數(shù)學人教A版高中選擇性必修一（2019新編）3-2-1 雙曲線及其標準方程（教案）

雙曲線的方程【要點梳理】要點一、雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.要點詮釋：1.若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；2.若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；4.若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。要點二、雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程：1.當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；2.當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。當時，雙曲線的焦點在x軸上；當時，雙曲線的焦點在y軸上。橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標準方程統(tǒng)一為：要點三、求雙曲線的標準方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程?！镜湫屠}】類型一：雙曲線的定義例1.若一個動點P(x，y)到兩個定點A(－1，0)、A′(1，0)的距離差的絕對值為定值a，求點P的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．【解析】∵｜AA′｜＝2，∴(1)當a＝2時，軌跡方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，軌跡是兩條射線．(2)當a＝0時，軌跡是線段AA′的垂直平分線x＝0．(3)當0＜a＜2時，軌跡方程是＝1，軌跡是雙曲線．舉一反三：【變式1】已知點F1(－4,0)和F2(4,0)，曲線上的動點P到F1、F2距離之差為6，則曲線方程為()A.B.(y>0)C.或D.(x>0)【答案】D【變式2】雙曲線方程：，那么k的取值范圍是（）A.(5，+∞)B.（2,5）C.（-2,2）D．（-2,2）∪(5，+∞)【答案】D【解析】由題意知解得或k>5,故選D?！咀兪?】已知點F1(0,－13)、F2(0,13)，動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點P的軌跡方程為（）A．y=0B．y=0（x≤－13或x≥13）C．x=0（|y|≥13）D．以上都不對【答案】C例2.已知雙曲線過點A（-2，4）、B（4，4），它的一個焦點是，求它的另一個焦點的軌跡方程.【解析】易知，由雙曲線定義知即①即此時點的軌跡為線段AB的中垂線，其方程為x=1(y≠0)②即此時點的軌跡為以A、B為焦點，長軸長為10的橢圓，其方程為（y≠0）舉一反三：【變式1】已知點P(x,y)的坐標滿足，則動點P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線中的一支C．兩條射線D．以上都不對【答案】B【變式2】動圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，則動圓圓心的軌跡為()A．雙曲線的一支B．圓C．拋物線D．雙曲線【答案】A類型二：雙曲線的標準方程例3．已知雙曲線的兩個焦點F1、F2之間的距離為26，雙曲線上一點到兩焦點的距離之差的絕對值為24，求雙曲線的標準方程。【解析】由題意得2a=24，2c=26?！郺=12，c=13，b2=132－122=25。當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的方程為；當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的方程為。舉一反三：【變式1】求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）已知兩焦點,雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8.（2）雙曲線的一個焦點坐標為，經(jīng)過點.【答案】（1）（2）【變式2】求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且虛軸長與實軸長的比為，焦距為10的雙曲線的標準方程.【答案】由已知設,，則()依題意，解得.∴當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的方程為當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的方程為.【變式3】若以為焦點的雙曲線過點（2，1），則該雙曲線的標準方程為______?！敬鸢浮俊咭詾榻裹c的雙曲線過點（2，1），∴設雙曲線方程為，a＞0，把（2，1）代入，得：，a＞0，解得a2=2，或a2=6（舍），∴該雙曲線的標準方程為。故答案為：。例4．求與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線的標準方程。解法一：依題意設雙曲線方程為－=1，由已知得，又雙曲線過點，∴，∴故所求雙曲線的方程為.解法二：依題意設雙曲線方程為，將點代入，解得，所以雙曲線方程為.舉一反三：【變式】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則a的值為（）A.B.C.4D.10【答案】C【解析】由題意，類型三：雙曲線與橢圓例5.討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征．【解析】(1)當k<9時，25－k>0,9－k>0，所給方程表示橢圓，此時a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，這些橢圓有共同的焦點(－4,0)，(4,0)．(2)當9<k<25時，25－k>0,9－k<0，所給方程表示雙曲線，此時，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，這些雙曲線也有共同的焦點(－4,0)，(4,0)．(3)當k>25時，所給方程沒有軌跡．舉一反三：【變式】若雙曲線(m>0，n>0)和橢圓(a>b>0)有相同的焦點F1，F(xiàn)2，M為兩曲線的交點，則|MF1|·|MF2|等于________．【答案】a－m【解析】由雙曲線及橢圓定義分別可得：|MF1|－|MF2|＝①，|MF1|＋|MF2|＝②②2－①2得，4|MF1|·|MF2|＝4a－4m，∴|MF1|·|MF2|＝a－m.例6.求以橢圓3x2＋13y2＝39的焦點為焦點，以直線y＝為漸近線的雙曲線方程．【解析】橢圓可化為，其焦點坐標為(，0)，∴所求雙曲線的焦點為(，0)，設雙曲線方程為：(a>0，b>0)，∵雙曲線的漸近線為，∴，∴，∴，，即所求的雙曲線方程為：.舉一反三：【變式1】設雙曲線方程與橢圓有共同焦點，且與橢圓相交，在第一象限的交點為A，且A的縱坐標為4，求雙曲線的方程.【答案】【變式2】雙曲線與橢圓(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形一定是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【答案】B【鞏固練習】選擇題1．若方程表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是()A．B．C．D．1．答案：C解析：方程表示雙曲線，得或2．以橢圓的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是()A.B．C.D.2.答案：B解析：雙曲線的焦點在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，雙曲線方程為.3．雙曲線的實軸長是虛軸長的2倍，則實數(shù)m=()A.1B.C.D.1或3.答案：A解析：雙曲線化為，實軸上是虛軸上的2倍，化為，解得m=14．設θ∈(，π)，則關(guān)于x、y的方程所表示的曲線是()A．焦點在y軸上的雙曲線B．焦點在x軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓D．焦點在x軸上的橢圓4.答案：C解析：方程即是，因θ∈(，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示焦點在y軸上的橢圓5．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，若雙曲線的左支上有一點M到右焦點F2的距離為18，N是MF2的中點，O為坐標原點，則|NO|等于()A.B．1C．2D．45.答案：D解析：NO為△MF1F2的中位線，所以|NO|＝|MF1|，又由雙曲線定義知，|MF2|－|MF1|＝10，因為|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝46．已知是雙曲線上的一點，是的兩個焦點，若,則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.答案：A解析：∵，∴c2=2+1=3，∴，先找使得的點M坐標，即∵，∵聯(lián)立可得，，∴法二：設M（x0，y0），則∵，∴∴，∵x02=2+2y02，即3y02＜1∴∴二、填空題7．設F1、F2是雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，且，則的值為.7.答案：4解析：設，則，所以2mn=24-16=8，所以mn=48．過原點的直線l與雙曲線的左右兩支分別相交于A，B兩點，是雙曲線C的左焦點，若|FA|+|FB|=4，.則雙曲線C的方程為________．8．解析：設|FB|=x，則|FA|=4－x，∵過原點的直線l與雙曲線的左右兩支分別相交于A，B兩點，是雙曲線C的左焦點，∴，∵，∴x2+(4－x)2=12，∴x2－4x+2=0，∴，∴，∴，∴，∴b=1，∴雙曲線C的方程為9．如果橢圓與雙曲線的焦點相同，那么a＝________.9．答案：1解析：由題意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝110．一動圓過定點A(－4,0)，且與定圓B：(x－4)2＋y2＝16相外切，則動圓圓心的軌跡方程為________．10.答案：(x≤－2)解析：設動圓圓心為P(x，y)，由題意得：|PB|－|PA|＝4<|AB|＝8，由雙曲線定義知，點P的軌跡是以A、B為焦點，且2a＝4，a＝2的雙曲線的左支．三、解答題11.若橢圓(m>n>0)和雙曲線(a>0，b>0)有相同的焦點，P是兩曲線的一個交點，求|PF1|·|PF2|的值.11.解析：不妨設點P為雙曲線右支上的點，由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝，由雙曲線定義得|PF1|－|PF2|＝.∴|PF1|＝，|PF2|＝；同理可求P為左支上的點時情況，都能得到：|PF1|·|PF2|＝m－a.12．如圖，已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，P為雙曲線上的點，∠F1PF2＝60°，，求雙曲線的標準方程．12.解析：設雙曲線方程為，∵e＝＝2，∴a＝由雙曲線定義：|PF1|－|PF2|＝2a＝c.由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)，∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|，又＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝，得|PF1|·|PF2|＝48，即c2＝16，∴a2＝4，b2＝12，所求方程為.13．在面積為1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立適當坐標系．求以M、N為焦點且過點P的雙曲線方程．13.解析：解法一：以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標