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文檔簡(jiǎn)介
第20講
連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度徐雅靜主講鄭州輕工業(yè)大學(xué)微課堂概念的引入什么是連續(xù)型隨機(jī)變量?簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)型隨機(jī)變量就是取值能連續(xù)充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)間的變量.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度微課堂概念的引入設(shè)離散型隨機(jī)變量X
在[a,b]內(nèi)等間隔的取n個(gè)值:連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度a
=
x1,
x2,
x3,
x4,
…,
xn
=
b.Pa=x1
x2x3s1s2s3…….snxn=bnP{a
X
b}i
1=s
折線(xiàn)下面積之和!i畫(huà)X的概率直方圖小矩形的面積為X取對(duì)應(yīng)點(diǎn)的概率微課堂若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,由于X在[a,b]內(nèi)連續(xù)取無(wú)窮多個(gè)值,折線(xiàn)將變連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度概念的引入xPbf
(
x)Sbf
(
x
)dxa概率等于面積f
(
x)dx.x即X的分布函數(shù)
F
(x
)xx
}f
(
x)dx.據(jù)此給出下面的定義f
(
x)dx.a為一條光滑曲線(xiàn)
f(x),b且
P{a
X
b}
Sa…….ba可見(jiàn),對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,存在
f(x) 0
,
使
P{a
X同理,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有P{Xb}f}f
(
x)dx.則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量.其中函數(shù)f(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).·
由微積分的知識(shí)易知:連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù);在F(x)的導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)上有F
(x)
=
f(x).連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度【定義】如果對(duì)于隨機(jī)變量X
的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有xF
(
x
)
f
(t
)dt則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量.其中函數(shù)f(x)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).·
概率密度的基本性質(zhì):(2)歸一性:概率密度的以上兩條基本性質(zhì)是充分必要的.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度(1)
非負(fù)性:
f(x)
0;-P
{-
X
}f
(
x)dx
1.2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度【定義】如果對(duì)于隨機(jī)變量X
的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有xF
(
x
)
f
(t
)dt2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度·
概率密度的基本性質(zhì):非負(fù)性:f(x)歸一性:-0;f
(
x
)dx
1.概率密度的以上兩條基本性質(zhì)是充分必要的.為什么稱(chēng)f(x)為概率密度?若f(x)在點(diǎn)x連續(xù),由于f(x)=F(lxi)m
F
(
xx
)
F
(
x
)x
0xP{
x
X
xxx}
.limx
02.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度為什么稱(chēng)f(x)為概率密度?若f(x)在點(diǎn)x連續(xù),由于f(x)=F當(dāng)?x>0很小時(shí),連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度f(wàn)(x)類(lèi)似物理中的線(xiàn)密度.P{
x
X
x
x}
f
(
x)
x這表明,f(x)在x的值越大,X落在小區(qū)間(x,x+?x)內(nèi)的概率就越大.xxxy
f
(
x
)x(lxi)i)m
P{
x
X
xx}.x
0xP{
x
X
xx}f
(
x
)2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,P{X
=a}=0(a為任意實(shí)數(shù)).事實(shí)上,設(shè)X的分布函數(shù)為F(x),{X
=
a}得
0
P{X
=
a}x
>0,則由{a
–
x
<
X
a},P{a
–
x
<
X a}
=
F(a)
–
F(a
–
x),注意到F(x)連續(xù),當(dāng)
x
0,
P{X
=
a}兩邊極限都是0,由夾逼準(zhǔn)則,
即得P{X
=
a}
=
0.這表明:概率為0的事件不一定是不可能事件;類(lèi)似地,概率為1的事件不一定是必然事件.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度這給計(jì)算帶來(lái)很大的方便.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,P{X
=a}=0(a為任意實(shí)數(shù)).在事件“aP{
a
XX
b”中減去“X
=a”或“X
=b”,不影響其概率,即b
}
=
P{a
<
X
b}=
P{a
X
<
b}=
P{a
<
X
<
b}=
F(b)
–
F(a)ba
f
(
x)dxS.3.有關(guān)例題連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度f(wàn)
(
x)dx1dxA111x
2A)2
(2A
1
/
., |
x
|
11x
20,
|
x
|
1試求:(1)系數(shù)A;(2)X落在(–1/2,1/2)內(nèi)的概率;(3)X的分布函數(shù)F(x).解:(1)由概率密度的歸一性知A【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
f
(x
)Aarcsin
x1
1A111xd2x13.有關(guān)例題試求:(1)系數(shù)A;(2)X落在(–1/2,1/2)內(nèi)的概率;(3)X的分布函數(shù)F(x).解:(2)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1212XP1
1x2
dx1
/211/
2arcsin
x1
/
21, |
x
|
1f
(
x
)1x
20, |
x
|
11
/2, |
x
|
11x
20,
|
x
|
1A【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
f
(x
)
1(-61-
6
)
3
.3.有關(guān)例題連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度解:(3)因?yàn)镕
(x)f
(
t
)dt當(dāng)x
<-1時(shí),F
(x
)x0dt
0;當(dāng)
-1
x
<
1時(shí),
dtx1t
2111xarcsin
t111
arcsin
x
21
;1F
(
x)
0
dt, |
x
|
11x
20,
|
x
|
1A【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f
(x
)試求:(3)X的分布函數(shù)F(x).x3.有關(guān)例題1時(shí),連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度F
(
x
)1.x當(dāng)
-1
x
<
1時(shí),當(dāng)
x
F
(
x)f
(t
)dt, |
x
|
11x
20,
|
x
|
1A解:(3)因?yàn)镕
(x)【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f
(x
)試求:(3)X的分布函數(shù)F(x).xf
(
t
)dt當(dāng)x
<-1時(shí),F
(x
)x0dt
0;1
11
;x
dt
0dt11t
2111
arcs2in
x0dt13.有關(guān)例題連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度F
(
x
)1
arcsi2n2n
x1
,x11
x
1,x
10
,, |
x
|
11x
20,
|
x
|
1A【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f
(x
)試求:(3)X的分布函數(shù)F(x).解:(3)所以X的分布函數(shù)為3.有關(guān)例題【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的分布為F(x)
=
A
+
Barctan
x,<
x
<
+求(1)系數(shù)A和B;(2)X落在(–1,1)內(nèi)的概率;(3)X的概率密度.解:
(1)
由F( )
=
0,
F(+)=1,
可知于是連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2()
1A
1
,B12πx1
arctan
x
,A
B
2(
)
0A
BF
(
x
)
2
13.有關(guān)例題【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的分布為F(x)
=
A
+
Barctan
x,<
x
<
+求(1)系數(shù)A和B;(2)X落在(–1,1)內(nèi)的概率;(3)X的概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1
arctan
121
,,1
arct2an(
1)x2
1
1(3)
f
(
x
)F
"(
x
)
1(1
x
2
)x解:(1)F
(
x
)
2
1 1
arctan
x
,(2)
P{–1
<
X
<
1}
=
F(1)
–
F(–1)微課堂2.概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì):連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度小結(jié)1.連續(xù)型隨機(jī)變量的F(x)與f(x)x(x)存在的點(diǎn))關(guān)系:F
(x
)f
(
x)
Ff
(
x)dx(在x)F(1)非負(fù)性f
(x
)0; (2)歸一性f
(
x)dx1abf
(
x)dxF
(b)F
(a).3.P{計(jì)a
算概X
率b:}微課堂1.設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度試求:(1)系數(shù)A;(2)X落在區(qū)間(0.3,0.7)內(nèi)的概率;(3)X的概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度練習(xí)題0,
其它.C
(
9
x
2
),3
x
3,1,0,2f
(
x
)(1)求常數(shù)C;(2)求P{X
<0};(3)求X的分布函數(shù).2.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為x
00
x
1x
1F
(
x
)Ax,2021年5月教學(xué)設(shè)計(jì):主講老師:徐雅靜
汪遠(yuǎn)征
徐雅靜
徐姍
鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì):制作單位:制作時(shí)間:連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第21講
均勻分布與指數(shù)分布徐雅靜主講微課堂回顧均勻分布與指數(shù)分布1.連續(xù)型隨機(jī)變量F(x)與f(x)關(guān)系xF
(
x
)
f
(
x)dxF
(
x)
f
(
x)
(在F
(
x)存在的點(diǎn))2.概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)(1)非負(fù)性f
(x
)0; (2)歸一性f
(
x)dx1abf
(
x)dxF
(b)F
(a).3.P{計(jì)a
算概X
率b}1.均勻分布【定義1】如果連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱(chēng)X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X
~
U(a,b).均勻分布的均勻性體現(xiàn)在哪里?均勻分布與指數(shù)分布1f
(
x
),
a
x
bb
a其它0,1.均勻分布X
~
U(a,
b)均勻分布落在等長(zhǎng)小區(qū)內(nèi)的概率相等!均勻分布與指數(shù)分布(若(若x1
,x2
)b
ab
ax2x1lx2abx1與小區(qū)間的
l.長(zhǎng)度成正比1(
a
,
b)P{
x1
X
2x
}x
2
dx1
b
ax1f
(
x
),
a
x
bb
a其它0,均勻分布的均勻性體現(xiàn)在哪里?l1.均勻分布X
~
U(a,
b)·
均勻分布的分布函數(shù)為:均勻分布與指數(shù)分布b
a0,x
aF
(
x
)a
x
b
x
a
,1,
xb1f
(
x
),
a
x
bb
a其它0,1.均勻分布如果只保留整數(shù),舍入誤差均勻分布應(yīng)用很廣范,如:·四舍五入的舍入誤差服從均勻分布.服從均勻分布U(–0.5,0.5).·假定班車(chē)每隔a分鐘發(fā)出一輛,乘客隨機(jī)到達(dá)車(chē)站,候車(chē)時(shí)間服從區(qū)間均勻分布(0,a).……均勻分布與指數(shù)分布1.均勻分布P{10
<
X
<
15}
+
P{25
<
X
<
30}均勻分布與指數(shù)分布7:0
07:157:1072:2:57:3
05【例1】某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起,每15分鐘來(lái)一班車(chē),如果乘客在7:00到7:30之間隨機(jī)到達(dá)此站,試求他候車(chē)時(shí)間少于5分鐘的概率.解:設(shè)X為乘客到車(chē)站的時(shí)間(單位:分鐘),則
X
~
U(0,
30).1
/
30,
0
x
300,
其它f
(
x
)5候車(chē)不超過(guò)5分鐘的時(shí)間段dx
dx25
3010
301
1153031.2.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X
~
Exp(
).均勻分布與指數(shù)分布10,(
0)x
0f
(
x
)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe
,
x
02.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X
~
Exp(
).指數(shù)分布常用作各種“壽命”分布的近似分布均勻分布與指數(shù)分布10,(
0)x
0f
(
x
)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe
,
x
02.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X
~
Exp(
).例如:電子元器件的壽命;隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間;……均勻分布與指數(shù)分布10,(
0)x
0f
(
x
)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe
,
x
02.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為
的指數(shù)分布,
記為X
~
Exp(
).·
指數(shù)分布的分布函數(shù)為均勻分布與指數(shù)分布F
(
x
)x-f
(t
)dt0x
1etdt,
x0t
x-
e,x00,x00,x001(
0)0,x
0f
(
x
)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe
,
x
02.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為
的指數(shù)分布,
記為X
~
Exp(
).均勻分布與指數(shù)分布F
(
x
)-指數(shù)分布的分布函數(shù)為t
x0,0e0e,
x
0x
010,x,e
x
0x
01(
0)0,x
0f
(
x
)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe
,
x
02.指數(shù)分布均勻分布與指數(shù)分布00F
(
x
)1
e0,
x則稱(chēng)X服從參數(shù)為
的指數(shù)分布,
記為X
~
Exp(
).指數(shù)分布的分布函數(shù)為x,
x1(
0)0,x
0f
(
x
)【定義2】如果隨機(jī)變量X概率密度為xe
,
x
0),則對(duì)任意s
>0,t
>0,2.指數(shù)分布【定理】(指數(shù)分布的無(wú)記憶性)設(shè)X
~
Exp(有
P{X
>s
+t
|
X
>s}=P{X
>t}.證:因?yàn)閄
~
Exp(θ),所以,當(dāng)x
>0時(shí),P{X
>x}=1–F(x)=1–(1–e
–x/θ
)=e
–x/θ,于是均勻分布與指數(shù)分布P
{
X
s
t
|
X
s
}P{(
X
s
t
) (
X
s)}
P{
X
s
t}eP{
X
s}(
s
t
)
/es
/P{
X
s}e
t
/
P{
X
t
}.F
(
x
)1
e0,x
/
x,
0x
0.2.指數(shù)分布方法一:X的概率密度為均勻分布與指數(shù)分布e
1x
0
,x
00.368.
1e1e30,f
(
x
)【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間(單位:分鐘)服從θ
=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.解:以X表示對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間,則X
~
Exp(3),x3
,(1)P{
X
3}31e3x33x3dx-e2.指數(shù)分布方法一:X的概率密度為均勻分布與指數(shù)分布20.233.x
0
,x
0e
1
-
ef
(
x
)【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間(單位:分鐘)服從θ
=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.解:以X表示對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間,則X
~
Exp(3),x3
,(2)
P{3
X6}
6
1
e3
33
1e1e30,x
6x3
dx
-e
32.指數(shù)分布【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間(單位:分鐘)服從θ
=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.解:以X表示對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間,方法二:X的分布函數(shù)均勻分布與指數(shù)分布,0F
(
x
)1
e0,x
/
3x3x,x
0(1)
P
{
X3}1
F
(3)1
(1
e3
/
3)
e10.368.2.指數(shù)分布【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間(單位:分鐘)服從θ
=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.解:以X表示對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間,方法二:X的分布函數(shù)均勻分布與指數(shù)分布F
(6)6
/
3)
(1
e3
/
3)(2)
P{3
X
6}e1e2F
(3)
(1
e0.233.,0F
(
x
)1
e0,x
/
3x3x,x
02.指數(shù)分布【例2】假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間(單位:分鐘)服從θ
=3的指數(shù)分布.如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī),求(1)你至少等候3分鐘的概率;(2)你等候時(shí)間在3分鐘至6分鐘之間的概率.如果你到達(dá)時(shí)取款機(jī)正在為一名顧客服務(wù),同時(shí)沒(méi)有其他人在排隊(duì)等候,上面答案變嗎?·
答案不變.均勻分布與指數(shù)分布微課堂均勻分布與指數(shù)分布小結(jié)常用連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布:X
~
U(a,b),10,f
(
x
)x
0.f
(
x
)
1e0,1,x0,x
00.x0,F(xiàn)
(
x
)x
/
,1
exbb,
a
xb
a其它.0,b,
F
(
x
)
1,指數(shù)分布:
X
~
Exp(
), >
0,x
axa
ax,a
x
b微課堂設(shè)隨機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè),求至少有兩次觀(guān)測(cè)值大于3的概率.設(shè)某人電話(huà)通話(huà)時(shí)間X(分鐘)服從指數(shù)分布,概率密度為求她的通話(huà)時(shí)間在10
~
20分鐘之間的概率;若她已打了10分鐘,求她繼續(xù)通話(huà)超過(guò)15分鐘的概率.均勻分布與指數(shù)分布練習(xí)題(
0)0,x
0.0,f
(
x
)151
e
x
/
15
,x2021年5月教學(xué)設(shè)計(jì):主講老師:徐雅靜
汪遠(yuǎn)征
徐雅靜
徐姍
鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì):制作單位:制作時(shí)間:均勻分布與指數(shù)分布練習(xí)題解答1.設(shè)隨機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè),求至少有兩次觀(guān)測(cè)值大于3的概率解:因?yàn)殡S機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布,所以X的概率密度為均勻分布與指數(shù)分布事件“對(duì)X的觀(guān)測(cè)值大于03,”的概其概其率它率它為
1
,2x
5f
(
x
)33P{
X
3}1
dx2
.53
3練習(xí)題解答1.設(shè)隨機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè),求至少有兩次觀(guān)測(cè)值大于3的概率解:事件“對(duì)X的觀(guān)測(cè)值大于3”的概率為于是均勻分布與指數(shù)分布P{
X
3}3
2設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀(guān)測(cè)中觀(guān)測(cè)值大于3的次數(shù),則2Y
~
B
3,
,3223P{Y
2}C
(3323C
3()3
)2
1320.27練習(xí)題解答2.設(shè)某人電話(huà)通話(huà)時(shí)間X(分鐘)服從指數(shù)分布,概率密度為求她的通話(huà)時(shí)間在10
~
20分鐘之間的概率若她已打了10分鐘,求她繼續(xù)通話(huà)超過(guò)15分鐘的概率.均勻分布與指數(shù)分布x
0.0,f
(
x
)
1
e
x
/
15
,x150,20
110
15e4e3
.解:(1)P{10
X
20}x15
dx2e3115(2)P
{
X
25
|
X
10}P{
X
151}5
ee1
.x15
dx第22講
正態(tài)分布徐雅靜主講微課堂你可能聽(tīng)說(shuō)過(guò)聲名顯赫的正態(tài)分布,也可能見(jiàn)過(guò)這些優(yōu)美漂亮的鐘型曲線(xiàn).你知道它的來(lái)歷、知道它超凡的應(yīng)用嗎?正態(tài)分布前言1222(
x
)2N
(
,2),f
(
x
)
e1.正態(tài)分布的背景·大約18世紀(jì)中葉, 英國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛和法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯發(fā)現(xiàn)
了一個(gè)近似公式——棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理:·
這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.正態(tài)分布拉普拉斯
(Laplace,1749—1827)法國(guó)數(shù)
學(xué)家和物理學(xué)家,法國(guó)科學(xué)院院士。棣莫弗(De
Moivre,1667-1754)法國(guó)–英國(guó)數(shù)學(xué)家。1et2xd2
txn
p(1
p)
2nlnlim
Pnnp1.正態(tài)分布的背景正態(tài)分布·十九世紀(jì)前葉,高斯(Gass,德國(guó))對(duì)正態(tài)分布加以推廣,對(duì)于正態(tài)分布?xì)v史地位的確立起到了決定性作用.·
正態(tài)分布通常稱(chēng)為高斯分布.高斯(Gauss,1777-1855)德國(guó)著名數(shù)學(xué)
家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一,并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng),以他名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè),屬數(shù)學(xué)家中之最。1.正態(tài)分布的背景·十九世紀(jì)前葉,高斯(Gass,德國(guó))對(duì)正態(tài)分布加以推廣,對(duì)于正態(tài)分布?xì)v史地位的確立起到了決定性作用.·
正態(tài)分布通常稱(chēng)為高斯分布.正態(tài)分布德國(guó)10馬克紙幣德國(guó)鋼镚1.正態(tài)分布的背景自然界和人類(lèi)社會(huì)中很多現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來(lái)研究.人的生理特征尺寸和指標(biāo);如:身高、體重、血壓、血小板…正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸;如:長(zhǎng)度、重量、高度…正態(tài)分布1.正態(tài)分布的背景自然界和人類(lèi)社會(huì)中很多現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來(lái)研究.·
各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):如:某市一晝夜的耗電量、企業(yè)生產(chǎn)的各種數(shù)據(jù)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各種指標(biāo)…正態(tài)分布1.正態(tài)分布的背景自然界和人類(lèi)社會(huì)中很多現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來(lái)研究.·
各種誤差:如:機(jī)械零件加工的誤差、各種測(cè)量誤差...·
試驗(yàn)次數(shù)很大的二項(xiàng)分布、泊松分布;…..正態(tài)分布2.正態(tài)分布的定義【定義】如果隨機(jī)變量
X
的概率密度為2
(>0)為參數(shù),則稱(chēng)X
服從參數(shù)為,
2的正態(tài)分布其中
,記為X N(μ,
σ2).正態(tài)分布N(μ,σ2)的分布函數(shù)為正態(tài)分布1xF
(
x
)
e
22(
t
)2dt
.2exf
(
x
)2(
x2)2,12優(yōu)美漂亮的鐘形曲線(xiàn)不好積分,軟件計(jì)算最美數(shù)學(xué)學(xué)公式2.正態(tài)分布的定義f(x)的圖形具有以下的特點(diǎn):曲線(xiàn)關(guān)于x
=
對(duì)稱(chēng).當(dāng)x
=
時(shí)f(x)取到最大值(3)
x
=是曲線(xiàn)的拐點(diǎn),曲線(xiàn)以x軸為漸進(jìn)線(xiàn).正態(tài)分布12f
(
)
.,x2f
(
x
)
e22(
x
)122.正態(tài)分布的定義f(x)的圖形具有以下的性質(zhì):(4)
如果固定 ,
改變
的值,
則圖形沿著x軸平移,
其形狀不改變.稱(chēng)
為位置參數(shù).正態(tài)分布,
x2f
(
x
)
e22(
x
)122.正態(tài)分布的定義f(x)的圖形具有以下的性質(zhì):的值,
則 愈小,
圖形變得愈尖,
X
落在
附(5)
如果固定 ,
改變的概率越大.稱(chēng)
為尺度參數(shù).正態(tài)分布,
x2f
(
x
)
e22(
x
)12x3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)于X N(μ,
σ2),
當(dāng)
μ
=
0,
σ
=
1時(shí),正態(tài)分布1(x)和
(x)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作X
~
N(0,1).N(0,1)的概率密度和分布函數(shù)分別記為x
22
,(
x
)
e21x
t
2e
2
dt
.Φ(
x
)2,x2f
(
x
)
e22(
x)12y3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)于X N(μ,
σ2),
當(dāng)
μ
=
0,
σ
=
1時(shí),稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作X
~
N(0,1).N(0,
1)的概率密度和分布函數(shù)分別記為
(x)和
(x)易知 (–x)
=
1
–
(x).(x)的值可查表,或調(diào)用相關(guān)軟件的函數(shù)計(jì)算.正態(tài)分布12(
x
)1xx
2
t
22
,e
2
dt
.e Φ(
x
)2-
xx,x2f
(
x
)
e22(
x)12(
x
)1-
(x)=?1-P{X≤x}(-x)=P{X≤
?x-}x}-3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布對(duì)于X
N(1,
0),x
22(
x
)1
2
,ext
2e
2
dt
.Φ(
x
)12易知 (–x)
=
1
–
(x).(x)的值可查表,或調(diào)用相關(guān)軟件的函數(shù)計(jì)算.對(duì)任意x
≥0,有P{|
X
|
x
}P
{
x
Xx
}
Φ(
x
)
Φ(
x
)2Φ(
x
)3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布易知
(–x)
=
1
–
(x).(x)的值可查表,或調(diào)用相關(guān)軟件的函數(shù)計(jì)算.·
對(duì)任意x
≥0,有P{|
X
|
x
} 2Φ(
x
)
1.對(duì)于X
N(1,
0),x
22(
x
)1
2
,ext
2e
2
dt
.Φ(
x
)12正態(tài)分布=NORM.S.DIST(-1.52,TRUE)P{|
X
|
x
} 2Φ(
x
)
11
Φ(1.52)0.0643.1(3)
P{|
X
|
<
1.52}
=
2Φ(1.52)2
0.9357
10.8714.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布【例1】設(shè)X
~
N(0,1),計(jì)算下列概=N率調(diào)O.RM用M用.ESx.cDeIlS函T(數(shù)1.52,TRUE)P{X
<1.52}=Φ(1.52)0.9357.調(diào)用Excel函數(shù)(2)
P{X
<
–1.52}
=
Φ(1.52)微課堂小結(jié)正態(tài)分布N
(0,1)微課堂設(shè)X
~
N(0,1),查表或用Excel等軟件計(jì)算下列概率.并解釋這些概率說(shuō)明什么.P{X
<
0}P{|
X
|
<
1}P{|
X
|
<
2}P{|
X
|
<
3}正態(tài)分布練習(xí)題2021年5月教學(xué)設(shè)計(jì):主講老師:徐雅靜
汪遠(yuǎn)征
徐雅靜
徐姍
鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì):制作單位:制作時(shí)間:正態(tài)分布第23講隨機(jī)變量函數(shù)的分布徐雅靜主講微課堂應(yīng)用中,常常會(huì)用到隨機(jī)變量函數(shù).顯然,隨機(jī)變量的函數(shù)也是隨機(jī)變量,也需要研究它的概率分布.例如:隨機(jī)變量函數(shù)的分布前言國(guó)際上流行的標(biāo)準(zhǔn)體重W
=H
–105,等等已知隨機(jī)變量X的概率分布,如何求其函數(shù)Y
=g(X)的概率分布?分子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能E2
1
mV
2
;1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,X的分布律為則Y
=g(X)也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.如何求出X的函數(shù)Y
=g(X)的分布律呢?容易得到Y(jié)
=……g(X)
g(x1
)
g(x2
)pi
p1
p2…png(xn
)…Xx1x2…xn…pip1p2…pn…1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布如何求出X的函數(shù)Y
=g(X)的概率分布?容易得到當(dāng)g(x1),g(x2),…,g(xn)中有某些值相等時(shí),把它們分別合并,并應(yīng)的概率相加即得Y的分布律.隨機(jī)變量函數(shù)的分布Y
=
g(X)g(x1
)
g(x2
)…g(xn
)…pip1
p2…pn…1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例1】已知隨機(jī)變量X的分布律如下:求Y
=X
2
+X,Z
=X
2
+1的分布律.解:由X的分布律可得如下表格隨機(jī)變量函數(shù)的分布X
–
2
–
1
0
1
2pi
0.2
0.1 0.1
0.3
0.3pi0.20.10.10.30.3X–
2–
1012Y=X2
+
X20026Z=X2
+
1521251.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例1】已知隨機(jī)變量X的分布律如下,求Y
=X
2
+X,Z
=X
2
+1的分布律.解:由X的分布律可得如下表格由此表格,得Y,Z的分布律分別為隨機(jī)變量函數(shù)的分布pi0.20.10.10.30.3X–
2–
1012Y=X2
+
X20026Z=X2
+
152125隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,已知X的概率分布.如何求出X的函數(shù)Y
=g(X)的概率分布?分布函數(shù)法:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y);FY(y)
=
P{Y
y}
P{
g
(
X
)
y
}P{
X
D}這里{X
D}是與{g(X)
y}
等價(jià)的事件;(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo),得到Y(jié)的概率密度f(wàn)Y(y).隨機(jī)變量函數(shù)的分布3).(
y
1
)
d
(
y
1
)1
yf
133
dy3X
(FX
((
y1
)/
3).(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度FY
(
yX)fY
(
y
)f0
x
1,0
2
x其,他.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)FY
(
y
)
P{Y
y
}P
{
3
X
1
y
}P{
X
(
y
1)
/
3}2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
fX
(x
)Y
=3X
–1,求Y的概率密度.隨機(jī)變量函數(shù)的分布)1y
13fY
(
y
)X33其他.f
(3
0,3
,0y
11,3().1
)
d
(
y1
)
1
yf
133
dy31
2(
y
1)Xf
(
y
)Y
YF
(
yX)(
y將Xf的f的概率密度代入得0
x
1,0
2
x其,他.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
fX
(x
)Y
=3X
–1,求Y的概率密度.隨機(jī)變量函數(shù)的分布f
(
y
)1f
()Y3X33其他.3
30,011,1
2(
y
1)
,
yy
1,1
y
2,其他.2(
y
1)90,0
x
1,0
2
x其,他.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度,將X的概率密度代入得2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
fX
(x
)Y
=3X
–1,求Y的概率密度.2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x
<+∞,求Y
=X2的概率密度.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)所以隨機(jī)變量函數(shù)的分布當(dāng)y
≤0時(shí),FY(y)=0,當(dāng)y
>0時(shí),FY
(y)P{y
}FX
(
y
)
FX
(
y
)y
0,y
0.F
(
y
)F
(
y
)y
XFX
(
y
),0XYF
Y(
y
)
P{Y
y}
P{
X
2
y}.(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x
<+∞,求Y
=X2的概率密度.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)0,0.F
(
y
)F
(
y
)
FX
(
y
)y,X0
yY0,(
F
y(
0,y
0.X(F
(
y
)X
)y
))
,Yf
(
y
)2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x
<+∞,求Y
=X2的概率密度.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的分布1y
0.[
f
(
y
)
(
y
)]y,
0,2
yf
0,XXYf
(
y
)0,(
F
y(
0,y
0.X(F
(
y
)X
)y
))
,2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x
<+∞,求Y
=X2的概率密度.解:(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)(2)FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的分布y
0,y
0.fY(
y
)y2
0,
1
[
fX(
y
)
X
f(
y
)],2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布【例3】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x),-∞<x
<+∞,求Y
=X2的概率密度.隨機(jī)變量函數(shù)的分布0,y
0,y
0.(
y
)],(
y
)21
y
[
fX
(
y
)
X
ffY稱(chēng)Y
服從自由度為1的
2分布1x
22
,2若X
~
N(0,1),其概率密度為(x
)
e可得Y
=X
2的概率密度為1y
0,y
0.1yy
2
e
2
,Yf
(
y
)
20微課堂已知X的概率分布,求其函數(shù)Y
=g(X)的概率分布:1.離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布小結(jié)…p22.連續(xù)型(分布函數(shù)法)已知fX(y)或FX(y)求分布函數(shù)FY
(y);對(duì)y求導(dǎo)得概率密度X
f
(
x)型Xx1
x2
…pxn
…p
p
…Y
=
g(iX)pg(x1
)
21
…pign(n(px
)
…
…
p
g(x……)12
n
nn微課堂2.設(shè)X~N(0,1),求Y
=eX
及的概率密度.2.設(shè)X~U(0,1),試求Y
=1–X的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的分布練習(xí)題1.已知離散隨機(jī)變量的分布律為X1-2
-0
1
31/15試求Y
=pi2
與
1/5
1/6
1/51X1/30Y
=
|X|的分布律.2021年5月教學(xué)設(shè)計(jì):主講老師:徐雅靜
汪遠(yuǎn)征
徐雅靜
徐姍
鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計(jì):制作單位:制作時(shí)間:隨機(jī)變量函數(shù)的分布第24講正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化徐雅靜主講微課堂如何求正態(tài)分布的函數(shù)Y
=g(X)的概率分布?分布函數(shù)法:求Y的分布函數(shù)FY(y)=P{Y
≤y};FY(y)對(duì)y求導(dǎo),得到Y(jié)的概率密度f(wàn)Y(y).正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化回顧正態(tài)分布X N(μ,
σ2),
概率密度為x1f
(
x
)
e22(
x)2,21.正態(tài)分布的重要性質(zhì))2),用分布函數(shù)法,可以證明正態(tài)分布的重要性質(zhì).【定理】設(shè)X
~
N(μ,σ2),則(1)
Y
=
aX
+
b
~
N
(a
+
b,
(a其中a( 0),
b為常數(shù);正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化(2)
YX
~
N
(0,1).1.正態(tài)分布的重要性質(zhì)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化用分布函數(shù)法證明正態(tài)分布的重要性質(zhì).【定理】設(shè)X
~
N(μ,σ2),則+
b,
(a)2),其中a((1)Y
=aX
+b
~
N
(a0),b為常數(shù);證(1)
①求Y的分布函數(shù)FY(y)aF(
yb
),FY
(
y
)當(dāng)a
>0時(shí),FYP{Y
y
}
P{aX
b
y}.(
y
)
P{
X
a
y
bX
}(
y
)aP{
XX
yab
}1
F(yb
),Y當(dāng)a
<0時(shí),F1.正態(tài)分布的重要性質(zhì)+
b,
(a)2),其中a(【定理】設(shè)X
~
N(μ,σ2),則(1)Y
=aX
+b
~
N
(a0),b為常數(shù);證(1)
①求Y的分布函數(shù)FY(y)②FY(y)對(duì)y求導(dǎo)得Y的概率密度正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化X當(dāng)a
>
0時(shí),
FY
(
y
)
F(
yb
),Y當(dāng)a
<0時(shí),F
(y
)1
FXaay
(
)b,Yb
),X1X1(
yf
a1y
b當(dāng)a
>0時(shí),f
(y
)a當(dāng)a
<0時(shí),fY
(y
)a
faX
().Yf
(
y)1|
a
|f
X
(
a
).y
b1
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