匯集在一起就構(gòu)成了一個(gè)集合，其中的每個(gè)數(shù)即為這個(gè)集合中的元素.第一節(jié)集合的概念我們?nèi)粘Ｉ钪械哪男┦挛锟梢詤R集在一起而構(gòu)成一個(gè)集合呢？想一想第一節(jié)集合的概念集合一般采用大寫(xiě)英文字母A、B、C、…來(lái)表示，它們的元素一般采用小寫(xiě)英文字母a、b、c、…來(lái)表示.如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作a∈A.一般地，我們把不含任何元素的集合叫作空集，記作.例如方程x-2=x-3的解所組成的集合即為空集，因?yàn)檫@個(gè)集合不含任何元素.?第三節(jié)集合的運(yùn)算議一議0∈嗎？?第一節(jié)集合的概念關(guān)于集合的概念有如下說(shuō)明：（1）集合的元素具有確定性，即作為一個(gè)集合的元素，必須是確定的.也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素是確定的.（2）集合的元素具有互異性，即給定一個(gè)集合，則集合的元素一定是互不相同的.(3)集合的元素具有無(wú)序性，即集合是由一些事物組成的整體，因此不考慮這些事物的排列次序.第一節(jié)集合的概念下列語(yǔ)句能否確定一個(gè)集合？（1）一切很大的數(shù)；（2）小于5的正奇數(shù)；（3）方程x2=4的所有解；（4）不等式x-5>0的所有解.解（1）因?yàn)楹艽蟮臄?shù)沒(méi)有具體的標(biāo)準(zhǔn)，“一切很大的數(shù)”所指的對(duì)象是不確定的，所以不能構(gòu)成集合.（2）因?yàn)樾∮?的正奇數(shù)包括1，3兩個(gè)數(shù)，它們是確定的對(duì)象，所以可以構(gòu)成一個(gè)集合.（3）方程x2=4的解為-2和2，是確定的對(duì)象，所以可以構(gòu)成集合.（4）解不等式x-5>0可得x>5，它們是確定的對(duì)象，所以可以構(gòu)成集合.【例】第一節(jié)集合的概念根據(jù)集合所含有的元素個(gè)數(shù)可以將其分為有限集和無(wú)限集兩類.含有有限個(gè)元素的集合叫作有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫作無(wú)限集.例如上述例題中的（2）所構(gòu)成的集合即為有限集，（4）所構(gòu)成的集合即為無(wú)限集.

在例題的（3）中，集合的元素是-2和2，它們都是方程x2=4的解，像這樣，方程的所有解組成的集合叫作這個(gè)方程的解集；同樣，在例題的（4）中，由不等式的所有解所組成的集合叫作這個(gè)不等式的解集.第一節(jié)集合的概念由數(shù)所組成的集合稱作數(shù)集.我們用某些特定的大寫(xiě)英文字母表示常用的一些數(shù)集：所有非負(fù)整數(shù)所組成的集合叫作自然數(shù)集，記作N；所有正整數(shù)所組成的集合叫作正整數(shù)集，記作N*；所有整數(shù)組成的集合叫作整數(shù)集，記作Z；所有有理數(shù)組成的集合叫作有理數(shù)集，記作Q；所有實(shí)數(shù)組成的集合叫作實(shí)數(shù)集，記作R.第一節(jié)集合的概念做一做1.用符號(hào)“∈”或“”填空：（1）-3

N；（2）3.14

Q；（3）π

Q；（4）0.5

Z；（5）1.8

R；（6）-1

N*.2.判斷下列語(yǔ)句是否正確：（1）由1，2，4，2構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合共有4個(gè)元素；（2）方程x2+1=0的所有解組成的集合為空集.第二節(jié)集合的表示方法如何表示一個(gè)集合呢？常用的表示方法有列舉法和描述法兩種.第二節(jié)集合的表示方法把集合的元素一一列舉出來(lái)，元素中間用逗號(hào)隔開(kāi)，寫(xiě)在花括號(hào)“｛｝”中用來(lái)表示集合，這種方法即為列舉法.例如，由小于5的自然數(shù)所組成的集合可表示為｛0，1，2，3，4｝；方程x2=4的所有解組成的集合可表示為｛-2，2｝.列舉法一、第二節(jié)集合的表示方法當(dāng)集合為無(wú)限集或元素很多的有限集時(shí)，可以在花括號(hào)內(nèi)只寫(xiě)出幾個(gè)元素，其他用省略號(hào)表示即可，但所寫(xiě)出的元素必須能讓人明白省略號(hào)表示哪些元素.例如，自然數(shù)集N為無(wú)限集，可表示為｛0，1，2，3，…，n，…｝；不大于100的全體自然數(shù)所組成的集合為有限集，可表示為｛0，1，2，3，…，100｝.第二節(jié)集合的表示方法用列舉法表示大于1小于10的所有偶數(shù)組成的集合.解大于1小于10的所有偶數(shù)有2，4，6，8，它們所組成的集合可表示為｛2，4，6，8｝.【例1】第二節(jié)集合的表示方法用列舉法表示方程x2+x-6=0的解集.解解方程x2+x-6=0得x1=-3，x2=2，所以該方程的解集為｛-3，2｝.【例2】第二節(jié)集合的表示方法做一做用列舉法表示下列集合：（1）英文單詞good中的字母組成的集合；（2）2,1,2,3組成的集合；（3）不大于8的非負(fù)整數(shù)；（4）方程x2-6x+8=0的解集.第二節(jié)集合的表示方法有的集合用列舉法表示起來(lái)是很不方便的，如“由大于2的所有實(shí)數(shù)組成的集合”，大于2的實(shí)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，顯然無(wú)法用列舉法將該集合的元素一一列出，此時(shí)用描述法來(lái)表示該集合則比較方便.

把描述集合元素的特征性質(zhì)或表示集合中元素的規(guī)律寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)用來(lái)表示集合的方法叫作描述法.例如上述“由大于2的所有實(shí)數(shù)組成的集合”，可以看出該集合的元素都具有如下性質(zhì)：都是實(shí)數(shù)，都大于2.因此，該集合可用描述法表示為

｛x︱x>2，x∈R｝.描述法二、第二節(jié)集合的表示方法花括號(hào)內(nèi)豎線左側(cè)的x表示這個(gè)集合中的任意一個(gè)元素，元素x從實(shí)數(shù)集R中取值，豎線的右側(cè)寫(xiě)出的是元素的特征性質(zhì).

如果從上下文可以明顯看出集合的元素為實(shí)數(shù)，則x∈R也可以省略不寫(xiě)，如上述的集合可表示為

｛x︱x>2｝.第二節(jié)集合的表示方法由第一象限所有的點(diǎn)組成的集合怎么表示？想一想第二節(jié)集合的表示方法用描述法表示下列集合：（1）｛-1，1｝；（2）大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合；（3）不等式x+1≥0的解集.解（1）該集合的一個(gè)特征性質(zhì)可以描述為絕對(duì)值等于3的實(shí)數(shù)，即︱x︱=3，所以這個(gè)集合可表示為｛x︱︱x︱=3｝.（2）該集合的一個(gè)性質(zhì)可描述為x>3，且x=2k，k∈N，所以這個(gè)集合可以表示為｛x︱x>3，且x=2k，k∈N｝.（3）解不等式x+1≥0可得x≥-1，所以該不等式的解集為{x︱x≥-1}.【例3】第二節(jié)集合的表示方法用列舉法表示集合可以明確地看到集合的每個(gè)元素，而用描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性質(zhì)，因此在具體的應(yīng)用中要根據(jù)實(shí)際情況靈活選用.第二節(jié)集合的表示方法

做一做1.已知集合A={3,a+2,5}，則由a的取值組成的集合可表示為_(kāi)__________.2.用描述法表示下列集合：（1）小于100的所有自然數(shù)組成的集合；（2）1,3,5,7,9；（3）絕對(duì)值小于6的所有實(shí)數(shù)組成的集合；（4）不等式x-8≥0的解集.第三節(jié)集合之間的關(guān)系子集一、觀察下列集合：（1）A=｛2，4，6｝，B=｛2，4，6，8｝；（2）A=｛x︱x是長(zhǎng)方形｝，B=｛x︱x是平行四邊形｝.可以看出，上述集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素.一般地，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A就叫作集合B的子集，記作A

B或B

A，讀作“A包含于B”或“B包含A”.第三節(jié)集合之間的關(guān)系由上述子集的定義可知，任意一個(gè)集合A都是它自身的子集，即A

A.

規(guī)定：空集是任意一個(gè)集合的子集，即對(duì)于任意一個(gè)集合A，都有?A.

如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，記作A≦B或B≦A，第三節(jié)集合之間的關(guān)系讀作“A真包含于B”或“B真包含A”，可用圖1-1所示圖形來(lái)直觀地表示.圖1-1第二節(jié)集合之間的關(guān)系符號(hào)“∈”與符號(hào)“”表達(dá)的含義相同嗎？有什么區(qū)別？議一議第三節(jié)集合之間的關(guān)系用適當(dāng)?shù)姆?hào)（，，∈，）填空：（1）?_______{1,3，5,7，9}；（2）3_______{1,3，5,7，9}；（3）{3}_______{1,3，5,7，9}.解（1）空集是任何集合的子集，因此?

{1,3，5,7，9}.（2）因?yàn)?是集合{1,3，5,7，9}的元素，所以3∈{1,3，5,7，9}.（3）因?yàn)榧蟵3}的元素都是集合{1,3，5,7，9}的元素，所以{3}{1,3，5,7，9.}【例1】第三節(jié)集合之間的關(guān)系寫(xiě)出集合A=｛1，2，3｝的所有子集和真子集.分析

集合A中共有三個(gè)元素，要想一字不漏地寫(xiě)出其所有的子集，可按以下步驟來(lái)寫(xiě)：（1）因?yàn)榭占撬屑系淖蛹?，所以首先?xiě)出?；（2）寫(xiě)出由一個(gè)元素組成的子集，即｛1｝，｛2｝，｛3｝；（3）寫(xiě)出由兩個(gè)元素組成的子集，即｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝；（4）寫(xiě)出由三個(gè)元素組成的子集，即｛1，2，3｝.

【例2】第二節(jié)集合之間的關(guān)系解

集合A的所有子集為?，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝.在上述子集中除了集合A本身，即｛1，2，3｝，其余的全為集合A的真子集.第三節(jié)集合之間的關(guān)系

做一做1.指出下列各組集合之間的關(guān)系：（1）A={x|x≥1}，B={x|x=1}；（2）A={x|x是正方形}，B={x|x是四邊形}；（3）A={x|x=2k，k∈N}，B={x|x=4m，m∈N}；（4）A={x||x|=2}，B={-2,1,2}.2.寫(xiě)出集合紅色,藍(lán)色,綠色，黃色的所有非空真子集.第三節(jié)集合之間的關(guān)系集合的相等二、觀察集合A=｛1，2，3｝，B=｛x︱0<x<4，x∈N｝，可以看出，集合A和集合B的元素完全相同，只是兩個(gè)集合的表達(dá)方式不同.一般地，如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，或者集合B的每一個(gè)元素都是集合A的元素，那么就說(shuō)集合A等于集合B.第三節(jié)集合的運(yùn)算議一議集合A={x︱x∈B}與集合B相等嗎？第二節(jié)集合之間的關(guān)系判斷下列各組集合的關(guān)系：（1）A=｛2，3｝，B=｛1，2，3，4，5｝；（2）M=｛-3，3｝，N=｛x︱x2-9=0｝.解（1）AB.（2）由x2-9=0解得x1=3，x2=-3，所以集合N用列舉法表示為｛-3，3｝，則可看出這兩個(gè)集合相等，即M=N.【例3】第二節(jié)集合之間的關(guān)系做一做1.指出下列各組集合之間的關(guān)系：（1）A=?，B={x|x2+1=0}；（2）A={x|0<x≤3，x∈N}，B={0,1,2,3}.2.判斷集合{x|x=2}與集合{x|x2-4=0}的關(guān)系.3.已知{x|x2+bx+c=0}={1}，求b，c的值.第四節(jié)集合的運(yùn)算過(guò)去我們只對(duì)數(shù)或式子進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算或代數(shù)運(yùn)算，那么集合與集合之間可以進(jìn)行運(yùn)算嗎？

由兩個(gè)已知的集合按照某種指定的法則構(gòu)造出一個(gè)新的集合即為集合的運(yùn)算.第四節(jié)集合的運(yùn)算交集一、觀察集合：A=｛0，1，2，3，4，5｝，B=｛1，2，3，6，7，8｝，C=｛1，2，3｝，可以看出，集合C的元素恰好是集合A與集合B的所有共同元素.一般地，像上述那樣，給定兩個(gè)集合A、B，由既屬于A又屬于B的所有共同元素構(gòu)成的集合叫作集合A與B的交集，記作A∩B，第四節(jié)集合的運(yùn)算讀作“A交B”，可用圖1-2所示的陰影部分來(lái)形象地表示.圖1-2第四節(jié)集合的運(yùn)算兩個(gè)非空集合的交集可能是空集嗎？試舉例說(shuō)明.想一想第四節(jié)集合的運(yùn)算由交集的定義可知，對(duì)于任意兩個(gè)集合A、B，都有A∩B=B∩A；A∩A=A，A∩?=?；A∩BA，A∩BB.第四節(jié)集合的運(yùn)算已知A=｛-1，0，1，2，3｝，B=｛1，3，5，7｝，求A∩B.解A∩B=｛1，3｝，可用圖1-3來(lái)表示.【例1】圖1-3第四節(jié)集合的運(yùn)算已知A=｛x︱x是等腰三角形｝，B=｛x︱x是直角三角形｝，求A∩B.解A∩B=｛x︱x是等腰三角形｝∩｛x︱x是直角三角形｝=｛x︱x是等腰直角三角形｝.

【例2】第四節(jié)集合的運(yùn)算已知A=｛x︱-1<x≤1｝，B=｛x︱0<x<4｝，求A∩B.分析集合A，B是用描述法表示的集合，并且集合的元素沒(méi)法一一列舉出來(lái)，因此可以結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行解題.解在數(shù)軸上表示集合A，B，如圖1-4所示.圖1-4從圖中易看出，陰影部分即為集合A，B的交集，即

【例3】第四節(jié)集合的運(yùn)算已知A=｛（x，y）︱4x+y=6｝，B=｛（x，y）︱x+y=3｝，求A∩B.分析集合A，B的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），A，B的交集就是二元一次方程組的解集.【例4】第四節(jié)集合的運(yùn)算已知A=｛（x，y）︱4x+y=6｝，B=｛（x，y）︱x+y=3｝，求A∩B.分析集合A、B的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），A、B的交集就是二元一次方程組4x+y=6x+y=3的解集.解解方程組4x+y=6x+y=3得x=1，y=2.所以A∩B=｛（x，y）︱4x+y=6｝∩｛（x，y）︱x+y=3｝=（x，y）4x+y=6x+y=3=｛（1，2）｝.【例4】第四節(jié)集合的運(yùn)算例4中集合A、B的交集｛（1，2）｝能否寫(xiě)成｛1，2｝？有什么區(qū)別呢？議一議第四節(jié)集合的運(yùn)算做一做求下列每組集合的交集：（1）A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3，4，5，6｝；（2）P=｛1，3，5｝，Q=｛2，4，6｝;（3）A={x|x>-2},B={x|x≥1};（4）A={(x,y)|x+2y=6},B={x,y|5x-y=3}.第四節(jié)集合的運(yùn)算并集二、觀察下面三個(gè)集合：M=｛-2，-1，0｝，N=｛1，2，3，4｝，P=｛-2，-1，0，1，2，3，4｝，可以看出，集合P是集合M與集合N的所有元素組成的.

一般地，像上述那樣，對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、B，由集合A和集合B的所有元素組成的集合叫作集合A和集合B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”.第四節(jié)集合的運(yùn)算例如，集合A=｛-2，0，2｝與B=｛0，3，5｝的并集為A∪B=｛-2，0，2｝∪｛0，3，5｝=｛-2，0，2，3，5｝.由并集的定義可知，對(duì)于任意兩個(gè)集合A、B，都有A∪B=B∪A；A∪A=A，A∪?=A；A

A∪B，B

A∪B.第四節(jié)集合的運(yùn)算在求并集時(shí)，兩個(gè)集合中相同的元素只列舉一次，不能重復(fù)列舉.注意第四節(jié)集合的運(yùn)算集合A和集合B的并集可以用圖1-5中陰影部分來(lái)表示.圖1-5第四節(jié)集合的運(yùn)算已知A=｛3，4，5，6｝，B=｛5，6，7，8｝，求A∪B.

解

A∪B=｛3，4，5，6｝∪｛5，6，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝.【例5】第四節(jié)集合的運(yùn)算已知A=｛x︱-1<x≤2｝，B=｛x︱0<x≤3｝，求A∪B.分析本題結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行解題比較直觀.解將集合A和集合B在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖1-6所示：則可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3｝.【例6】圖1-6第四節(jié)集合的運(yùn)算某班同學(xué)參加數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩個(gè)興趣小組，規(guī)定每名同學(xué)必須至少參加其中的一項(xiàng)，有19名同學(xué)參加了數(shù)學(xué)興趣小組，有23名同學(xué)參加了英語(yǔ)興趣小組，其中5名同學(xué)既參加了數(shù)學(xué)興趣小組又參加了英語(yǔ)興趣小組，試問(wèn)該班總?cè)藬?shù)是多少？解用A，B分別表示由參加數(shù)學(xué)興趣小組和英語(yǔ)興趣小組的同學(xué)組成的集合，班上所有人組成的集合為A∪B.由于有5名同學(xué)既屬于A又屬于B，因此A∪B的元素?cái)?shù)目等于19+23-5=37,即班上總共有37人.【例7】第四節(jié)集合的運(yùn)算做一做求下列每組集合的并集：（1）A=a,b,c,d,e，B=f,g；（2）A=x1,2,3,4,5,6，B=5,6,7,8,9,10；（3）A=x-3≤x≤7，B=x0≤x≤9；（4）A=x2x-3y+1=0，B=xx+2y=0.第四節(jié)集合的運(yùn)算補(bǔ)集三、在研究集合與集合的關(guān)系時(shí)，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，則稱這個(gè)給定的集合為全集，一般用U表示.例如，在研究數(shù)集時(shí)，常常把實(shí)數(shù)集R作為全集.如果給定某一集合A是全集U的一個(gè)子集，則U中不屬于A的所有元素組成的集合叫作A在全集U中的補(bǔ)集，記作第四節(jié)集合的運(yùn)算讀作“A在U中的補(bǔ)集”，即

UA=｛x︱x∈U且x∈A｝.用圖形表示集合時(shí)，通常用矩形區(qū)域表示全集.全集U與它的任意一個(gè)真子集A之間的關(guān)系可用圖1-7來(lái)表示，其中陰影部分表示A在U中的補(bǔ)集.由補(bǔ)集的定義可知，對(duì)于任意集合A，都有圖1-7第四節(jié)集合的運(yùn)算如果全集U為實(shí)數(shù)集R，則集合A在U中的補(bǔ)集也可寫(xiě)成.注意第三節(jié)集合的運(yùn)算【例8】第三節(jié)集合的運(yùn)算【例8】第三節(jié)集合的運(yùn)算做一做求下列每組集合的補(bǔ)集：（1）U={x|x是小李所在班的所有學(xué)生}，A={x|x是小李所在班這次參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的學(xué)生}；（2）U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2,4,6,8}；（3）U={x|-3≤x≤7}，A={x|0≤x≤3}；（4）U是自然數(shù)集，A是正整數(shù)集.第五節(jié)命題命題的概念一、用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫作命題.其中正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題.例如：(1)1+1=2;(2)河北的省會(huì)是石家莊；（3）所有的自然數(shù)都大于0；（4）?={0}.這些語(yǔ)句都是命題，其中（1）、（2）是真命題，（3）、（4）是假命題.第五節(jié)命題又如：1+1=2嗎？姚明長(zhǎng)得真高！請(qǐng)不要遲到.這些語(yǔ)句都不是命題，因?yàn)橐蓡?wèn)句、感嘆句和祈使句都不可以判斷真假，不滿足命題的定義.為方便起見(jiàn)，常用大寫(xiě)字母P,Q,R等作為命題的記號(hào).第五節(jié)命題下列語(yǔ)句中哪些是命題?是真命題還是假命題?(1)矩形的對(duì)角線相等；(2)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎?(3)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；(4)兩個(gè)全等三角形的面積相等；(5)若方程x2+a=0無(wú)實(shí)根，則a≥0；(6)x>13．【例1】第五節(jié)命題分析判斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題，要看它是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個(gè)條件．解上面6個(gè)語(yǔ)句中，(2)不是陳述句，所以它不是命題；(6)雖然是陳述句，但因?yàn)闊o(wú)法判斷它的真假，所以也不是命題；其余4個(gè)都是陳述句，而且都可以判斷真假，所以它們都是命題，其中(1)、(4)是真命題，(3)、(5)是假命題．第五節(jié)命題做一做指出下面語(yǔ)句哪些是命題？哪些不是命題？如果是命題，請(qǐng)指出其真假：（1）我國(guó)四大發(fā)明不包括造紙術(shù)；（2）42不能被3整除；（3）5是偶數(shù)；（4）請(qǐng)你現(xiàn)在來(lái)一下辦公室.第五節(jié)命題四種命題二、原命題和逆命題1.一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題．其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題．也就是說(shuō)，如果原命題為“若p，則q”，那么它的逆命題為“若q，則p”．例如，將命題“若a=b，則a2=b2”的條件和結(jié)論互換，就得到它的逆命題“若a2=b2，則a=b”．第五節(jié)命題否命題2.如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互否命題．如果把其中一個(gè)命題稱為原命題，那么另一個(gè)稱為原命題的否命題．也就是說(shuō)，如果原命題為“若p，則q”，那么它的否命題為“若非p，則非q”．為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，常將否命題記為“若p，則q”．例如，如果原命題是“若a=b，則a2=b2”，那么它的否命題是“若a≠b，則a2≠b2”．第五節(jié)命題逆否命題3.如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互為逆否命題．如果把其中的一個(gè)命題稱為原命題，那么另一個(gè)稱為原命題的逆否命題．也就是說(shuō)，如果原命題為“若p，則q”，那么它的逆否命題為“若非q，則非p”．同理，常將逆否命題記為“若q，則p”．第五節(jié)命題如果原命題是真命題，那么它的逆命題、否命題和逆否命題是真命題嗎？想一想第五節(jié)命題例如，如果原命題是“若a=b，則a2=b2”，那么它的逆否命題是“若a2≠b2，則a≠b”．綜上可知，設(shè)命題“若p，則q”為原命題，那么命題“若q，則p”是原命題的逆命題；命題“若p，則q”是原命題的否命題；命題“若q，則p”是原命題的逆否命題．第五節(jié)命題四種命題間的相互關(guān)系4.原命題、逆命題、否命題、逆否命題之間的相互關(guān)系如圖1-9所示．圖1-9第五節(jié)命題一般地，四種命題的真假性之間具有如下關(guān)系：如果兩個(gè)命題互為逆否命題，那么它們具有相同的真假性(即同為真命題或同為假命題)；如果兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．例如，在以下四個(gè)命題中，若設(shè)命題(1)是原命題，顯然命題(2)、(3)、(4)分別是它的逆命題、否命題和逆否命題．(1)若a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)；(2)若a+b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)；(3)若a，b不都是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù)；(4)若a+b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)．第四節(jié)邏輯關(guān)系此外，我們發(fā)現(xiàn)，命題(2)、(3)互為逆否命題，命題(2)、(4)為互否命題，命題(3)、(4)為互逆命題．不難判斷，原命題(1)是真命題，它的逆命題(2)是假命題，它的否命題(3)是假命題，而它的逆否命題(4)是真命題．總結(jié)而言，命題(1)、(4)互為逆否命題，它們同為真命題；命題(2)、(3)互為逆否命題，它們同為假命題；其他兩兩命題的真假性之間沒(méi)有關(guān)系．第五節(jié)命題寫(xiě)出命題“若xy=0，則x=0或y=0”的逆命題、否命題和逆否命題．解原命題：若xy=0，則x=0或y=0.逆命題：若x=0或y=0，則xy=0.否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0.逆否命題：若x≠0且y≠0，則xy≠0．【例2】第五節(jié)命題將下列命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，同時(shí)寫(xiě)出它的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷它們的真假．(1)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)；(2)個(gè)位上數(shù)字為0的整數(shù)能被5整除.解

(1)原命題可以改寫(xiě)成：若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)．逆命題：若一個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù).否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方不是負(fù)數(shù).逆否命題：若一個(gè)數(shù)的立方不是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)．原命題、逆命題、否命題和逆否命題均是真命題．【例3】第五節(jié)命題(2)原命題可以改寫(xiě)成：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位上數(shù)字為0，則它能被5整除．逆命題：若一個(gè)整數(shù)能被5整除，則它的個(gè)位上數(shù)字為0.否命題：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位上數(shù)字不為0，則它不能被5整除.逆否命題：若一個(gè)整數(shù)不能被5整除，則它的個(gè)位上數(shù)字不為0．原命題和逆否命題是真命題，逆命題和否命題是假命題．第五節(jié)命題做一做

1．下列語(yǔ)句中哪些是命題？是真命題還是假命題?(1)|-1|=1；(2)x2-1=0；(3)1+1>2；(4)等邊三角形不是等腰三角形；(5)201450是個(gè)大數(shù)；(6)若一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，則這個(gè)三角形的兩條邊相等．第五節(jié)命題2．指出下列命題中的條件p和結(jié)論q，并判斷它們的真假：(1)若x，y互為倒數(shù)，則xy=1；(2)若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)；(3)若a>b，則ac2>bc2．3．寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假：(1)若｜x｜=｜y｜，則x=y；(2)若x=1,則x2=1．第六節(jié)充要條件觀察下列推論是否成立：

（a）x=2，則x2=4；

（b）xy=0，則x=0.

顯然，由（a）中的“x=2”則一定能推斷出“x2=4”；由（b）中的“xy=0”則不能推斷出“x=0”，因?yàn)橛锌赡躽=0.

像上述那樣，已知條件p和結(jié)論q：

（1）如果由條件p成立可推出結(jié)論q成立，則說(shuō)條件p是結(jié)論q的充分條件，記作“p=q”.上述（a）中，條件p：x=2，結(jié)論q：x2=4，即“x=2”是“x2=4”的充分條件.（2）如果由結(jié)論q成立可推出條件p成立，則說(shuō)條件p是結(jié)論q的必要條件，記作“q=p（或p=q）”.上述（b）中，條件p：xy=0，結(jié)論q：x=0，即“xy=0”是“x=0”的必要條件.

如果p=q，且p=q，那么p是q的充分且必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件，記作“p=q”.第六節(jié)充要條件第六節(jié)充要條件（1）p:x>3，q:x>5；（2）p:x-2=0，q:x-2x+4=0；（3）p:-6x>3，q:x<-12.解（1）由條件x>3成立不能推出結(jié)論x>5成立，如x=4時(shí)，4>3但4<5，因此p不是q的充分條件；而由結(jié)論x>5可以推出條件x>3成立，所以p是q的必要不充分條件.【例】第六節(jié)充要條件（2）由條件x-2=0能夠推出結(jié)論x-2x+4=0成立，但是由結(jié)論x-2x+4=0不能推出條件x-2=0成立，所以p是q的充分不必要條件.（3）由條件-6x>3成立能夠推出結(jié)論x<-12成立，而由結(jié)論x<-12成立也能夠推出條件-6x>3成立，所以p是q的充要條件.【例】第六節(jié)充要條件做一做1.填空題（充分、必要、充要）：（1）“x2=y2”是“x=y”的_______條件；（2）“內(nèi)錯(cuò)角相等”是“兩直線平行”的_____條件；（3）“ac=bc”是“a=b”的_______條件；（4）“x=0”是“xy≠0”的_______條件.2.指出條件p是結(jié)論q的什么條件：（1）p：x>5，q：x>10；（2）p：a=0，q：a+b=b；（3）p：x>0，q：x>0；（4）p：x=2，q：x2-4x+4=0.感謝聆聽(tīng)批評(píng)指導(dǎo)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊（上冊(cè)）不等式第二

單元不等式的基本性質(zhì)第一節(jié)區(qū)間第二節(jié)一元二次不等式及解法第三節(jié)分式不等式及其解法第四節(jié)目錄CONTENTS含絕對(duì)值的不等式第五節(jié)引例建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶總面積要小于該住宅的占地面積.窗戶的總面積與占地面積的比值越大，住宅的采光條件越好.如果同時(shí)增加相等的窗戶面積與住宅的占地面積，住宅的采光條件是變好了還是變差了？第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)實(shí)數(shù)大小的比較一、如果沒(méi)有任何度量工具，怎么才能知道高矮差不多的兩個(gè)同學(xué)的身高之間的不等關(guān)系呢？我們一般采用的比較方法是讓這兩個(gè)同學(xué)背靠背地站在同一高度的地面上，這時(shí)兩個(gè)同學(xué)誰(shuí)高誰(shuí)低一看便知.在數(shù)學(xué)中，我們比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差即可.對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，有a-b＞0=a＞b；a-b＜0=a＜b；a-b=0=a=b.第一節(jié)不等式的概念與性質(zhì)【例1】第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)【例2】第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)已知實(shí)數(shù)a、b，且a＞b＞0，試比較a2b與ab2的大小.議一議第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)做一做第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)二、在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的三條基本性質(zhì)，本小節(jié)將進(jìn)一步闡述并證明不等式的基本性質(zhì).性質(zhì)1如果a＞b，且b＞c，則a＞c.證明a＞b=a-b＞0，b＞c=b-c＞0，因此，根據(jù)兩正數(shù)之和為正數(shù)得（a-b）+（b-c）＞0，即a-c＞0，所以a＞c.性質(zhì)1所描述的不等式的性質(zhì)稱為不等式的傳遞性.第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)2

如果a＞b，則a+c＞b+c.證明

因?yàn)閍＞b，所以a-b＞0.又因?yàn)椋╝+c）-（b+c）=a-b＞0，所以a+c＞b+c.性質(zhì)2表明，不等式兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，因此將性質(zhì)2稱為不等式的加法性質(zhì).第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)3如果a＞b，c＞0，則ac＞bc；如果a＞b，c＜0，則ac＜bc.

性質(zhì)3表明，不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.因此將性質(zhì)3稱為不等式的乘法性質(zhì).第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)用“＞”或“＜”填空，并指出應(yīng)用了不等式的哪條性質(zhì)：（1）已知a＜b，則a+3

b+3；（2）已知a＞b，則12a

12b；（3）已知a＞b，則-2a

-2b.

（4）若a＞b,則5-2a______5-2b.解（1）a+3＜b+3，應(yīng)用了不等式的性質(zhì)2.（2）2a＞2b，應(yīng)用了不等式的性質(zhì)3.（3）-2a＜-2b，應(yīng)用了不等式的性質(zhì)3.

（4）5-2a＜5-2b，應(yīng)用了不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)3.【例3】第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)用“＞”或“＜”填空，并指出應(yīng)用了不等式的哪條性質(zhì)：（1）已知a＜b，則a+3

b+3；（2）已知a＞b，則12a

12b；（3）已知a＞b，則-2a

-2b.

（4）若a＞b,則5-2a______5-2b.解（1）a+3＜b+3，應(yīng)用了不等式的性質(zhì)2.（2）2a＞2b，應(yīng)用了不等式的性質(zhì)3.（3）-2a＜-2b，應(yīng)用了不等式的性質(zhì)3.

（4）5-2a＜5-2b，應(yīng)用了不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)3.【例3】第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)證明下列不等式：（1）已知a＞b，c＞d，求證a+c＞b+d；（2）已知a＞b＞0，c＞d＞0，求證ac＞bd.證明（1）因?yàn)閍＞b，所以a+c＞b+c.又因?yàn)閏＞d，所以b+c＞b+d.根據(jù)不等式的傳遞性可得a+c＞b+d.【例4】第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)（2）因?yàn)閍＞b，c＞0，所以ac＞bc.又因?yàn)閏＞d，b＞0，所以bc＞bd.因此，根據(jù)不等式的傳遞性可得ac＞bd.【例4】第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)某工人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)加工400個(gè)零件，如果他每小時(shí)加工50個(gè)便可按時(shí)完成任務(wù)，在他加工2個(gè)小時(shí)后，因有事停工了1個(gè)小時(shí)，而后繼續(xù)加工零件，問(wèn)為了能夠按時(shí)或提前完成任務(wù)，該工人在以后的時(shí)間內(nèi)平均每小時(shí)至少要加工多少個(gè)零件？解設(shè)該工人在以后的時(shí)間內(nèi)平均每小時(shí)至少要加工x個(gè)零件，根據(jù)題意得50×2+（400/50-2-1）x≥400，解得x≥60.因此，該工人在以后的時(shí)間內(nèi)平均每小時(shí)至少要加工60個(gè)零件.【例5】第一節(jié)不等式的基本性質(zhì)做一做1.填空題：（1）若2-3x>8，則x<______.（2）若1-5x<-1，則x>______.2.用符號(hào)“>”或“<”填空：（1）已知a>b，則a-3______b-3；（2）已知a<b，則3a______3b；（3）已知a>b，則-3a______-3b；（4）已知a<b，則1-a______1-b.3.設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，試判斷ab-a2與b2-ab的大小.第二節(jié)區(qū)間區(qū)間是數(shù)集的一種表示形式，其表示形式與集合的表示形式相同.第二節(jié)區(qū)間有限區(qū)間一、我們知道，實(shí)數(shù)集是與數(shù)軸上的點(diǎn)集一一對(duì)應(yīng)的，如集合｛x︱1＜x＜3｝可以在數(shù)軸上表示如圖2-1所示.圖2-1第二節(jié)區(qū)間由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的所有實(shí)數(shù)所組成的集合叫作區(qū)間，這兩個(gè)點(diǎn)叫作區(qū)間端點(diǎn).不含端點(diǎn)的區(qū)間叫作開(kāi)區(qū)間，如圖2-1中，集合｛x︱1＜x＜3｝即表示的是開(kāi)區(qū)間，記作（1，3）.其中1表示區(qū)間的左端點(diǎn)，3表示區(qū)間的右端點(diǎn).在數(shù)軸上表示區(qū)間時(shí)，開(kāi)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示（見(jiàn)圖2-1）.第二節(jié)區(qū)間含有兩個(gè)端點(diǎn)的區(qū)間叫作閉區(qū)間，如圖2-2中，集合｛x︱1≤x≤3｝表示的區(qū)間即為閉區(qū)間，記作［1，3］.在數(shù)軸上表示閉區(qū)間時(shí)，其兩個(gè)端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示.圖2-2第二節(jié)區(qū)間只含左端點(diǎn)的區(qū)間叫作右半開(kāi)區(qū)間，如集合｛x︱1≤x＜3｝表示的區(qū)間即為右半開(kāi)區(qū)間，記作［1，3）；只含右端點(diǎn)的區(qū)間叫作左半開(kāi)區(qū)間，如集合｛x︱1＜x≤3｝表示的區(qū)間即為左半開(kāi)區(qū)間，記作（1，3］.第二節(jié)區(qū)間已知集合A=（0，3），B=［1，5），求A∪B，A∩B.解集合A、B用數(shù)軸表示如圖2-3所示，由圖可看出A∪B=（0，5），A∩B=［1，3）.

【例1】圖2-3第二節(jié)區(qū)間綜上所述,設(shè)a,b為任意實(shí)數(shù),且a<b,則有（1）開(kāi)區(qū)間：集合{x|a<x<b}區(qū)間{a,b}；（2）閉區(qū)間：集合{x|a≤x≤b}區(qū)間{a,b}；（3）右半開(kāi)區(qū)間：集合{x|a≤x<b}區(qū)間{a,b}；（4）左半開(kāi)區(qū)間:集合{x|a<x≤b}區(qū)間{a,b}.以上介紹的開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、右半開(kāi)區(qū)間和左半開(kāi)區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間.第二節(jié)區(qū)間

做一做1.已知集合A={-2,2},B={1,4},求A∪B,A∩B.2.已知集合A={-3,2},B={0,5},求A∪B,A∩B.3.已知集合A={-1,3},B={0,2},求A∪B,A∩B.4.已知集合A={-4,2},B={-1,5},求A∪B,A∩B.第二節(jié)區(qū)間無(wú)限區(qū)間二、集合｛x︱x＞1｝可在數(shù)軸上表示如圖2-4所示.“+∞”與“-∞”只是符號(hào)，而不是表示具體的數(shù).注意第二節(jié)區(qū)間由圖2-4可以看出，集合｛x︱x＞1｝表示的區(qū)間的左端點(diǎn)為1，沒(méi)有右端點(diǎn)，這時(shí)可將其記作（1，+∞），其中“+∞”讀作“正無(wú)窮大”，表示右端點(diǎn)可以沒(méi)有具體的數(shù)，可以任意大.同樣，集合｛x︱x＜1｝表示的區(qū)間可記作（-∞，1），其中“-∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”.第二節(jié)區(qū)間集合｛x︱x≥1｝表示的區(qū)間為［1，+∞），是右半開(kāi)區(qū)間；集合｛x︱x≤1｝表示的區(qū)間為（-∞，1］，是左半開(kāi)區(qū)間.由上可以看出，一般可以用區(qū)間來(lái)表示的集合用區(qū)間表示會(huì)更方便.第二節(jié)區(qū)間將實(shí)數(shù)集R看成一個(gè)大區(qū)間，怎么用區(qū)間來(lái)表示呢？表示出的是閉區(qū)間還是開(kāi)區(qū)間？想一想第二節(jié)區(qū)間已知全集為實(shí)數(shù)集R，集合A=（-∞，4），B=［1，6），求：（1）A∪B，A∩B；（2）A，B；（3）B∩A.解集合A、B在數(shù)軸上表示如圖2-5所示.

【例2】圖2-5第二節(jié)區(qū)間綜上所述,設(shè)a,b為任意實(shí)數(shù),且a<b,則有（1）集合{x|x>a}區(qū)間（a,+∞）；（2）集合{x|x<b}區(qū)間（-∞,b）；（3）集合{x|x≥a}區(qū)間（a,+∞）；（4）集合{x|x≤b}區(qū)間（-∞,b）；（5）實(shí)數(shù)集R如果用區(qū)間來(lái)表示，可以記作（-∞,+∞）.第二節(jié)區(qū)間

做一做1.已知集合A={-∞,2},B={-∞,4},求A∪B,A∩B.2.已知集合A={0,3},B={2,+∞},求A∪B,A∩B.3.設(shè)全集為R,集合A={-∞,-1},B={-5,+∞},求:第三節(jié)一元二次不等式及解法觀察下面兩個(gè)不等式：（1）x2-2x+1＞0；（2）x2-3x+10≤0.可以看出，這兩個(gè)不等式的共同特點(diǎn)是：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）未知數(shù)x的最高次數(shù)都是2.

一般地，像上述那樣，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式，叫作一元二次不等式，它的一般形式為ax2+bx+c＞（≥）0或ax2+bx+c＜（≤）0，其中，a、b、c為常數(shù)，且a≠0.第三節(jié)一元二次不等式及解法上述一元二次不等式的一般形式的左邊恰好是自變量為x的一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式.下面我們將通過(guò)實(shí)例來(lái)研究一元二次不等式的解法，以及它與相應(yīng)的函數(shù)、方程之間的關(guān)系.例如，求不等式x2-x-2＞0與x2-x-2＜0的解集.

首先，解方程x2-x-2=0得x1=-1，x2=2.圖像法一、第三節(jié)一元二次不等式及解法然后，畫(huà)出函數(shù)y=x2-x-2圖像，如圖2-6所示.圖2-6第三節(jié)一元二次不等式及解法由圖2-6可看出：（1）函數(shù)y=x2-x-2的圖像與x軸的交點(diǎn)為（-1，0）和（2，0），這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好是方程x2-x-2=0的兩個(gè)解；（2）當(dāng)x=-1或x=2時(shí)，函數(shù)圖像與x軸相交，y=0；（3）當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，函數(shù)圖像位于x軸下方，y＜0；（4）當(dāng)x＜-1或x＞2時(shí)，函數(shù)圖像位于x軸上方，y＞0.第三節(jié)一元二次不等式及解法由上可知，可以利用一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像來(lái)解一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0，一般可分為如下三種情況：（?。┊?dāng)方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2（x1＜x2），此時(shí)函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即（x1，0）、（x2，0），如圖2-8（a）所示，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為（-∞，x1）∪（x2，+∞）;不等式ax2+bx+c＜0的解集為（x1，x2）.第三節(jié)一元二次不等式及解法（ⅱ）當(dāng)方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此時(shí)函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，如圖2-8（b)所示，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為實(shí)數(shù)集R，不等式ax2+bx+c＜0的解集為?.圖2-8第三節(jié)一元二次不等式及解法（ⅲ）當(dāng)方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x0，此時(shí)函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即（x0，0），如圖2-8(c)所示，則不等式ax2+bx+c＞0的解集為（-∞，x0）∪（x0，+∞），不等式ax2+bx+c＜0的解集為?.第三節(jié)一元二次不等式及解法如果一元二次不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，即a＜0，則可以根據(jù)不等式的性質(zhì)，將不等式兩邊同乘以-1，使其二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，然后再求解.注意第三節(jié)一元二次不等式及解法解下列一元二次不等式：（1）x2+x-2＞0；（2）x2+x-2＜0.解方程x2+x-2=0的判別式為Δ=12-4×1×（-2）=9＞0，解方程得x1=-2，x2=1.（1）不等式x2+x-2＞0的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）；（2）不等式x2+x-2＜0的解集為（-2，1）.

【例1】第三節(jié)一元二次不等式及解法不等式x2+x-2≥0的解集是什么？不等式x2+x-2≤0的解集是什么？想一想第三節(jié)一元二次不等式及解法解一元二次不等式4x2-4x+1＞0.解方程4x2-4x+1=0的判別式為Δ=（-4）2-4×4×1=0，解方程得x=1/2.所以不等式4x2-4x+1＞0的解集為{-∞，1/2}∪{1/2，+∞}.【例2】第三節(jié)一元二次不等式及解法解一元二次不等式-x2-3x-5≥0.解根據(jù)不等式的性質(zhì)，將原不等式兩邊同乘-1，整理得x2+3x+5≤0.方程x2+3x+5=0的判別式為Δ=32-4×1×5=-11＜0，所以方程x2+3x+5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式x2+3x+5≤0的解集為?.從而原不等式的解集是?.【例3】第三節(jié)一元二次不等式及解法不等式-x2-3x-5≥0的解集與不等式x2+3x+5≤0的解集有什么區(qū)別？議一議第三節(jié)一元二次不等式及解法做一做用圖像法解下列不等式：（1）x（x-2）<0；（2）2x2-5x+3≥0；（3）（x+1）（x-1）>0；（4）9x2-6x+1≥0；（5）（x+3）（x-5）>2x-1；（6）1-4x2>4x+2.第三節(jié)一元二次不等式及解法除了利用圖像法外，還可以利用因式分解法來(lái)求解一元二次不等式.例如，求不等式x-a2≥b的解集.第一步，將不等式右側(cè)的值移到左側(cè)，使得不等式的右端變成0，得（x-a）2-b≥0；第二步，左端用平方差公式分解因式并化簡(jiǎn)，得（x-c）（x-d）≥0；第三步，根據(jù)“同號(hào)兩數(shù)相乘得正數(shù),異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù)”，將不等式轉(zhuǎn)換成兩個(gè)一元一次不等式組,進(jìn)而求解.得x-c≥0,x-d≥0或x-c≤0,x-d≤0.第三節(jié)一元二次不等式及解法【例4】第三節(jié)一元二次不等式及解法【例5】第三節(jié)一元二次不等式及解法做一做用因式分解法求解下列不等式:(1)x2-2x-3>0;(2)x2+4x-12>0;(3)(x-2)2≥1.第四節(jié)分式不等式及其解法前面我們所學(xué)習(xí)的不等式中包含的代數(shù)式都是整式，此外還常見(jiàn)到下面形式的不等式：等等.這些不等式的一個(gè)共同點(diǎn)是：不等式所包含的代數(shù)式中有分式，我們把這樣的不等式叫作分式不等式.第四節(jié)分式不等式及其解法分式不等式可以按照一元二次不等式的求解思路，將其轉(zhuǎn)換成不等式組的形式求解.第四節(jié)分式不等式及其解法【例1】第四節(jié)分式不等式及其解法【例2】第四節(jié)分式不等式和絕對(duì)值不等式做一做第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式在初中我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有︱x︱≥0，且有︱x︱的幾何意義是在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式叫作含絕對(duì)值的不等式.第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式1.根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，不等式︱x︱＞1表示的是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于1的所有點(diǎn)的集合，在數(shù)軸上表示如圖2-9（a）所示；︱x︱＜1表示的是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于1的所有點(diǎn)的集合，在數(shù)軸上表示如圖2-9（b）所示.圖2-9第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式由圖2-9（a）可看出，不等式︱x︱＞1的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）；由圖2-9（b）可看出，不等式︱x︱＜1的解集為（-1，1）.一般地，不等式︱x︱＞a（a＞0）的解集為（-∞，-a）∪（a，+∞），不等式︱x︱＜a（a＞0）的解集為（-a，a）.第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式【例1】第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式做一做解下列不等式：（1）1-︱x︱≤0；（2）3︱x︱-2≥0；（3）1/2︱x︱<3；（4）︱2x︱>5/4.第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式2.對(duì)于︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式可以轉(zhuǎn)化為︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型來(lái)求解.例如，解不等式︱2x+1︱＜1，可先設(shè)2x+1=m，則不等式︱2x+1︱＜1可化為︱m︱＜1，可解得-1<m<1，即-1<2x+1<1，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得-1<x<0，第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式則原不等式︱2x+1︱＜1的解集為（-1，0）.像上述那樣，將︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式轉(zhuǎn)化為︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式來(lái)求解的方法稱為“變量替換法”或“換元法”，即用新的簡(jiǎn)單的變量（如上述的“m”）來(lái)替換原來(lái)的變量（如上述的“2x+1”），從而將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.在實(shí)際的運(yùn)算過(guò)程中，變量替換的過(guò)程可以省略不寫(xiě).第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式解不等式︱2-x︱＞5.解由原不等式可得2-x＞5或2-x＜-5，解得x＜-3或x＞7，所以不等式︱2-x︱＞5的解集為（-∞，-3）∪（7，+∞）.

【例2】第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式不等式︱2-x︱＞5的解集與不等式︱x-2︱＞5的解集一樣嗎？想一想第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式【例3】解不等式|2x+1|≤7.解由原不等式可得-7≤2x+1≤7，解得-4≤x≤3，所以原不等式的解集為[-4,3].第五節(jié)含絕對(duì)值的不等式做一做1.解下列各不等式：（1）|2x+1|>7；（2）2≤|1-2x|；（3）|x+1|<0.2；（4）|3x+5|≤7.2.已知不等式|x-a|<1與不等式x2-8x+15<0的解集相同，求實(shí)數(shù)a的值.3.解下列不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái).（1）|x-4|<2；（2）|x+2|<5;（3）|2x-3|≤15；（4）|1-x|≥4.感謝聆聽(tīng)批評(píng)指導(dǎo)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊（上冊(cè)）函數(shù)第三

單元函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)的表示方法第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)反函數(shù)第四節(jié)目錄CONTENTS函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例第五節(jié)引例星期天，媽媽讓小明去看外婆，小明家離外婆家12km，他想乘出租車去，出租車計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下：行駛路程在3km以內(nèi)（含3km）收費(fèi)10元，以后每行駛1km收費(fèi)2.1元；若行駛總路程超過(guò)10km，則超過(guò)部分按2.6元/km計(jì)費(fèi)，可媽媽只給小明30元錢(qián)，請(qǐng)你幫小明想一想，用這30元錢(qián)乘出租車夠嗎？第一節(jié)函數(shù)的概念在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了變量與函數(shù)的概念.在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定了一個(gè)x值，就有唯一的一個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.例如，一輛汽車以60千米/小時(shí)的速度勻速行駛，則在t小時(shí)里汽車行駛的路程為s=60t，這里的時(shí)間t為自變量，路程s為因變量，時(shí)間t在某個(gè)范圍內(nèi)變化，路程s也相應(yīng)地在某個(gè)范圍內(nèi)變化，路程s是時(shí)間t的函數(shù).第一節(jié)函數(shù)的概念用變量的觀點(diǎn)來(lái)描述函數(shù)，可以形象地描述事物的變化規(guī)律，但有一定的局限性.先看下面的問(wèn)題：?jiǎn)栴}一y=1(x∈R)是一個(gè)函數(shù)嗎？問(wèn)題二

函數(shù)y=x與函數(shù)y=x2x是同一個(gè)函數(shù)嗎？初中學(xué)過(guò)的函數(shù)概念很難回答這些問(wèn)題，于是，我們從新的角度給出函數(shù)的定義：設(shè)集合D是一個(gè)非空集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于D中的任意一個(gè)數(shù)x，都有唯一確定的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫作集合D上的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x∈D.第一節(jié)函數(shù)的概念其中x叫作自變量，自變量x的取值范圍（集合D）叫作函數(shù)f(x)的定義域，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y︱y=f(x),x∈D}叫作函數(shù)f(x)的值域.當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)的值y0叫作函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作y0=f(x0).該定義使用了集合語(yǔ)言確切地刻畫(huà)了函數(shù)，更具有一般性.從中我們還可以看出，函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定的，因此一個(gè)函數(shù)的確定只需要兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則.第一節(jié)函數(shù)的概念

在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)所研究的問(wèn)題的實(shí)際意義確定的；對(duì)于用解析式表示的函數(shù)，如果不考慮問(wèn)題的實(shí)際意義，則函數(shù)的定義域就是能夠使函數(shù)式有意義的所有實(shí)數(shù)的集合.第一節(jié)函數(shù)的概念（1）兩個(gè)函數(shù)相同必須是它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別完全相同.（2）有時(shí)給出的函數(shù)沒(méi)有明確說(shuō)明定義域，此時(shí)的定義域就是使函數(shù)關(guān)系式有意義的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合;在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域還要受到自變量實(shí)際意義的制約.注意第一節(jié)函數(shù)的概念【例1】求下列函數(shù)在指定處的函數(shù)值.(1)f(x)=3x+1在x=0，x=1處的函數(shù)值；(2)f(x)=x2+1在x=-1，x=3處的函數(shù)值.解(1)f(0)=3×0+1=1,f(1)=3×1+1=3+1=4.(2)f(-1)=(-1)2+1=2,f(3)=32+1=10.第一節(jié)函數(shù)的概念【例2】第一節(jié)函數(shù)的概念【例3】第一節(jié)函數(shù)的概念【例4】第一節(jié)函數(shù)的概念本節(jié)剛開(kāi)始提出的問(wèn)題一和問(wèn)題二的答案是什么？想一想第一節(jié)函數(shù)的概念做一做第二節(jié)函數(shù)的表示方法函數(shù)的三種表示方法二、上面我們已經(jīng)明確了函數(shù)的概念，那么怎樣表示一個(gè)函數(shù)呢？例如，商店里面所售練習(xí)本的單價(jià)為0.8元，買練習(xí)本的本數(shù)x（本）與付款款額y(元)的函數(shù)關(guān)系如何表示?第二節(jié)函數(shù)的表示方法函數(shù)的三種表示方法一、列表法1.首先，我們做一個(gè)表格（表3-1）：第二節(jié)函數(shù)的表示方法列出表格可以很直觀地反映出練習(xí)本的本數(shù)x與付款款額y之間的關(guān)系，像這種通過(guò)列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫作列表法.

第二節(jié)函數(shù)的表示方法列表法一般不完整，若要買80本練習(xí)本，則所需付的款額表中就沒(méi)有，那么還可以用什么方式來(lái)表示呢？我們可以用一個(gè)數(shù)學(xué)式子y=0.8x來(lái)表示.像這種在函數(shù)y=f(x)(x∈D)中，f(x)是用代數(shù)式或解析式來(lái)表示的方法叫作解析法.這種方法嚴(yán)謹(jǐn)、完整，但不夠直觀.解析法2.第二節(jié)函數(shù)的表示方法描繪函數(shù)的圖像，也可以直觀形象地表示一個(gè)函數(shù)，如圖3-1所示.像這種利用圖像表示函數(shù)的方法叫作圖像法.圖3-1圖像法3.第二節(jié)函數(shù)的表示方法某工廠的一名普通工人每天的基本工資是20元，每加工完成一個(gè)合格零件日收入增加5元，一名工人的日收入y是他每天完成的合格零件數(shù)x的函數(shù)，當(dāng)一名工人每天完成的合格零件數(shù)在5件以內(nèi)（含5件）時(shí)，請(qǐng)用三種方法表示這個(gè)函數(shù).解（1）按照題意，分別計(jì)算出一名工人每天完成合格零件數(shù)x在1～5件時(shí)的日薪y(tǒng)（元），列成表格，因此函數(shù)用列表法表示如表3-2所示：【例1】第二節(jié)函數(shù)的表示方法（2）根據(jù)題意，函數(shù)的解析式為y=20+5x，因此函數(shù)的解析法表示為y=5x+20,x∈{1,2,3,4,5}.第二節(jié)函數(shù)的表示方法(3)以表3-2中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出各個(gè)相應(yīng)的點(diǎn).因此，函數(shù)的圖像法表示如圖3-2所示.圖3-2第二節(jié)函數(shù)的表示方法為什么上述兩個(gè)函數(shù)的圖像（圖3-1，圖3-2）不連接成直線或線段？議一議第二節(jié)函數(shù)的表示方法【例2】第二節(jié)函數(shù)的表示方法【例2】第二節(jié)函數(shù)的表示方法做一做1.作出函數(shù)y=x3－1的圖像.2.某手機(jī)專賣店銷售某種型號(hào)的手機(jī)，每部售價(jià)3000元，當(dāng)售出的手機(jī)數(shù)量不超過(guò)5部時(shí)，請(qǐng)分別用解析法、列表法和圖像法表示售出手機(jī)數(shù)量與收款總額之間的函數(shù)關(guān)系.第二節(jié)函數(shù)的表示方法

國(guó)內(nèi)跨省市之間郵寄信函,每封信函的質(zhì)量m（克）和對(duì)應(yīng)的郵資M（元）如表3-4所示:【例3】分段函數(shù)二、第二節(jié)函數(shù)的表示方法請(qǐng)用解析法和圖像法表示該函數(shù).解

（1）函數(shù)的解析式為第二節(jié)函數(shù)的表示方法（2）函數(shù)的圖像如圖3-7所示.圖3-7第二節(jié)函數(shù)的表示方法已知函數(shù)（1）寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）求f(0),f(1),f(2),f(3);（3）畫(huà)出函數(shù)圖像.解（1）該函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2)∪［2,4)，即［0,4).(2)因?yàn)?,1∈［0,2)，這時(shí)f(x)=x－2，所以f(0)=0－2=－2，f(1)=1－2=－1.

【例4】第二節(jié)函數(shù)的表示方法(3)在同一直角坐標(biāo)系中，用描點(diǎn)法在［0,2)內(nèi)畫(huà)出f(x)=x－2的圖像，在［2,4)內(nèi)畫(huà)出f(x)=3x的圖像，如圖3-8所示.圖3-8第二節(jié)函數(shù)的表示方法做一做第三節(jié)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的單