新蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊各知識點(diǎn)全套word練習(xí)題講義

.1直線的斜率與傾斜角1．理解直線的斜率和傾斜角的概念．(重點(diǎn))2．了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率．(難點(diǎn))1．借助對傾斜角概念的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過對斜率的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．我們知道，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有(確定)一條直線，那么，經(jīng)過一點(diǎn)P的直線l的位置能確定嗎？如圖所示，過一點(diǎn)P可以作無數(shù)多條直線a，b，c，…，我們可以看出這些直線都過點(diǎn)P，但它們的“傾斜程度”不同，怎樣描述這種“傾斜程度”的不同呢？知識點(diǎn)1直線的斜率對于直線l上的任意兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2).(1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知識可知，eq\f(y2－y1,x2－x1)是一個定值，我們將其稱為直線l的斜率．k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2).(2)如果x1＝x2，那么直線l的斜率不存在．(3)對于與x軸不垂直的直線l，它的斜率也可以看作k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(縱坐標(biāo)的增量,橫坐標(biāo)的增量)＝eq\f(Δy,Δx).1.已知經(jīng)過兩點(diǎn)(5，m)和(m，8)的直線的斜率等于1，則m的值是________．eq\f(13,2)[由斜率公式可得eq\f(8－m,m－5)＝1，解得m＝eq\f(13,2).]知識點(diǎn)2直線的傾斜角定義在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時，所轉(zhuǎn)過的最小正角α稱為這條直線的傾斜角規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0范圍{α|0≤α＜π}作用表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度1.任意一條直線都有傾斜角嗎？不同直線的傾斜角一定不相同嗎？[提示]由傾斜角的定義可以知道，任意一條直線都有傾斜角；不同直線的傾斜角可能相同，如平行直線的傾斜角都是相同的．知識點(diǎn)3直線的傾斜角與斜率的關(guān)系(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l的傾斜角為eq\f(π,2)，斜率不存在；(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時，直線l的斜率與傾斜角α之間的關(guān)系為k＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))＝eq\f(Δy,Δx).2.所有直線都有斜率嗎？若直線沒有斜率，那么這條直線的傾斜角為多少？[提示]不是．若直線沒有斜率，則其傾斜角為90°.2.已知一條直線過點(diǎn)(3，－2)與點(diǎn)(－1，－2)，則這條直線的傾斜角是()A．0° B．45°C．60° D．90°A[∵k＝eq\f(0,4)＝0，∴θ＝0°.]3.已知直線l的傾斜角為30°，則直線l的斜率為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．1 D．eq\f(\r(2),2)A[由題意可知，k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).]4.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應(yīng)． ()(2)若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應(yīng)． ()(3)若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等． ()(4)直線的傾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}與直線集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×類型1直線的傾斜角【例1】求圖中各直線的傾斜角．(1)(2)(3)[解](1)如圖①，可知∠OAB為直線l1的傾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直線l1的傾斜角為60°.(2)如圖②，可知∠xAB為直線l2的傾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直線l2的傾斜角為135°.(3)如圖③，可知∠OAC為直線l3的傾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直線l3的傾斜角為150°.①②③求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°；當(dāng)直線與x軸垂直時，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°)，則其傾斜角為()A．α B．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－αD[如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時，傾斜角為90°＋α；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時，傾斜角為90°－α.故選D.]類型2直線的斜率【例2】(1)過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，則y等于()A．1 B．5C．－1 D．－5(2)若A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)三點(diǎn)共線，則a的值為______．(3)如圖，直線l1的傾斜角α1＝30°，直線l1⊥l2，求l1、l2的斜率．(1)D(2)4[(1)∵過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，∴eq\f(y＋3,4－2)＝tan135°＝－1，解得y＝－5.(2)由斜率公式得kAB＝eq\f(5－1,3－1)＝2，因為A，B，C三點(diǎn)共線，所以kAB＝kAC，所以2＝eq\f(7－1,a－1)，解得a＝4.](3)[解]直線l1的傾斜角為α1＝30°，直線l2的傾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴kl1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，kl2＝tan120°＝－eq\r(3).解決斜率問題的方法(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．(2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常利用數(shù)形結(jié)合列式求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．設(shè)點(diǎn)A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，則實數(shù)m的值為________．4[依題意知，直線AC的斜率存在，且m≠－1.kAC＝eq\f(－m＋3－4,m＋1)＝eq\f(－m－1,m＋1)＝－1，kBC＝eq\f(m－1－4,2－(－1))＝eq\f(m－5,3)，由題意得kAC＝3kBC，∵－1＝3×eq\f(m－5,3)，解得m＝4.]類型3直線的傾斜角和斜率的綜合[探究問題]1．在斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)中，分子與分母的順序是否可以互換？y1與y2，x1與x2的順序呢？[提示]斜率公式中分子與分母的順序不可以互換，但y1與y2和x1與x2可以同時互換順序，即斜率公式也可寫為k＝eq\f(y1－y2,x1－x2).2．斜率與傾斜角范圍有什么聯(lián)系？[提示]當(dāng)k＝tanα＜0時，傾斜角α是鈍角；當(dāng)k＝tanα＞0時，傾斜角α是銳角；當(dāng)k＝tanα＝0時，傾斜角α是0°；當(dāng)k不存在時，傾斜角為90°.3．直線的斜率k隨傾斜角α的增大而增大嗎？[提示]不是，在[0，eq\f(π,2))內(nèi)k＞0，k隨α的增大而增大，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))內(nèi)k＜0，k也是隨α的增大而增大．【例3】已知兩點(diǎn)A(－3，4)，B(3，2)，過點(diǎn)P(1，0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．[思路探究]結(jié)合圖形考慮，l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間．要特別注意，當(dāng)l的傾斜角小于90°時，有k≥kPB；當(dāng)l的傾斜角大于90°時，則有k≤kPA.[解]如圖所示，由題意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1.(1)要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1.(2)由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.[母題探究]1．(變條件)本例中，三點(diǎn)坐標(biāo)不變，其他條件改為過B的直線l與線段AP有公共點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍．[解]如例題中解圖所示，根據(jù)斜率公式得kAB＝eq\f(4－2,－3－3)＝－eq\f(1,3)，kBP＝eq\f(2－0,3－1)＝1，∴直線l的斜率的取值范圍為[－eq\f(1,3)，1].2．(變條件)本例中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)不變，其他條件去掉，在直線y＝－1上求一點(diǎn)P，使PA，PB的斜率互為相反數(shù)．[解]∵點(diǎn)P在直線y＝－1上，∴可設(shè)點(diǎn)P(x，－1).又條件可知kPA，kPB一定存在．由斜率公式得kPA＋kPB＝eq\f(4＋1,－3－x)＋eq\f(2＋1,3－x)＝0，解得x＝eq\f(3,4).故所求P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，－1)).直線的傾斜角和斜率的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當(dāng)傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合).(2)直線的斜率也反映了直線相對于x軸的正方向的傾斜程度．當(dāng)0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當(dāng)90°＜α＜180°時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．若點(diǎn)P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)為頂點(diǎn)的△ABC的內(nèi)部運(yùn)動(不包含邊界)，則eq\f(y－2,x－1)的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))[根據(jù)已知條件，可知點(diǎn)P(x，y)是點(diǎn)A，B，C圍成的△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，那么所求eq\f(y－2,x－1)的幾何意義是過動點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)M(1，2)的直線的斜率．由已知，得kAM＝eq\f(1,4)，kBM＝1，kCM＝eq\f(2,3).利用圖象(圖略)，可得eq\f(y－2,x－1)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).]1．已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)和點(diǎn)B(1，2)，則直線AB的斜率為()A．3 B．－2C．2 D．不存在B[由直線的斜率公式，得k＝eq\f(4－2,0－1)＝－2.]2．若直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是()A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°C[直線經(jīng)過第二、四象限時，直線的傾斜角為鈍角，故90°＜α＜180°，選C.]3．若過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為45°，則y＝________．－1[kAB＝eq\f(y＋3,4－2)＝tan45°＝1，即eq\f(y＋3,2)＝1，∴y＝－1.]4．已知交于點(diǎn)M(8，6)的四條直線l1，l2，l3，l4的傾斜角之比為1∶2∶3∶4，又知l2過點(diǎn)N(5，3)，求這四條直線的傾斜角．[解]l2的斜率為k2＝eq\f(6－3,8－5)＝1，∴l(xiāng)2的傾斜角為45°，由題意可得：l1的傾斜角為22.5°，l3的傾斜角為67.5°，l4的傾斜角為90°.回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：直線的斜率和傾斜角反映了直線的傾斜程度，二者緊密相連，它們有什么聯(lián)系？[提示]直線情況平行于x軸垂直于x軸α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范圍0k＞0不存在k＜0k的增減情況k隨α的增大而增大k隨α的增大而增大1.2直線的方程1.2.1直線的點(diǎn)斜式方程1．了解直線方程的點(diǎn)斜式的推導(dǎo)過程．(難點(diǎn))2．掌握直線方程的點(diǎn)斜式并會應(yīng)用．(重點(diǎn))3．掌握直線方程的斜截式，了解截距的概念．(重點(diǎn)、易錯點(diǎn))通過對直線的點(diǎn)斜式方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡約剛毅，力感十足．若以橋面所在直線為x軸，橋塔所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么斜拉索可看成過橋塔上同一點(diǎn)的直線．已知某一斜拉索過橋塔上一點(diǎn)B，那么該斜拉索位置能確定嗎？知識點(diǎn)1直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程點(diǎn)斜式斜截式已知條件點(diǎn)P(x1，y1)和斜率k斜率k和直線在y軸上的截距b圖示方程形式y(tǒng)－y1＝k(x－x1)y＝kx＋b適用條件斜率存在1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直線的點(diǎn)斜式方程能表示平面上的所有直線． ()(2)eq\f(y－y0,x－x0)＝k與y－y1＝k(x－x1)都是直線的點(diǎn)斜式方程． ()[答案](1)×(2)×2.直線l的點(diǎn)斜式方程是y－2＝3(x＋1)，則直線l的斜率是()A．2 B．－1C．3 D．－3C[由直線的點(diǎn)斜式方程可知直線l的斜率是3.]3.過點(diǎn)(2，1)且與斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程為______．y－1＝3(x－2)[因為直線的斜率為3，∴所求直線方程的點(diǎn)斜式方程為y－1＝3(x－2).]知識點(diǎn)2直線在y軸上的截距在直線l的斜截式方程y＝kx＋b中，我們把直線l與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b稱為直線l在y軸上的截距．4.直線eq\f(x,a2)－eq\f(y,b2)＝1在y軸上的截距是()A．|b| B．－b2C．b2 D．±bB[令x＝0，則y＝－b2.]類型1直線的點(diǎn)斜式方程【例1】(1)一條直線經(jīng)過點(diǎn)(2，5)，傾斜角為45°，則這條直線的點(diǎn)斜式方程為________．(2)經(jīng)過點(diǎn)(－5，2)且與y軸正方向的夾角為30°的直線方程為________．(1)y－5＝x－2(2)y－2＝eq\r(3)(x＋5)[(1)因為傾斜角為45°，所以斜率k＝tan45°＝1，所以直線的點(diǎn)斜式方程為y－5＝x－2.(2)因為直線與y軸正方向夾角為30°，所以直線的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，所以直線的點(diǎn)斜式方程為y－2＝eq\r(3)(x＋5).]求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟提醒：斜率不存在時，過點(diǎn)P(x0，y0)的直線與x軸垂直，直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，都為x0，故直線方程為x＝x0.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．分別求出經(jīng)過點(diǎn)P(3，4)，且滿足下列條件的直線方程，并畫出圖形．(1)斜率k＝2；(2)與x軸平行；(3)與x軸垂直．[解](1)由點(diǎn)斜式方程得y－4＝2(x－3).(2)與x軸平行時，k＝0，∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4.(3)與x軸垂直，斜率不存在，方程為x＝3.類型2直線的斜截式方程【例2】根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率為2，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)；(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(3)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.[解](1)由題意知直線在y軸上的截距為2，由直線的斜截式方程可知，所求直線方程為y＝2x＋2.(2)因為傾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，由斜截式可得直線方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.(3)因為直線的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝eq\r(3).因為直線與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.求直線的斜截式方程(1)先求參數(shù)k和b，再寫出斜截式方程．(2)斜率可以是已知的，也可以利用傾斜角來求出，還可以利用平行、垂直關(guān)系求出斜率．(3)b是直線在y軸上的截距，即直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不是交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知直線l在y軸上的截距為－2，根據(jù)條件，分別寫出直線l的斜截式方程．(1)直線l經(jīng)過點(diǎn)M(m，n)，N(n，m)(m≠n)；(2)直線l與坐標(biāo)軸圍成等腰三角形．[解](1)由題意得直線l的斜率為k＝eq\f(m－n,n－m)＝－1，所以直線l的斜截式方程為y＝－x－2.(2)因為直線l在y軸上的截距為－2，所以l與y軸的交點(diǎn)為P(0，－2)，而直線l與坐標(biāo)軸圍成等腰三角形，又是直角三角形，所以l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)或(2，0).由過兩點(diǎn)的斜率公式得k＝－1或1，所以直線l的斜截式方程為y＝－x－2或y＝x－2.類型3直線的方程的簡單應(yīng)用【例3】已知直線l的斜率為eq\f(1,6)，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求l的斜截式方程．直線y－y1＝k(x－x1)與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？[提示]令x＝0時，得y＝y(tǒng)1－kx1，所以直線y－y1＝k(x－x1)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，y1－kx1)；令y＝0，得x＝x1－eq\f(y1,k)，所以直線y－y1＝k(x－x1)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(x1－eq\f(y1,k)，0).[解]設(shè)直線方程為y＝eq\f(1,6)x＋b，則x＝0時，y＝b；y＝0時，x＝－6b.由已知可得eq\f(1,2)·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直線方程為y＝eq\f(1,6)x＋1或y＝eq\f(1,6)x－1.[母題探究]1．(變條件)本例的條件變?yōu)椋阂阎鰽BC的三個頂點(diǎn)分別是A(0，3)，B(4，2)，C(2，1).若直線l過點(diǎn)A，且將△ABC分割成面積相等的兩部分，求直線l的斜截式方程．[解]由題意知：直線l是△ABC在BC邊上的中線，由B(4，2)，C(2，1)，得B，C的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))，所以直線l的斜率k＝eq\f(3－\f(3,2),0－3)＝－eq\f(1,2)，則直線l的斜截式方程為：y＝－eq\f(1,2)x＋3.2．(變條件)已知直線l的傾斜角等于直線y＝eq\r(3)x＋1的傾斜角的一半，且經(jīng)過點(diǎn)(2，－3)，求直線l的點(diǎn)斜式方程．[解]設(shè)直線y＝eq\r(3)x＋1的傾斜角為α，則tanα＝eq\r(3)，又α∈[0，π)，所以α＝60°，因為直線l的傾斜角等于直線y＝eq\r(3)x＋1的傾斜角的一半，所以直線l的傾斜角為eq\f(α,2)，所以直線l的斜率為taneq\f(α,2)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，所以直線l的點(diǎn)斜式方程為：y＋3＝eq\f(\r(3),3)(x－2).利用待定系數(shù)法求直線方程(1)已知一點(diǎn)，可選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率．(2)已知斜率，可選用斜截式，再由其他條件確定直線在y軸上的截距．1．傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0D[α＝135°的斜率k＝－1，所以方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.]2．已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則()A．直線經(jīng)過點(diǎn)(－1，2)，斜率為－1B．直線經(jīng)過點(diǎn)(2，－1)，斜率為－1C．直線經(jīng)過點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1D．直線經(jīng)過點(diǎn)(－2，－1)，斜率為1C[直線方程y＋2＝－x－1可化為y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直線經(jīng)過點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1.]3．已知直線l過點(diǎn)(3，4)且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，則直線l的方程為________．y＝x＋1[由題意知直線的斜率k＝eq\f(4－1,3－0)＝1，∴直線l的方程為y＝x＋1.]4．無論k取何值，直線y＝kx＋2k－3所過的定點(diǎn)是________．(－2，－3)[直線方程能化成點(diǎn)斜式方程：y＋3＝k(x＋2)，所以過定點(diǎn)(－2，－3).]5．直線l1過點(diǎn)P(－1，2)，斜率為－eq\f(\r(3),3)，把l1繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°角得直線l2，求直線l1和l2的方程．[解]直線l1的方程是y－2＝－eq\f(\r(3),3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋3y－6＋eq\r(3)＝0.∵k1＝－eq\f(\r(3),3)＝tanα1，∴α1＝150°.如圖，l1繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得到直線l2的傾斜角為α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan120°＝－eq\r(3)，∴l(xiāng)2的方程為y－2＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y－2＋eq\r(3)＝0.回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：1．建立點(diǎn)斜式方程的依據(jù)是什么？[提示]直線上任一點(diǎn)與這條直線上一個定點(diǎn)的連線的斜率相同，故有eq\f(y－y1,x－x1)＝k，此式是不含點(diǎn)P1(x1，y1)的兩條反向射線的方程，必須化為y－y1＝k(x－x1)才是整條直線的方程．當(dāng)直線的斜率不存在時，不能用點(diǎn)斜式表示，此時方程為x＝x1.2．斜截式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及特征是什么？[提示]斜截式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是y＝kx＋b，其特征是方程等號的一端只是一個y，其系數(shù)是1；等號的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函數(shù)(k＝0時).1.2.2直線的兩點(diǎn)式方程1．掌握直線方程兩點(diǎn)式、截距式的形式、特點(diǎn)及適用范圍．(重點(diǎn))2．會用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)．1．通過對直線兩點(diǎn)式方程的推導(dǎo)，提升邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過對直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．某區(qū)商業(yè)中心O有通往東、西、南、北的四條大街，某公園位于東大街北側(cè)、北大街東側(cè)P處，如圖所示．公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1km和4km.現(xiàn)在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交會于A，B兩處，并使商業(yè)中心O到A，B兩處的距離之和最短．在上述問題中，實際上解題關(guān)鍵是確定直線AB，那么直線AB的方程確定后，點(diǎn)A，B能否確定？知識點(diǎn)直線的兩點(diǎn)式和截距式方程名稱兩點(diǎn)式方程截距式方程已知條件直線l過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2直線l在x軸、y軸上的截距分別為a，b，且a≠0，b≠0示意圖直線方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為零斜率存在且不為零，不過原點(diǎn)方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的適用范圍相同嗎？[提示]不同．前者為分式形式方程，它不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，后者為整式形式方程，它表示過任何兩點(diǎn)的直線．1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直線的兩點(diǎn)式方程也可以用eq\f(y－y1,x－x1)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)表示． ()(2)任何直線都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示． ()(3)能用兩點(diǎn)式寫出的直線方程，也可以用點(diǎn)斜式方程寫出． ()[答案](1)×(2)×(3)√2.過點(diǎn)A(3，2)，B(4，3)的直線方程是()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0D[由直線的兩點(diǎn)式方程，得eq\f(y－2,3－2)＝eq\f(x－3,4－3)，化簡得x－y－1＝0.]3.直線y＝3x＋2在x軸上的截距是________．－eq\f(2,3)[令y＝0得x＝－eq\f(2,3)，即在x軸上的截距為－eq\f(2,3).]類型1直線的兩點(diǎn)式方程【例1】(1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，B(2，7)，則直線l的方程為________．(2)若點(diǎn)P(3，m)在過點(diǎn)A(2，－1)，B(－3，4)的直線上，則m＝________．(1)x＝2(2)－2[(1)由于點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，所以直線l沒有兩點(diǎn)式方程，所求的直線方程為x＝2.(2)由直線方程的兩點(diǎn)式得eq\f(y－(－1),4－(－1))＝eq\f(x－2,－3－2)，即eq\f(y＋1,5)＝eq\f(x－2,－5).所以直線AB的方程為y＋1＝－x＋2，因為點(diǎn)P(3，m)在直線AB上，所以m＋1＝－3＋2，得m＝－2.]由兩點(diǎn)式求直線方程的步驟(1)設(shè)出直線所經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)根據(jù)題中的條件，找到有關(guān)方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)由直線的兩點(diǎn)式方程寫出直線的方程．提醒：當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不垂直于坐標(biāo)軸．若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求經(jīng)過兩點(diǎn)A(2，m)和B(n，3)的直線方程．[解]當(dāng)m＝3時，直線垂直于y軸，方程為y＝3，當(dāng)n＝2時，直線垂直于x軸，方程為x＝2.當(dāng)m≠3且n≠2時，由兩點(diǎn)式得直線方程為eq\f(y－m,3－m)＝eq\f(x－2,n－2).類型2直線的截距式方程【例2】求過點(diǎn)(4，－3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程．若已知直線與兩坐標(biāo)軸相交，選哪種形式的方程較好？[提示]選擇截距式較好．[解]設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b.①當(dāng)a≠0，b≠0時，設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵點(diǎn)(4，－3)在直線上，∴eq\f(4,a)＋eq\f(－3,b)＝1，若a＝b，則a＝b＝1，直線方程為x＋y－1＝0.②當(dāng)a＝b＝0時，直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)(4，－3)，∴直線的方程為3x＋4y＝0.綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.[母題探究]1．(變條件)本例中把“截距相等”改為“截距互為相反數(shù)”，求直線l的方程．[解]當(dāng)截距均為零時，設(shè)直線方程為y＝kx，把點(diǎn)(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－eq\f(3,4)，所求的直線方程為y＝－eq\f(3,4)x，即3x＋4y＝0.當(dāng)截距均不為零且相反時，可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，把點(diǎn)(4，－3)代入得eq\f(4,a)＋eq\f(－3,－a)＝1，解得a＝7，所求直線方程為eq\f(x,7)＋eq\f(y,－7)＝1，即x－y－7＝0，故所求l的方程為x－y－7＝0或3x＋4y＝0.2．(變條件)本例中把“相等”改為“絕對值相等”呢？[解]當(dāng)直線在兩軸上的截距的絕對值相等時，包括：①兩截距均為零，即3x＋4y＝0.②兩截距均不為零且相等即x＋y－1＝0.③兩截距均不為零且相反即x－y－7＝0.故所求的直線方程為x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.利用截距式求直線方程的注意事項(1)用截距式求直線方程時，縱截距和橫截距都必須存在且都不為0.①若a＝0，b≠0，則直線方程為x＝0；②若a≠0，b＝0，則直線方程為y＝0；③若a＝0，b＝0，則直線方程為y＝kx(k≠0).(2)截距相等且不為零，可設(shè)x＋y＝a；截距相反且不為零，可設(shè)x－y＝a；截距相等且均為零，可設(shè)y＝kx.類型3直線方程的靈活應(yīng)用【例3】在△ABC中，已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2).(1)求BC邊的方程；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．[解](1)BC邊過兩點(diǎn)B(5，－4)，C(0，－2)，由兩點(diǎn)式，得eq\f(y－(－4),－2－(－4))＝eq\f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0，故BC邊的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(a，b)，則a＝eq\f(5＋0,2)＝eq\f(5,2)，b＝eq\f(－4＋(－2),2)＝－3，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))，又BC邊的中線過點(diǎn)A(－3，2)，所以eq\f(y－2,－3－2)＝eq\f(x－(－3),\f(5,2)－(－3))，即10x＋11y＋8＝0，所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.直線方程的選擇技巧(1)已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過該點(diǎn)的直線方程，一般選取點(diǎn)斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率．(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的斜截式，再由其他條件確定直線的一個點(diǎn)或者截距．(3)若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，一般選用直線的兩點(diǎn)式方程，若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，就用截距式方程．(4)不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對特殊情況下的直線要單獨(dú)討論解決．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．過點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有________條．2[設(shè)直線的兩截距都是a，則有①當(dāng)a＝0時，直線設(shè)為y＝kx，將P(2，3)代入得k＝eq\f(3,2)，∴直線l的方程為3x－2y＝0.②當(dāng)a≠0時，直線設(shè)為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，即x＋y＝a，把P(2，3)代入得a＝5，∴直線l的方程為x＋y＝5.∴直線l的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.∴滿足題意的直線共有2條．]1．過P1(2，0)，P2(0，3)兩點(diǎn)的直線方程是()A．eq\f(x,3)＋eq\f(y,2)＝0 B．eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝0C．eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝1 D．eq\f(x,3)＋eq\f(y,2)＝1C[由條件可知，直線在x軸、y軸上的截距分別為2，3，所以方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝1.]2．過兩點(diǎn)(－1，1)和(3，9)的直線在x軸上的截距是________．－eq\f(3,2)[由兩點(diǎn)式得eq\f(y－1,9－1)＝eq\f(x＋1,3＋1)，即y－1＝2(x＋1)，令y＝0得x＝－eq\f(3,2)，所以直線在x軸上的截距為－eq\f(3,2).]3．過點(diǎn)(5，2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是________．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0[當(dāng)y軸上截距b＝0時，設(shè)直線方程為y＝kx.將點(diǎn)(5，2)代入，得y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0.當(dāng)b≠0時，設(shè)直線方程為eq\f(x,2b)＋eq\f(y,b)＝1，將點(diǎn)(5，2)代入，得eq\f(5,2b)＋eq\f(2,b)＝1，解得b＝eq\f(9,2)，即直線方程為eq\f(x,9)＋eq\f(y,\f(9,2))＝1，整理，得x＋2y－9＝0.所以滿足條件的直線方程為2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.]4．求過點(diǎn)P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程．[解]設(shè)直線方程的截距式為eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1.則eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，則直線方程是eq\f(x,2＋1)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,1＋1)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．直線的兩點(diǎn)式方程及其適用情形分別是什么？[提示]直線的兩點(diǎn)式方程為eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)，直線沒有斜率(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時，不能用兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)求它的方程．2．直線的截距式方程及其適用情形分別是什么？[提示]eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，其適用情形是斜率存在且不為零，不過原點(diǎn)．1.2.3直線的一般式方程1．掌握直線的一般式方程．(重點(diǎn))2．理解關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．會進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))通過學(xué)習(xí)直線五種形式的方程的相互轉(zhuǎn)化，提升邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．初中我們學(xué)習(xí)過二元一次方程，它的具體形式是Ax＋By＋C＝0.前面我們又學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式：y－y0＝k(x－x0)、斜截式：y＝kx＋b、兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)和截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.它們都可以化成為二元一次方程的形式，同時在一定條件下，這種形式也可以轉(zhuǎn)化為斜截式和截距式，我們把Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)叫作直線的一般式，下面進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)．知識點(diǎn)直線的一般式方程(1)定義：方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)叫作直線的一般式方程．(2)適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示．(3)系數(shù)的幾何意義：①當(dāng)B≠0時，則－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y軸上的截距)；②當(dāng)B＝0，A≠0時，則－eq\f(C,A)＝a(x軸上的截距)，此時不存在斜率．當(dāng)A＝0或B＝0或C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0分別表示什么樣的直線？[提示](1)若A＝0，則y＝－eq\f(C,B)，表示與y軸垂直的一條直線．(2)若B＝0，則x＝－eq\f(C,A)，表示與x軸垂直的一條直線．(3)若C＝0，則Ax＋By＝0，表示過原點(diǎn)的一條直線．1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直線的一般式方程可以表示平面內(nèi)任意一條直線． ()(2)直線的其他形式的方程都可化為一般式． ()(3)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)一定表示直線． ()[答案](1)√(2)√(3)√2.已知直線2x＋ay＋b＝0在x軸、y軸上的截距分別為－1，2，則a，b的值分別為()A．－1，2 B．－2，2C．2，－2 D．－2，－2A[y＝0時，x＝－eq\f(b,2)＝－1，解得b＝2，當(dāng)x＝0時，y＝－eq\f(b,a)＝－eq\f(2,a)＝2，解得a＝－1.]3.直線3x－eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角為________．60°[把3x－eq\r(3)y＋1＝0化成斜截式得y＝eq\r(3)x＋eq\f(\r(3),3)，∴k＝eq\r(3)，傾斜角為60°.]類型1直線的一般式方程與其他形式的互化【例1】(1)已知直線l的一般式方程為2x－3y＋6＝0，請把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標(biāo)軸上的截距．(2)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．①斜率是－eq\f(1,2)，經(jīng)過點(diǎn)A(8，－2)；②經(jīng)過點(diǎn)B(4，2)，平行于x軸；③在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)，－3；④經(jīng)過兩點(diǎn)P1(3，－2)，P2(5，－4).[解](1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程為：y＝eq\f(2,3)x＋2.截距式方程為：eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1.由此可知，直線l的斜率為eq\f(2,3)，在x軸、y軸上的截距分別為－3，2.(2)①由點(diǎn)斜式得y－(－2)＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.②由斜截式得y＝2，即y－2＝0.③由截距式得eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.④由兩點(diǎn)式得eq\f(y－(－2),－4－(－2))＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.1．求直線一般式方程的方法2．由直線方程的一般式轉(zhuǎn)化為四種特殊形式時，一定要注意其運(yùn)用的前提條件．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．(1)斜率是eq\r(3)且經(jīng)過點(diǎn)A(5，3)；(2)經(jīng)過A(－1，5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；(3)在x，y軸上的截距分別是－3，－1.[解](1)由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線方程為y－3＝eq\r(3)(x－5)，化為一般式方程為eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0.(2)由兩點(diǎn)式方程可知，所求直線方程為eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－(－1),2－(－1))，化為一般式方程為2x＋y－3＝0.(3)由截距式方程可得，所求直線方程eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，化為一般式方程為x＋3y＋3＝0.類型2直線過定點(diǎn)問題【例2】求直線l:(m－1)x－y＋2m＋1＝0所過的定點(diǎn)的坐標(biāo)．[解]法一：直線l的方程可化為y－3＝(m－1)(x＋2)，由直線的點(diǎn)斜式方程可知直線l過定點(diǎn)(－2，3).法二：直線l的方程可化為m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))∴直線l過定點(diǎn)(－2，3).求直線過定點(diǎn)的基本方法：法一是點(diǎn)斜式的應(yīng)用，法二是代數(shù)方法處理恒成立問題的基本思想．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．不論m為何值，直線3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0過定點(diǎn)()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))C[整理直線方程3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0得：m(3x＋2y)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋12))＝0，故直線3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0過3x＋2y＝0與3x－2y＋12＝0的交點(diǎn)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝0，,3x－2y＋12＝0，))解得x＝－2，y＝3，故直線3(m－1)x＋2(m＋1)y－12＝0過定點(diǎn)(－2，3).]類型3含參數(shù)的直線一般式方程問題【例3】已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．1．直線l：5ax－5y－a＋3＝0是否過定點(diǎn)？[提示]過定點(diǎn)．2．若直線y＝kx＋b(k≠0)不經(jīng)過第二象限，k，b應(yīng)滿足什么條件？[提示]若直線y＝kx＋b(k≠0)不經(jīng)過第二象限，則應(yīng)滿足k>0且b≤0.[解](1)證明：法一：將直線l的方程整理為y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，∴直線l的斜率為a，且過定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，而點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限內(nèi)，故不論a為何值，l恒過第一象限．法二：直線l的方程可化為(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式對任意的a總成立，必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－1＝0，,5y－3＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5)．))即l過定點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))).以下同法一．(2)直線OA的斜率為k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.如圖所示，要使l不經(jīng)過第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.[母題探究]1．(變條件，變結(jié)論)本例中若直線在y軸的截距為2，求字母a的值．這時直線的一般式方程是什么？[解]把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程為y＝ax＋eq\f(3－a,5).由條件可知eq\f(3－a,5)＝2解得a＝－7，這時直線方程的一般式為7x＋y－2＝0.2．(變條件，變結(jié)論)若直線l：5ax－5y－a＋3＝0的傾斜角為直線eq\r(3)x－y＋3＝0的傾斜角的2倍，求直線l的方程．[解]直線eq\r(3)x－y＋3＝0的傾斜角為α，由k＝tanα知，α＝60°，直線l的傾斜角為120°，斜率k＝tan120°＝－eq\r(3).又斜率k＝a，所以a＝－eq\r(3)，所以直線方程為5eq\r(3)x＋5y－3－eq\r(3)＝0.直線恒過定點(diǎn)的求解策略(1)將方程化為點(diǎn)斜式，求得定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將方程變形，把x,y看作參數(shù)的系數(shù)，因為此式子對于任意的參數(shù)的值都成立，故需系數(shù)為零，解方程組可得x,y的值，即為直線過的定點(diǎn)．1．如果ax＋by＋c＝0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿足條件()A．bc＝0 B．a(chǎn)≠0C．bc＝0且a≠0 D．a(chǎn)≠0且b＝c＝0D[y軸方程表示為x＝0，所以a，b，c滿足條件為b＝c＝0，a≠0.]2．直線x－y－1＝0與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()A．eq\f(1,4) B．2C．1 D．eq\f(1,2)D[由題意得直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為(1，0)，(0，－1)，故三角形面積為eq\f(1,2).]3．斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，3)的直線的一般式方程為________．2x－y＋1＝0[由點(diǎn)斜式得y－3＝2(x－1)，整理得2x－y＋1＝0.]4．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)若該直線的斜率k＝1，求實數(shù)m的值．[解](1)由題意知m－2≠0，且m2－3m＋2≠0，解得m≠2.(2)由eq\f(－(m2－3m＋2),m－2)＝1，m≠2，得m＝0.回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：1．如何把直線的一般方程化為斜截式與截距式？[提示]一般式斜截式截距式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)(B≠0)eq\f(x,－\f(C,A))＋eq\f(y,－\f(C,B))＝1(A、B、C≠0)2．平面直角坐標(biāo)系中任何一條直線都可以用關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為零)來表示嗎？[提示]可以．3．任何關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為零)都可以表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線嗎？[提示]都可以表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線．方向向量與直線的參數(shù)方程除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的．如圖，設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，v＝(m，n)是它的一個方向向量，P(x，y)是直線l上的任意一點(diǎn)，則向量P0P與v共線．根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實數(shù)t，使P0P＝tv，即(x－x0，y－y0)＝t(m，n)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋mt，,y＝y(tǒng)0＋nt.))①在①中，實數(shù)t是對應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡稱參數(shù)．由上可知，對于直線l上的任意一點(diǎn)P(x，y)，存在唯一實數(shù)t使①成立；反之，對于參數(shù)t的每一個確定的值，由①可以確定直線l上的一個點(diǎn)P(x，y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程．從運(yùn)動學(xué)角度看，P0P＝tv(t＞0)可以看成是質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)P0出發(fā)，以速度v＝(m，n)作勻速直線運(yùn)動，經(jīng)過時間t后的位移，因此，質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是射線P0M.類似地，你能刻畫射線P0N嗎？由以上討論，你能說說方程①的運(yùn)動學(xué)意義嗎？如果直線l與坐標(biāo)軸不垂直，那么mn≠0，由①可得eq\f(x－x0,m)＝t，eq\f(y－y0,n)＝t，消去參數(shù)t，得eq\f(x－x0,m)＝eq\f(y－y0,n)，即y－y0＝eq\f(n,m)(x－x0)，這樣就得到直線l的點(diǎn)斜式方程．從另外一個角度思考，因為直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，且它的一個方向向量為v＝(m，n)，所以直線l的斜率k＝eq\f(n,m)，所以直線l的方程為y－y0＝eq\f(n,m)(x－x0).想一想，在直線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋mt，,y＝y(tǒng)0＋nt))中，(m，n)的幾何意義是什么？1.3兩條直線的平行與垂直1．理解并掌握兩條直線平行與重點(diǎn)的條件．(重點(diǎn))2．能根據(jù)已知條件判斷兩直線的平行與垂直．(重點(diǎn))3．能應(yīng)用兩條直線的平行或垂直解決實際問題．(重、難點(diǎn))通過對兩條直線平行與垂直的學(xué)習(xí)，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．有一天，著名魔術(shù)大師拿了一塊長、寬都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把這塊正方形的地毯改制成寬8分米、長21分米的矩形．地毯匠對魔術(shù)師說：“這不可能吧，正方形的面積是169平方分米，而矩形的面積只有168平方分米，除非裁去1平方分米．”魔術(shù)師拿出事先準(zhǔn)備好的兩張圖，對地毯匠說：“你就按圖(1)的尺寸把地毯分成四塊，然后按圖(2)的樣子拼在一起縫好就行了，我不會出錯的，你盡管放心做吧．”地毯匠照著做了，縫了一量，果真是寬8分米、長21分米．魔術(shù)師拿著改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠還在納悶哩，這是什么回事呢？(1)(2)為了破解這個謎底，今天我們學(xué)習(xí)直線的平行與垂直．知識點(diǎn)1兩條直線平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2l1∥l2?兩直線斜率都不存在圖示如果兩條直線平行，那么這兩條直線的斜率一定相等嗎？[提示]不一定．只有在兩條直線的斜率都存在的情況下斜率才相等．1.直線3x＋y－a＝0與3x＋y＝0的位置關(guān)系是________．平行或重合[直線3x＋y－a＝0與3x＋y＝0的斜率都為－3，在y軸上的截距分別為a，0.若a＝0，則兩直線重合；若a≠0，則兩直線平行．]知識點(diǎn)2兩條直線垂直的判定圖示對應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l22.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)斜率相等的兩條直線(兩直線不重合)一定平行． ()(2)只有斜率之積為－1的兩條直線才垂直． ()(3)若兩條直線垂直，則斜率乘積為－1． ()[答案](1)√(2)×(3)×3.下列直線中，與直線l：y＝3x＋1垂直的是()A．y＝－3x＋1 B．y＝3x－1C．y＝eq\f(1,3)x－1 D．y＝－eq\f(1,3)x－1D[因為直線l：y＝3x＋1的斜率為3，則與直線l垂直的直線的斜率為－eq\f(1,3).]類型1兩直線平行或垂直的判定【例1】判斷下列各組中的直線l1與l2是否平行或垂直：(1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0；(2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0；(3)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點(diǎn)A(10，2)，B(20，3)；(4)l1經(jīng)過點(diǎn)A(3，4)，B(3，100)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(－10，40)，N(10，40).[解](1)因為3×(－8)－(－4)×6＝0，而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2.(2)因為3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合．(3)直線l1的斜率k1＝－10，直線l2的斜率k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(4)l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸．直線l2的斜率k2＝eq\f(40－40,10－(－10))＝0，則l2∥x軸，故l1⊥l2.1．判斷兩條直線平行的方法(1)①若兩條直線l1，l2的斜率都存在，將它們的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝k2,b1≠b2))?l1∥l2.②若兩條直線l1，l2的斜率都不存在，將方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，則x1≠x2?l1∥l2.(2)若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除兩直線重合，就能判定兩直線平行．2.判斷兩直線垂直的方法(1)(2)若兩條直線的方程均為一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)，則l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．判斷下列各組中的直線l1與l2是否平行或垂直：(1)l1：4x＋2y－1＝0，l2：2x－y－2＝0.(2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0；(3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0.[解](1)因為4×(－1)－2×2≠0，所以l1，l2相交．(2)l2：3y－2x＋4＝0，可變形為2x－3y－4＝0，所以2×(－3)－2×(－3)＝0，又2×(－4)－4×2≠0，所以l1∥l2.(3)由題意知，－4×2＋(－3)×6≠0，l1與l2不垂直．又2×6－(－3)×(－4)＝0，而2×(－8)－(－4)×4＝0，所以l1，l2重合．類型2由平行或垂直關(guān)系求直線的方程【例2】(1)求過點(diǎn)(－1，3)，且與直線l：3x＋4y－12＝0平行的直線l′的方程．(2)求與直線4x－3y＋5＝0垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的△AOB周長為10的直線方程．[思路探究](1)利用兩直線的平行關(guān)系求出直線l′的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式求直線的方程．(2)利用直線的垂直關(guān)系求出直線的斜率，設(shè)出直線的方程，根據(jù)待定系數(shù)法求解．[解](1)法一：∵l的方程可化為y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l(xiāng)的斜率為－eq\f(3,4).∵l′與l平行，∴l(xiāng)′的斜率為－eq\f(3,4).又∵l′過點(diǎn)(－1，3)，由點(diǎn)斜式知方程為y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.法二：由l′與l平行，可設(shè)l′的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠－12).將點(diǎn)(－1，3)代入上式得m＝－9.∴直線l′的方程為3x＋4y－9＝0.(2)由題意可設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋b＝0.令x＝0，得y＝－eq\f(b,4)，即可設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(b,4)))；令y＝0，得x＝－eq\f(b,3)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)，0)).又∵△AOB周長為10，即OA＋OB＋AB＝10，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(b,4)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))\s\up12(2))＝10，解得b＝±10，故所求直線方程為3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.1．根據(jù)平行關(guān)系求直線方程的方法(1)若直線l與已知直線y＝kx＋b平行，則可設(shè)l的方程為y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m，從而求出直線l的方程．(2)若直線l與已知直線Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)平行，則可設(shè)l的方程為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系數(shù)法求參數(shù)m，從而求出直線l的方程．2．根據(jù)垂直關(guān)系求直線的方程的方法(1)若直線l的斜率存在且不為0，與已知直線y＝kx＋b垂直，則可設(shè)直線l的方程為y＝－eq\f(1,k)x＋m(k≠0)，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m的值，從而求出直線l的方程．(2)若直線l與已知直線Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)垂直，則可設(shè)l的方程為Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m的值，從而求出直線l的方程．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知點(diǎn)A(2，2)和直線l：3x＋4y－20＝0，求過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線l1的方程．[解]法一：因為klkl1＝－1，kl＝－eq\f(3,4)，所以kl1＝eq\f(4,3)，故直線l1的方程為y－2＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－2＝0.法二：設(shè)所求直線l1的方程為4x－3y＋m＝0.因為l1經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l1的方程為4x－3y－2＝0.3．求與直線5x＋6y＋9＝0平行，并且和兩坐標(biāo)軸在第一象限所圍成的三角形面積是15的直線方程．[解]法一：∵直線5x＋6y＋9＝0的斜率為－eq\f(5,6)，∴設(shè)所求直線方程為y＝－eq\f(5,6)x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝eq\f(6b,5).由題意，b>0，eq\f(6b,5)>0，∴eq\f(1,2)×b×eq\f(6b,5)＝15，∴b＝5，故所求直線方程為y＝－eq\f(5,6)x＋5，即5x＋6y－30＝0.法二：與5x＋6y＋9＝0平行的直線可設(shè)為5x＋6y＋m＝0(m≠9)，則令x＝0，得y＝－eq\f(m,6)；令y＝0，得x＝－eq\f(m,5).由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(m,6)>0，,－\f(m,5)>0，))故m<0，∴eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,5)))＝15，解得m＝－30，故所求直線方程為5x＋6y－30＝0.類型3兩直線平行與垂直的綜合應(yīng)用【例3】△ABC的頂點(diǎn)A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求m的值．△ABC是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，直線AB與AC的斜率之間有什么關(guān)系？[提示]kAB·kAC＝－1.[解]因為∠A為直角，則AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(1＋1,1－5)＝－1，得m＝－7.[母題探究]1．(變條件)本例中，將“C(2，m)”改為“C(2，3)”，你能判斷三角形的形狀嗎？[解]如圖，AB邊所在的直線的斜率kAB＝－eq\f(1,2)，BC邊所在直線的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形．2．(變條件)本例中若改為“∠A為銳角”，其他條件不變，如何求解m的值？[解]由于∠A為銳角，故∠B或∠C為直角．若∠B為直角，則AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，則eq\f(1＋1,1－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，得m＝3.若∠C為直角，則AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，得m＝±2.綜上可知，m＝3或m＝±2.3．(變條件)若將本例中的條件“點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)”去掉，改為“若△ABC為直角三角形”，如何求解m的值？[解]若∠A為直角，則AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(1＋1,1－5)＝－1，得m＝－7；若∠B為直角，則AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即eq\f(1＋1,1－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，得m＝3；若∠C為直角，則AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，得m＝±2.綜上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟1．(多選題)下列命題中，不正確的是()A．斜率相等的直線一定平行B．若兩條不重合的直線l1，l2平行，則它們的斜率一定相等C．直線l1：x＝1與直線l2：x＝2不平行D．直線l1：(eq\r(2)－1)x＋y＝2與直線l2：x＋(eq\r(2)＋1)y＝3平行ABC[A錯誤，斜率相等的直線還可能重合；B錯誤，當(dāng)兩條不重合的直線l1，l2平行時，它們的斜率可能相等，也可能不存在；C錯誤，直線l1與l2的斜率都不存在，且1≠2，所以兩直線平行；D正確，由于直線l1：(eq\r(2)－1)x＋y＝2與直線l2：x＋(eq\r(2)＋1)y＝3的斜率分別為k1＝1－eq\r(2)，k2＝－eq\f(1,\r(2)＋1)＝1－eq\r(2)，則k1＝k2，又直線l1與l2不重合，所以l1∥l2.故選ABC.]2．若過點(diǎn)A(2，－2)，B(5，0)的直線與過點(diǎn)P(2m，1)，Q(－1，m)的直線平行，則m的值為()A．－1 B．eq\f(1,7)C．2 D．eq\f(1,2)B[∵kAB＝eq\f(0－(－2),5－2)＝eq\f(2,3)，∴kPQ＝eq\f(m－1,－1－2m)＝eq\f(2,3)，解得m＝eq\f(1,7)(經(jīng)檢驗，符合題意).]3．過點(diǎn)(3，－1)與直線6x＋7y－12＝0垂直的直線方程為________．7x－6y－27＝0[直線6x＋7y－12＝0的斜率為－eq\f(6,7)，則與該直線垂直的直線的斜率為eq\f(7,6).∴所求直線方程為y＋1＝eq\f(7,6)(x－3).即7x－6y－27＝0.]4．直線l1，l2的斜率分別是方程x2－3x－1＝0的兩個根，則l1與l2的位置關(guān)系是________．垂直[設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得k1k2＝－1，所以l1⊥l2.]5．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(m，1)，B(－3，4)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(1，m)，D(－1，m＋1)，當(dāng)l1∥l2或l1⊥l2時，分別求實數(shù)m的值．[解]直線l1的方向向量為(－3－m，3)，直線l2的方向向量為(－2，1).當(dāng)l1∥l2時，eq\f(－3－m,－2)＝eq\f(3,1)，得m＝3；當(dāng)l1⊥l2時，－2(－3－m)＋3＝0得m＝－eq\f(9,2)，故l1∥l2時m＝3，l1⊥l2時m＝－eq\f(9,2).回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)平行的充要條件是什么？[提示]l1∥l2?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0.))2．兩直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2垂直的充要條件是什么？[提示]l1⊥l2(兩直線斜率都存在)?k1k2＝－1.3．與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)平行的直線的方程可設(shè)為什么？[提示]與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)平行的直線的方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C).4．與l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)垂直的直線可設(shè)為什么？[提示]與l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)垂直的直線可設(shè)為Bx－Ay＋C1＝0.1.4兩條直線的交點(diǎn)1．會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．(重點(diǎn))2．會根據(jù)方程解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系．(難點(diǎn))通過對兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．點(diǎn)P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C＝0上，那么我們會有Ax0＋By0＋C＝0；若P(x0，y0)同時在兩條直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上時，我們會有Aix0＋Biy0＋Ci＝0(i＝1，2)，那么點(diǎn)P就是這兩條直線的交點(diǎn)．下面我們就來研究兩直線的交點(diǎn)問題．知識點(diǎn)直線的交點(diǎn)與直線的方程組解的關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1，l2的公共點(diǎn)個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1，l2的位置關(guān)系相交重合平行1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若由兩條直線的方程組成的方程組只有一個公共解，則兩條直線相交． ()(2)若兩條直線的斜率都存在且不等，則兩條直線相交． ()(3)直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示經(jīng)過直線A1x＋B1y＋C1＝0和直線A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的所有直線． ()(4)直線A1x＋B1y＋C1＝0與直線A2x＋B2y＋C2＝0有交點(diǎn)的等價條件是A1B2－A2B1≠0． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2.直線x＝1和直線y＝2的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(2，2) B．(1，1)C．(1，2) D．(2，1)C[由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，故選C.]3.當(dāng)0＜k＜1時，兩條直線y＝x＋1，2x－y－k＋2＝0的交點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B[聯(lián)立兩直線方程得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k))，因為0<k<1，所以k－1<0，因此點(diǎn)(k－1，k)在第二象限．]類型1兩條直線的交點(diǎn)問題【例1】判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點(diǎn)．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.[解]法一：(1)方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))因此直線l1和l2相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－1).(2)方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0，,4x－12y＋8＝0))有無數(shù)個解，這表明直線l1和l2重合．(3)方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0))無解，這表明直線l1和l2沒有公共點(diǎn)，故l1∥l2.法二：(1)∵kl1＝2，kl2＝－eq\f(3,2)，kl1≠kl2，∴l(xiāng)1與l2相交，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0,3x＋2y－7＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))故l1與l2的交點(diǎn)為(3，－1).(2)由eq\f(2,4)＝eq\f(－6,－12)＝eq\f(4,8)，知l1與l2重合．(3)l2方程為2x＋y－3＝0，由eq\f(4,2)＝eq\f(2,1)≠eq\f(4,－3)知兩直線l1與l2平行．兩條直線相交的判定方法方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交．方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等．方法三：兩直線的斜率一個存在，另一個不存在．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．若直線l1：y＝kx＋k＋2與直線l2：y＝－2x＋4的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是()A．k＞－eq\f(2,3) B．k＜2C．－eq\f(2,3)＜k＜2 D．k＜－eq\f(2,3)或k＞2C[法一：由題意知，直線l1過定點(diǎn)P(－1，2)，斜率為k，直線l2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(2，0)、B(0，4)，若直線l1與l2的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則l1必過線段AB上的點(diǎn)(不包括A，B)，因為kPA＝－eq\f(2,3)，kPB＝2，所以－eq\f(2,3)＜k＜2.故選C.法二：由直線l1，l2有交點(diǎn)，得k≠－2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋k＋2，,y＝－2x＋4))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－k,k＋2)，,y＝\f(6k＋4,k