鄭州輕工業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件-第20-24講

第20講

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度徐雅靜主講鄭州輕工業(yè)大學(xué)微課堂概念的引入什么是連續(xù)型隨機(jī)變量?簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)型隨機(jī)變量就是取值能連續(xù)充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)間的變量.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度微課堂概念的引入設(shè)離散型隨機(jī)變量X

在[a,b]內(nèi)等間隔的取n個(gè)值:連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度a

=

x1,

x2,

x3,

x4,

…,

xn

=

b.Pa=x1

x2x3s1s2s3…….snxn=bnP{a

X

b}i

1＝s

折線(xiàn)下面積之和！i畫(huà)X的概率直方圖小矩形的面積為Ｘ取對(duì)應(yīng)點(diǎn)的概率微課堂若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,由于X在[a,b]內(nèi)連續(xù)取無(wú)窮多個(gè)值,折線(xiàn)將變連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度概念的引入xPbf

(

x)Sbf

(

x

)dxa概率等于面積f

(

x)dx.x即X的分布函數(shù)

F

(x

)xx

}f

(

x)dx.據(jù)此給出下面的定義f

(

x)dx.a為一條光滑曲線(xiàn)

f(x),b且

P{a

X

b}

Sa…….ba可見(jiàn),對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,存在

f(x) 0

,

使

P{a

X同理,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有P{Xb}f}f

(

x)dx.則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量.其中函數(shù)f(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).·

由微積分的知識(shí)易知:連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù);在F(x)的導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)上有F

(x)

=

f(x).連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度【定義】如果對(duì)于隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有xF

(

x

)

f

(t

)dt則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量.其中函數(shù)f(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).·

概率密度的基本性質(zhì):(2)歸一性:概率密度的以上兩條基本性質(zhì)是充分必要的.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度(1)

非負(fù)性:

f(x)

0;-P

{-

X

}f

(

x)dx

1.2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度【定義】如果對(duì)于隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有xF

(

x

)

f

(t

)dt2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度·

概率密度的基本性質(zhì):非負(fù)性:f(x)歸一性:-0;f

(

x

)dx

1.概率密度的以上兩條基本性質(zhì)是充分必要的.為什么稱(chēng)f(x)為概率密度?若f(x)在點(diǎn)x連續(xù),由于f(x)=F(lxi)m

F

(

xx

)

F

(

x

)x

0xP{

x

X

xxx}

.limx

02.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度為什么稱(chēng)f(x)為概率密度?若f(x)在點(diǎn)x連續(xù),由于f(x)=F當(dāng)?x>0很小時(shí),連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度f(wàn)(x)類(lèi)似物理中的線(xiàn)密度.P{

x

X

x

x}

f

(

x)

x這表明,f(x)在x的值越大,X落在小區(qū)間(x,x+?x)內(nèi)的概率就越大.xxxy

f

(

x

)x(lxi)i)m

P{

x

X

xx}.x

0xP{

x

X

xx}f

(

x

)2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,P{X

=a}=0(a為任意實(shí)數(shù)).事實(shí)上,設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),{X

=

a}得

0

P{X

=

a}x

>0,則由{a

–

x

<

X

a},P{a

–

x

<

X a}

=

F(a)

–

F(a

–

x),注意到F(x)連續(xù),當(dāng)

x

0,

P{X

=

a}兩邊極限都是0,由夾逼準(zhǔn)則,

即得P{X

=

a}

=

0.這表明:概率為0的事件不一定是不可能事件;類(lèi)似地,概率為1的事件不一定是必然事件.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度這給計(jì)算帶來(lái)很大的方便.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,P{X

=a}=0(a為任意實(shí)數(shù)).在事件“aP{

a

XX

b”中減去“X

=a”或“X

=b”,不影響其概率,即b

}

=

P{a

<

X

b}=

P{a

X

<

b}=

P{a

<

X

<

b}=

F(b)

–

F(a)ba

f

(

x)dxS.3.有關(guān)例題連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度f(wàn)

(

x)dx1dxA111x

2A)2

(2A

1

/

., |

x

|

11x

20,

|

x

|

1試求:(1)系數(shù)A;(2)X落在(–1/2,1/2)內(nèi)的概率;(3)X的分布函數(shù)F(x).解:(1)由概率密度的歸一性知A【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

f

(x

)Aarcsin

x1

1A111xd2x13.有關(guān)例題試求:(1)系數(shù)A;(2)X落在(–1/2,1/2)內(nèi)的概率;(3)X的分布函數(shù)F(x).解:(2)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1212XP1

1x2

dx1

/211/

2arcsin

x1

/

21, |

x

|

1f

(

x

)1x

20, |

x

|

11

/2, |

x

|

11x

20,

|

x

|

1A【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

f

(x

)

1（-61-

6

）

3

.3.有關(guān)例題連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度解:(3)因?yàn)镕

(x)f

(

t

)dt當(dāng)x

<-1時(shí),F

(x

)x0dt

0;當(dāng)

-1

x

<

1時(shí),

dtx1t

2111xarcsin

t111

arcsin

x

21

;1F

(

x)

0

dt, |

x

|

11x

20,

|

x

|

1A【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f

(x

)試求:(3)X的分布函數(shù)F(x).x3.有關(guān)例題1時(shí),連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度F

(

x

)1.x當(dāng)

-1

x

<

1時(shí),當(dāng)

x

F

(

x)f

(t

)dt, |

x

|

11x

20,

|

x

|

1A解:(3)因?yàn)镕

(x)【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f

(x

)試求:(3)X的分布函數(shù)F(x).xf

(

t

)dt當(dāng)x

<-1時(shí),F

(x

)x0dt

0;1

11

;x

dt

0dt11t

2111

arcs2in

x0dt13.有關(guān)例題連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度F

(

x

)1

arcsi2n2n

x1

,x11

x

1,x

10

,, |

x

|

11x

20,

|

x

|

1A【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f

(x

)試求:(3)X的分布函數(shù)F(x).解:(3)所以X的分布函數(shù)為3.有關(guān)例題【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的分布為F(x)

=

A

+

Barctan

x,<

x

<

+求(1)系數(shù)A和B;(2)X落在(–1,1)內(nèi)的概率;(3)X的概率密度.解:

(1)

由F( )

=

0,

F(+)=1,

可知于是連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2()

1A

1

,B12πx1

arctan

x

,A

B

2(

)

0A

BF

(

x

)

2

13.有關(guān)例題【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的分布為F(x)

=

A

+

Barctan

x,<

x

<

+求(1)系數(shù)A和B;(2)X落在(–1,1)內(nèi)的概率;(3)X的概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1

arctan

121

，,1

arct2an(

1)x2

1

1(3)

f

(

x

)F

"(

x

)

1(1

x

2

)x解:(1)F

(

x

)

2

1 1

arctan

x

,(2)

P{–1

<

X

<

1}

=

F(1)

–

F(–1)微課堂2.概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì):連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度小結(jié)1.連續(xù)型隨機(jī)變量的F(x)與f(x)x(x)存在的點(diǎn)）關(guān)系:F

(x

)f

(

x)

Ff

(

x)dx(在x)F(1)非負(fù)性f

(x

)0; (2)歸一性f

(

x)dx1abf

(

x)dxF

(b)F

(a).3.P{計(jì)a

算概X

率b:}微課堂1.設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度試求:(1)系數(shù)A;(2)X落在區(qū)間(0.3,0.7)內(nèi)的概率;(3)X的概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度練習(xí)題0，

其它.C

(

9

x

2

),3

x

3,1,0,2f

(

x

)(1)求常數(shù)C;(2)求P{X

<0};(3)求X的分布函數(shù).2.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為x

00

x

1x

1F

(

x

)Ax,2021年5月教學(xué)設(shè)計(jì):主講老師:徐雅靜

汪遠(yuǎn)征

徐雅靜

徐姍

鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì):制作單位:制作時(shí)間:連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第21講

均勻分布與指數(shù)分布徐雅靜主講微課堂回顧均勻分布與指數(shù)分布1.連續(xù)型隨機(jī)變量F(x)與f(x)關(guān)系xF

(

x

)

f

(

x)dxF

(

x)

f

(

x)

(在F

(

x)存在的點(diǎn)）2.概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)(1)非負(fù)性f

(x

)0; (2)歸一性f

(

x)dx1abf

(

x)dxF

(b)F

(a).3.P{計(jì)a

算概X

率b}1.均勻分布【定義1】如果連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱(chēng)X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X

~

U(a,b).均勻分布的均勻性體現(xiàn)在哪里?均勻分布與指數(shù)分布1f

(

x

),

a

x

bb

a其它0,1.均勻分布X

~

U(a,

b)均勻分布落在等長(zhǎng)小區(qū)內(nèi)的概率相等！均勻分布與指數(shù)分布(若(若x1

,x2

)b

ab

ax2x1lx2abx1與小區(qū)間的

l.長(zhǎng)度成正比1(

a

,

b)P{

x1

X

2x

}x

2

dx1

b

ax1f

(

x

),

a

x

bb

a其它0,均勻分布的均勻性體現(xiàn)在哪里?l1.均勻分布X

~

U(a,

b)·

均勻分布的分布函數(shù)為:均勻分布與指數(shù)分布b

a0,x

aF

(

x

)a

x

b

x

a

,1,

xb1f

(

x

),

a

x

bb

a其它0,1.均勻分布如果只保留整數(shù),舍入誤差均勻分布應(yīng)用很廣范,如:·四舍五入的舍入誤差服從均勻分布.服從均勻分布U(–0.5,0.5).·假定班車(chē)每隔a分鐘發(fā)出一輛,乘客隨機(jī)到達(dá)車(chē)站,候車(chē)時(shí)間服從區(qū)間均勻分布(0,a).……均勻分布與指數(shù)分布1.均勻分布P{10

<

X

<

15}

+

P{25

<

X

<

30}均勻分布與指數(shù)分布7：0

07：157：1072：2：57：3

05【例1】某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起,每15分鐘來(lái)一班車(chē),如果乘客在7:00到7:30之間隨機(jī)到達(dá)此站,試求他候車(chē)時(shí)間少于5分鐘的概率.解:設(shè)X為乘客到車(chē)站的時(shí)間(單位:分鐘),則

X

~

U(0,

30).1

/

30,

0

x

300,

其它f

(

x

)5候車(chē)不超過(guò)5分鐘的時(shí)間段dx

dx25

3010

301

1153031.2.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X

~

Exp(

).均勻分布與指數(shù)分布10,(

0)x

0f

(

x

)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe

,

x

02.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X

~

Exp(

).指數(shù)分布常用作各種“壽命”分布的近似分布均勻分布與指數(shù)分布10,(

0)x

0f

(

x

)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe

,

x

02.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X

~

Exp(

).例如:電子元器件的壽命;隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間;……均勻分布與指數(shù)分布10,(

0)x

0f

(

x

)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe

,

x

02.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,

記為X

~

Exp(

).·

指數(shù)分布的分布函數(shù)為均勻分布與指數(shù)分布F

(

x

)x-f

(t

)dt0x

1etdt,

x0t

x-

e,x00,x00,x001(

0)0,x

0f

(

x

)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe

,

x

02.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,

記為X

~

Exp(

).均勻分布與指數(shù)分布F

(

x

)-指數(shù)分布的分布函數(shù)為t

x0,0e0e,

x

0x

010,x,e

x

0x

01(

0)0,x

0f

(

x

)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe

,

x

02.指數(shù)分布均勻分布與指數(shù)分布00F

(

x

)1

e0,

x則稱(chēng)X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,

記為X

~

Exp(

).指數(shù)分布的分布函數(shù)為x,

x1(

0)0,x

0f

(

x

)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe

,

x

0),則對(duì)任意s

>0,t

>0,2.指數(shù)分布【定理】(指數(shù)分布的無(wú)記憶性)設(shè)X

~

Exp(有

P{X

>s

+t

|

X

>s}=P{X

>t}.證:因?yàn)閄

~

Exp(θ),所以,當(dāng)x

>0時(shí),P{X

>x}=1–F(x)=1–(1–e

–x/θ

)=e

–x/θ,于是均勻分布與指數(shù)分布P

{

X

s

t

|

X

s

}P{(

X

s

t

) (

X

s)}

P{

X

s

t}eP{

X

s}(

s

t

)

/es

/P{

X

s}e

t

/

P{

X

t

}.F

(

x

)1

e0,x

/

x,

0x

0.2.指數(shù)分布方法一:X的概率密度為均勻分布與指數(shù)分布e

1x

0

，x

00.368.

1e1e30,f

(

x

)【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間（單位:分鐘）服從θ

=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.解:以X表示對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間,則X

~

Exp(3),x3

,(1)P{

X

3}31e3x33x3dx-e2.指數(shù)分布方法一:X的概率密度為均勻分布與指數(shù)分布20.233.x

0

，x

0e

1

-

ef

(

x

)【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間（單位:分鐘）服從θ

=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.解:以X表示對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間,則X

~

Exp(3),x3

,(2)

P{3

X6}

6

1

e3

33

1e1e30,x

6x3

dx

-e

32.指數(shù)分布【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間（單位:分鐘）服從θ

=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.解:以X表示對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間,方法二:X的分布函數(shù)均勻分布與指數(shù)分布，0F

(

x

)1

e0,x

/

3x3x,x

0(1)

P

{

X3}1

F

(3)1

(1

e3

/

3)

e10.368.2.指數(shù)分布【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間（單位:分鐘）服從θ

=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.解:以X表示對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間,方法二:X的分布函數(shù)均勻分布與指數(shù)分布F

(6)6

/

3)

(1

e3

/

3)(2)

P{3

X

6}e1e2F

(3)

(1

e0.233.，0F

(

x

)1

e0,x

/

3x3x,x

02.指數(shù)分布【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間（單位:分鐘）服從θ

=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.如果你到達(dá)時(shí)取款機(jī)正在為一名顧客服務(wù),同時(shí)沒(méi)有其他人在排隊(duì)等候,上面答案變嗎?·

答案不變.均勻分布與指數(shù)分布微課堂均勻分布與指數(shù)分布小結(jié)常用連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布:X

~

U(a,b),10，f

(

x

)x

0.f

(

x

)

1e0,1,x0,x

00.x0，F(xiàn)

(

x

)x

/

,1

exbb,

a

xb

a其它.0,b,

F

(

x

)

1,指數(shù)分布:

X

~

Exp(

), >

0,x

axa

ax,a

x

b微課堂設(shè)隨機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè),求至少有兩次觀(guān)測(cè)值大于3的概率.設(shè)某人電話(huà)通話(huà)時(shí)間X（分鐘）服從指數(shù)分布,概率密度為求她的通話(huà)時(shí)間在10

~

20分鐘之間的概率;若她已打了10分鐘,求她繼續(xù)通話(huà)超過(guò)15分鐘的概率.均勻分布與指數(shù)分布練習(xí)題(

0)0,x

0.0,f

(

x

)151

e

x

/

15

,x2021年5月教學(xué)設(shè)計(jì):主講老師:徐雅靜

汪遠(yuǎn)征

徐雅靜

徐姍

鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì):制作單位:制作時(shí)間:均勻分布與指數(shù)分布練習(xí)題解答1.設(shè)隨機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè),求至少有兩次觀(guān)測(cè)值大于3的概率解:因?yàn)殡S機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布,所以X的概率密度為均勻分布與指數(shù)分布事件“對(duì)X的觀(guān)測(cè)值大于03,”的概其概其率它率它為

1

,2x

5f

(

x

)33P{

X

3}1

dx2

.53

3練習(xí)題解答1.設(shè)隨機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè),求至少有兩次觀(guān)測(cè)值大于3的概率解:事件“對(duì)X的觀(guān)測(cè)值大于3”的概率為于是均勻分布與指數(shù)分布P{

X

3}3

2設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀(guān)測(cè)中觀(guān)測(cè)值大于3的次數(shù),則2Y

~

B

3,

,3223P{Y

2}C

(3323C

3()3

)2

1320.27練習(xí)題解答2.設(shè)某人電話(huà)通話(huà)時(shí)間X（分鐘）服從指數(shù)分布,概率密度為求她的通話(huà)時(shí)間在10

~

20分鐘之間的概率若她已打了10分鐘,求她繼續(xù)通話(huà)超過(guò)15分鐘的概率.均勻分布與指數(shù)分布x

0.0,f

(

x

)

1

e

x

/

15

,x150,20

110

15e4e3

.解:(1)P{10

X

20}x15

dx2e3115(2)P

{

X

25

|

X

10}P{

X

151}5

ee1

.x15

dx第22講

正態(tài)分布徐雅靜主講微課堂你可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)聲名顯赫的正態(tài)分布,也可能見(jiàn)過(guò)這些優(yōu)美漂亮的鐘型曲線(xiàn).你知道它的來(lái)歷、知道它超凡的應(yīng)用嗎？正態(tài)分布前言1222(

x

)2N

(

,2),f

(

x

)

e1.正態(tài)分布的背景·大約18世紀(jì)中葉, 英國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛和法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯發(fā)現(xiàn)

了一個(gè)近似公式——棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理:·

這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.正態(tài)分布拉普拉斯

(Laplace,1749—1827)法國(guó)數(shù)

學(xué)家和物理學(xué)家,法國(guó)科學(xué)院院士。棣莫弗(De

Moivre,1667-1754)法國(guó)–英國(guó)數(shù)學(xué)家。1et2xd2

txn

p(1

p)

2nlnlim

Pnnp1.正態(tài)分布的背景正態(tài)分布·十九世紀(jì)前葉,高斯(Gass,德國(guó))對(duì)正態(tài)分布加以推廣,對(duì)于正態(tài)分布?xì)v史地位的確立起到了決定性作用.·

正態(tài)分布通常稱(chēng)為高斯分布.高斯(Gauss,1777－1855)德國(guó)著名數(shù)學(xué)

家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一,并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng),以他名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè),屬數(shù)學(xué)家中之最。1.正態(tài)分布的背景·十九世紀(jì)前葉,高斯(Gass,德國(guó))對(duì)正態(tài)分布加以推廣,對(duì)于正態(tài)分布?xì)v史地位的確立起到了決定性作用.·

正態(tài)分布通常稱(chēng)為高斯分布.正態(tài)分布德國(guó)10馬克紙幣德國(guó)鋼镚1.正態(tài)分布的背景自然界和人類(lèi)社會(huì)中很多現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來(lái)研究.人的生理特征尺寸和指標(biāo);如:身高、體重、血壓、血小板…正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸;如:長(zhǎng)度、重量、高度…正態(tài)分布1.正態(tài)分布的背景自然界和人類(lèi)社會(huì)中很多現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來(lái)研究.·

各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):如:某市一晝夜的耗電量、企業(yè)生產(chǎn)的各種數(shù)據(jù)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各種指標(biāo)…正態(tài)分布1.正態(tài)分布的背景自然界和人類(lèi)社會(huì)中很多現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來(lái)研究.·

各種誤差:如:機(jī)械零件加工的誤差、各種測(cè)量誤差...·

試驗(yàn)次數(shù)很大的二項(xiàng)分布、泊松分布;…..正態(tài)分布2.正態(tài)分布的定義【定義】如果隨機(jī)變量

X

的概率密度為2

(>0)為參數(shù),則稱(chēng)X

服從參數(shù)為,

2的正態(tài)分布其中

,記為X N(μ,

σ2).正態(tài)分布N(μ,σ2)的分布函數(shù)為正態(tài)分布1xF

(

x

)

e

22(

t

)2dt

.2exf

(

x

)2(

x2)2,12優(yōu)美漂亮的鐘形曲線(xiàn)不好積分,軟件計(jì)算最美數(shù)學(xué)學(xué)公式2.正態(tài)分布的定義f(x)的圖形具有以下的特點(diǎn):曲線(xiàn)關(guān)于x

=

對(duì)稱(chēng).當(dāng)x

=

時(shí)f(x)取到最大值(3)

x

=是曲線(xiàn)的拐點(diǎn),曲線(xiàn)以x軸為漸進(jìn)線(xiàn).正態(tài)分布12f

(

)

.,x2f

(

x

)

e22(

x

)122.正態(tài)分布的定義f(x)的圖形具有以下的性質(zhì):(4)

如果固定 ,

改變

的值,

則圖形沿著x軸平移,

其形狀不改變.稱(chēng)

為位置參數(shù).正態(tài)分布,

x2f

(

x

)

e22(

x

)122.正態(tài)分布的定義f(x)的圖形具有以下的性質(zhì):的值,

則 愈小,

圖形變得愈尖,

X

落在

附(5)

如果固定 ,

改變的概率越大.稱(chēng)

為尺度參數(shù).正態(tài)分布,

x2f

(

x

)

e22(

x

)12x3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)于X N(μ,

σ2),

當(dāng)

μ

=

0,

σ

=

1時(shí),正態(tài)分布1(x)和

(x)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作X

~

N(0,1).N(0,1)的概率密度和分布函數(shù)分別記為x

22

,(

x

)

e21x

t

2e

2

dt

.Φ(

x

)2,x2f

(

x

)

e22(

x)12y3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)于X N(μ,

σ2),

當(dāng)

μ

=

0,

σ

=

1時(shí),稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作X

~

N(0,1).N(0,

1)的概率密度和分布函數(shù)分別記為

(x)和

(x)易知 (–x)

=

1

–

(x).(x)的值可查表,或調(diào)用相關(guān)軟件的函數(shù)計(jì)算.正態(tài)分布12(

x

)1xx

2

t

22

,e

2

dt

.e Φ(

x

)2-

xx,x2f

(

x

)

e22(

x)12(

x

)1-

(x)=？1-P{X≤x}(-x)=P{X≤

？x-}x}-3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布對(duì)于X

N(1,

0),x

22(

x

)1

2

,ext

2e

2

dt

.Φ(

x

)12易知 (–x)

=

1

–

(x).(x)的值可查表,或調(diào)用相關(guān)軟件的函數(shù)計(jì)算.對(duì)任意x

≥0,有P{|

X

|

x

}P

{

x

Xx

}

Φ(

x

)

Φ(

x

)2Φ(

x

)3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布易知

(–x)

=

1

–

(x).(x)的值可查表,或調(diào)用相關(guān)軟件的函數(shù)計(jì)算.·

對(duì)任意x

≥0,有P{|

X

|

x

} 2Φ(

x

)

1.對(duì)于X

N(1,

0),x

22(

x

)1

2

,ext

2e

2

dt

.Φ(

x

)12正態(tài)分布=NORM.S.DIST(-1.52,TRUE)P{|

X

|

x

} 2Φ(

x

)

11

Φ(1.52)0.0643.1(3)

P{|

X

|

<

1.52}

=

2Φ(1.52)2

0.9357

10.8714.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布【例1】設(shè)X

~

N(0,1),計(jì)算下列概=N率調(diào)O.RM用M用.ESx.cDeIlS函T(數(shù)1.52,TRUE)P{X

<1.52}=Φ(1.52)0.9357.調(diào)用Excel函數(shù)(2)

P{X

<

–1.52}

=

Φ(1.52)微課堂小結(jié)正態(tài)分布N

(0，1)微課堂設(shè)X

~

N(0,1),查表或用Excel等軟件計(jì)算下列概率.并解釋這些概率說(shuō)明什么.P{X

<

0}P{|

X

|

<

1}P{|

X

|

<

2}P{|

X

|

<

3}正態(tài)分布練習(xí)題2021年5月教學(xué)設(shè)計(jì):主講老師:徐雅靜

汪遠(yuǎn)征

徐雅靜

徐姍

鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì):制作單位:制作時(shí)間:正態(tài)分布第23講隨機(jī)變量函數(shù)的分布徐雅靜主講微課堂應(yīng)用中,常常會(huì)用到隨機(jī)變量函數(shù).顯然,隨機(jī)變量的函數(shù)也是隨機(jī)變量,也需要研究它的概率分布.例如:隨機(jī)變量函數(shù)的分布前言國(guó)際上流行的標(biāo)準(zhǔn)體重W

=H

–105,等等已知隨機(jī)變量X的概率分布,如何求其函數(shù)Y

=g(X)的概率分布?分子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能E2

1

mV

2

;1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,X的分布律為則Y

=g(X)也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.如何求出X的函數(shù)Y

=g(X)的分布律呢?容易得到Y(jié)

=……g(X)

g(x1

)

g(x2

)pi

p1

p2…png(xn

)…Xx1x2…xn…pip1p2…pn…1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布如何求出X的函數(shù)Y

=g(X)的概率分布?容易得到當(dāng)g(x1),g(x2),…,g(xn)中有某些值相等時(shí),把它們分別合并,并應(yīng)的概率相加即得Y的分布律.隨機(jī)變量函數(shù)的分布Y

=

g(X)g(x1

)

g(x2

)…g(xn

)…pip1

p2…pn…1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例1】已知隨機(jī)變量X的分布律如下:求Y

=X

2

+X,Z

=X

2

+1的分布律．解:由X的分布律可得如下表格隨機(jī)變量函數(shù)的分布X

–

2

–

1

0

1

2pi

0.2

0.1 0.1

0.3

0.3pi0.20.10.10.30.3X–

2–

1012Y=X2

+

X20026Z=X2

+

1521251.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例1】已知隨機(jī)變量X的分布律如下,求Y

=X

2

+X,Z

=X

2

+1的分布律．解:由X的分布律可得如下表格由此表格,得Y,Z的分布律分別為隨機(jī)變量函數(shù)的分布pi0.20.10.10.30.3X–

2–

1012Y=X2

+

X20026Z=X2

+

152125隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,已知X的概率分布.如何求出X的函數(shù)Y

=g(X)的概率分布?分布函數(shù)法:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y);FY(y)

=

P{Y

y}

P{

g

(

X

)

y

}P{

X

D}這里{X

D}是與{g(X)

y}

等價(jià)的事件;(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo),得到Y(jié)的概率密度f(wàn)Y(y)．隨機(jī)變量函數(shù)的分布3).(

y

1

)

d

(

y

1

)1

yf

133

dy3X

(FX

((

y1

)/

3).(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度FY

(

yX)fY

(

y

)f0

x

1,0

2

x其,他.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)FY

(

y

)

P{Y

y

}P

{

3

X

1

y

}P{

X

(

y

1)

/

3}2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

fX

(x

)Y

=3X

–1,求Y的概率密度.隨機(jī)變量函數(shù)的分布)1y

13fY

(

y

)X33其他.f

(3

0，3

,0y

11，3().1

)

d

(

y1

)

1

yf

133

dy31

2(

y

1)Xf

(

y

)Y

YF

(

yX)(

y將Xf的f的概率密度代入得0

x

1,0

2

x其,他.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

fX

(x

)Y

=3X

–1,求Y的概率密度.隨機(jī)變量函數(shù)的分布f

(

y

)1f

()Y3X33其他.3

30，011，1

2(

y

1)

,

yy

1,1

y

2，其他.2(

y

1)90，0

x

1,0

2

x其,他.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度,將X的概率密度代入得2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

fX

(x

)Y

=3X

–1,求Y的概率密度.2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)所以隨機(jī)變量函數(shù)的分布當(dāng)y

≤0時(shí),FY(y)=0,當(dāng)y

>0時(shí),FY

(y)P{y

}FX

(

y

)

FX

(

y

)y

0,y

0.F

(

y

)F

(

y

)y

XFX

(

y

),0XYF

Y(

y

)

P{Y

y}

P{

X

2

y}.(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)0,0.F

(

y

)F

(

y

)

FX

(

y

)y,X0

yY0,(

F

y(

0,y

0.X(F

(

y

)X

)y

))

,Yf

(

y

)2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的分布1y

0.[

f

(

y

)

(

y

)]y,

0,2

yf

0,XXYf

(

y

)0,(

F

y(

0,y

0.X(F

(

y

)X

)y

))

,2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的分布y

0,y

0.fY(

y

)y2

0,

1

[

fX(

y

)

X

f(

y

)],2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x

<+∞,求Y

=X2的概率密度．隨機(jī)變量函數(shù)的分布0,y

0,y

0.(

y

)],(

y

)21

y

[

fX

(

y

)

X

ffY稱(chēng)Y

服從自由度為1的

2分布1x

22

,2若X

~

N(0,1),其概率密度為(x

)

e可得Y

=X

2的概率密度為1y

0,y

0.1yy

2

e

2

,Yf

(

y

)

20微課堂已知X的概率分布,求其函數(shù)Y

=g(X)的概率分布:1.離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布小結(jié)…p22.連續(xù)型（分布函數(shù)法）已知fX(y)或FX(y)求分布函數(shù)FY

(y);對(duì)y求導(dǎo)得概率密度X

f

(

x)型Xx1

x2

…pxn

…p

p

…Y

=

g(iX)pg(x1

)

21

…pign(n(px

)

…

…

p

g(x……)12

n

nn微課堂2.設(shè)X～N(0,1),求Y

=eX

及的概率密度．2.設(shè)X～U(0,1),試求Y

=1–X的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的分布練習(xí)題1.已知離散隨機(jī)變量的分布律為X1-2

-0

1

31/15試求Y

=pi2

與

1/5

1/6

1/51X1/30Y

=

|X|的分布律．2021年5月教學(xué)設(shè)計(jì):主講老師:徐雅靜

汪遠(yuǎn)征

徐雅靜

徐姍

鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì):制作單位:制作時(shí)間:隨機(jī)變量函數(shù)的分布第24講正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化徐雅靜主講微課堂如何求正態(tài)分布的函數(shù)Y

=g(X)的概率分布?分布函數(shù)法:求Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y

≤y};FY(y)對(duì)y求導(dǎo),得到Y(jié)的概率密度f(wàn)Y(y).正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化回顧正態(tài)分布X N(μ,

σ2),

概率密度為x1f

(

x

)

e22(

x)2,21.正態(tài)分布的重要性質(zhì))2),用分布函數(shù)法,可以證明正態(tài)分布的重要性質(zhì).【定理】設(shè)X

~

N(μ,σ2),則(1)

Y

=

aX

+

b

~

N

(a

+

b,

(a其中a( 0),

b為常數(shù);正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化(2)

YX

~

N

(0,1).1.正態(tài)分布的重要性質(zhì)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化用分布函數(shù)法證明正態(tài)分布的重要性質(zhì).【定理】設(shè)X

~

N(μ,σ2),則+

b,

(a)2),其中a((1)Y

=aX

+b

~

N

(a0),b為常數(shù);證(1)

①求Y的分布函數(shù)FY(y)aF(

yb

),FY

(

y

)當(dāng)a

>0時(shí),FYP{Y

y

}

P{aX

b

y}.(

y

)

P{

X

a

y

bX

}(

y

)aP{

XX

yab

}1

F(yb

),Y當(dāng)a

<0時(shí),F1.正態(tài)分布的重要性質(zhì)+

b,

(a)2),其中a(【定理】設(shè)X

~

N(μ,σ2),則(1)Y

=aX

+b

~

N

(a0),b為常數(shù);證(1)

①求Y的分布函數(shù)FY(y)②FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化X當(dāng)a

>

0時(shí),

FY

(

y

)

F(

yb

),Y當(dāng)a

<0時(shí),F

(y

)1

FXaay

(

)b,Yb

),X1X1(

yf

a1y

b當(dāng)a

>0時(shí),f

(y

)a當(dāng)a

<0時(shí),fY

(y

)a

faX

().Yf

(

y)1|

a

|f

X

(

a

).y

b1