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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2022-2023學(xué)年河北省秦皇島市新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1.復(fù)數(shù)z=21?i,則z=A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,若a=4,b=43,A=π6,則角BA.π3 B.π3或2π3 C.2π3.已知數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值為2,方差為3,那么數(shù)據(jù)2x1+3,2x2A.2,3 B.7,6 C.7,12 D.4,124.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2,b=3,c=4,設(shè)BC邊上的高為?,則?=(
)A.152 B.112 C.5.下列條件中可以證明A、B、C三點(diǎn)共線的是(
)A.AM+MB=2BC B.OA=xOB+yOC,x+y=1
6.若sin(α+π6)=1A.13 B.?13 C.77.如圖所示,點(diǎn)E為△ABC的邊AC的中點(diǎn),F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),則AF=(
)A.13BA+23BC
B.48.已知sin(α+β)=23,sinαcosβ=12A.79 B.19 C.?19.已知甲、乙兩個(gè)水果店在“十一黃金周”七天的水果銷售量統(tǒng)計(jì)如圖所示.則下列說(shuō)法正確的是(
)A.甲組數(shù)據(jù)的極差大于乙組數(shù)據(jù)的極差 B.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)
C.甲組數(shù)據(jù)的方差大于乙組數(shù)據(jù)的方差 D.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)10.下列函數(shù)中,最小正周期是π,且在區(qū)間(π2,π)上單調(diào)遞增的是A.y=tanx B.y=cos2x C.y=sin2x D.y=|sinx|11.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,下列說(shuō)法正確的是(
)A.若sin2A?sinAsinC+sin2C=sin2B,則B=π3
B.若a:b:c=2:3:4,則△ABC是鈍角三角形
C.若12.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是(
)A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π12,0)中心對(duì)稱
B.f(x)在區(qū)間[?π3,π6]上單調(diào)遞增
C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=2π3對(duì)稱
13.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=i(1+3i),則|z|=______.14.已知向量a=(3,1),b?=(0,1),c=(k,3),若15.小張、小李參加滿分為50分(只取整數(shù))的崗上技能測(cè)試,小張的六次成績(jī)從小到大分別為27,32,39,m,46,47;李的六次成績(jī)從小到大分別為30,31,34,41,42,45.只知小張的六次成績(jī)的第50百分位數(shù)等于小李的六次成績(jī)的第80百分位數(shù),則m=______.16.如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,以C為圓心,1為半徑的圓分別交CD,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),當(dāng)點(diǎn)P在劣弧EF上運(yùn)動(dòng)時(shí),BP?DP的最小值為______.
17.已知平面向量a,b,a?=(1,3),|b|=1,且a?與b?的夾角為π3.
(1)求a??b及18.在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,且asinB=?3bcosA.
(1)求角A的大??;
(2)若b=4,△ABC的面積S=2319.為了調(diào)查某市市民對(duì)出行的滿意程度,研究人員隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查,并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如圖所示的頻率分布直方圖,其中a=4b.
(1)求a、b的值;
(2)求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);
(3)若按照分層抽樣從[50,60),[60,70)中隨機(jī)抽取8人,應(yīng)如何抽取?20.小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度,在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB,高為15(3?1)m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,請(qǐng)你幫助小明估算索菲亞教堂的高度.
21.已知向量m=(sinx,1),n=(3cosx,12cos2x),函數(shù)f(x)=m?n.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值及相應(yīng)自變量的取值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為22.在△ABC中,三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,已知a=4,cosB+cosAcosCsinBcosC=a3b.
(1)若c=23,求sinA;
(2)若AB答案和解析1.【答案】B
【解析】解:∵復(fù)數(shù)z=21?i=2(1+i)(1?i)(1+i)=2(1+i)2=1+i.
∴z2.【答案】B
【解析】解:∵a<b,∴A<B,
由正弦定理得asinA=?bsinB得412=43sinB,
得sinB=323.【答案】C
【解析】解:因?yàn)閿?shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值為2,
所以x1+x2+…+x1010=2,
所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為:(2x1+3)+(2x2+3)+…+(24.【答案】C
【解析】【分析】
本題主要考查三角形高的計(jì)算,根據(jù)余弦定理求出cosB是解決本題的關(guān)鍵.
根據(jù)余弦定理先求出cosB,然后求出sinB,結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.
【解答】
解:∵a=2,b=3,c=4,
∴cosB=a2+c2?b22ac=4+16?92×2×4=11165.【答案】AC
【解析】解:對(duì)于A,AM+MB=AB,
因?yàn)锳M+MB=2BC,所以AB=2BC,所以AB/?/BC,
又因B為公共端點(diǎn),所以A、B、C三點(diǎn)共線;
對(duì)于B,當(dāng)x=0時(shí),OA=OC,此時(shí)OB的方向無(wú)法確定,
所以此時(shí)不能證明A、B、C三點(diǎn)共線;
對(duì)于C,由A(1,0),B(0,?1),C(2,1),得AB=(?1,?1),BC=(2,2)=?2AB,
所以AB/?/BC,
又因B為公共端點(diǎn),所以A、B、C三點(diǎn)共線;
對(duì)于D,由AM+MB+MC=0,得AB=?MC,
所以AB//MC,且6.【答案】B
【解析】解:cos(α+2π3)=cos[π2+(π6+α)]=?7.【答案】C
【解析】解:AF=AE+EF=12AC+23EB=12AC+23(AB?8.【答案】A
【解析】解:因?yàn)閟in(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα=23,sinαcosβ=12,
所以cosαsinβ=16,sin(α?β)=sinαcosβ?sinβcosα=12?16=9.【答案】BD
【解析】解:由折線圖得:
對(duì)于A,甲組數(shù)據(jù)的極差小于乙組數(shù)據(jù)的極差,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,甲組數(shù)據(jù)除第二天數(shù)據(jù)低于乙組數(shù)據(jù),
其它天數(shù)數(shù)據(jù)都高于乙組數(shù)據(jù),可知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù),故B正確;
對(duì)于C,甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定,甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù),故D正確.
故選:BD.
根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合極差的概念、平均數(shù)的求法、方差的求法及意義、中位數(shù)的概念,即可判斷各項(xiàng)的正誤.
本題考查命題真假的判斷,考查極差、平均數(shù)、方差、中位數(shù)、折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
10.【答案】AB
【解析】解:A,y=tanx,最小正周期為π,在區(qū)間(π2,π)上單調(diào)遞增,即A正確;
B,y=cos2x,最小正周期為2π2=π,且在(π2,π)上單調(diào)遞增,即B正確;
C,y=sin2x,最小正周期為2π2=π,且在(π2,π)上不具有單調(diào)性,即C錯(cuò)誤;
D,y=|sinx|,最小正周期為π,且在(π211.【答案】AB
【解析】解:對(duì)A選項(xiàng),∵sin2A?sinAsinC+sin2C=sin2B,
∴根據(jù)正弦定理可得a2?ac+c2=b2,
∴a2+c2?b2=ac,
∴cosB=a2+c2?b22ac=12,又B∈(0,π),
∴B=π3,∴A選項(xiàng)正確;
對(duì)B選項(xiàng),∵a:b:c=2:3:4,
∴易得cosC=22+32?422×2×3=?14<0,又C∈(0,π),
∴C為鈍角,∴△ABC是鈍角三角形,∴B選項(xiàng)正確;
對(duì)C12.【答案】BC
【解析】解:由圖知,A=2,
T4=2π3?5π12=π4,即T=π=2πω,解得ω=2,
則f(x)=2sin(2x+φ),
又2×2π3+φ=3π2,則φ=π6,f(x)=2sin(2x+π6),
∵2×π12+π6=π3,而sinπ3≠0,∴f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(π12,0)中心對(duì)稱,A錯(cuò)誤;
x∈[?π3,π6]時(shí),2x+π6∈[?π2,π2],而正弦函數(shù)在[?π2,π2]上單調(diào)遞增,則f(x)在區(qū)間[?π3,π6]上單調(diào)遞增,B正確;
∵2×2π3+π6=3π2,而13.【答案】10【解析】解:∵z=i(1+3i)=?3+i,
∴|z|=(?3)2+12=1014.【答案】1
【解析】解:根據(jù)題意,向量a=(3,1),b?=(0,1),c=(k,3),
則a+2b=(3,3),
若a+2b15.【答案】45
【解析】解:6×50%=3,
則小張的六次成績(jī)的第50百分位數(shù)為39+m2,
6×80%=4.8,
則小李的六次成績(jī)的第80百分位數(shù)為42,
故39+m2=42,解得m=45.
故答案為:45.
根據(jù)已知條件,結(jié)合百分位數(shù)的定義,即可求解.16.【答案】1?2【解析】解:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
由題意可得D(?2,0),B(0,?2),
又點(diǎn)P在劣弧EF上運(yùn)動(dòng),
則P(cosθ,sinθ),(θ∈[π,3π2]),
則BP?DP=(cosθ+2,sinθ)?(cosθ,sinθ+2)=1+2(sinθ+cosθ)=1+22sin(θ+π4),
又θ∈[π,3π2],
則θ+π4∈[5π4,7π4],
17.【答案】解:(1)由a?=(1,3),得|a|=1+3=2,
∴a?b=|a|?|b|cosπ3=1;
|【解析】(1)求出|a|=2,根據(jù)數(shù)量積的定義及向量模的計(jì)算即可得答案;
(2)根據(jù)向量垂直,則數(shù)量積為0,列式計(jì)算,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律,即得答案.
18.【答案】解:(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得:
a=2RsinA,b=2RsinB代入式子asinB=?3bcosA,
化簡(jiǎn)得,sinAsinB=?3sinBcosA,
∵sinB≠0,
∴sinA=?3cosA,即tanA=?3,
∵A∈(0,π),∴A=2π3.
【解析】(1)利用正弦定理化邊為角即可求解;
(2)根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求解.
本題主要考查解三角形,正余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
19.【答案】解:(1)由題意得(0.008+a+0.035+0.027+b)×10=1,所以a+b=0.03,
又a=4b,所以a=0.024,b=0.006.
(2)平均數(shù)為55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06=74.9,
眾數(shù)為70+802=75,
中位數(shù)為70+0.5?0.08?0.240.035≈75.14.
(3)根據(jù)頻率分布直方圖可知[50,60)的頻數(shù)有0.008×10×1000=80,[60,70)的頻數(shù)有0.024×10×1000=240,
所以按照分層抽樣從[50,60)應(yīng)抽取80×880+240=2【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的長(zhǎng)方形的總面積為1,再結(jié)合a=4b即可求解;
(2)根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義即可求解;
(3)按照分層抽樣的定義抽取即可.
本題考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、分層抽樣等統(tǒng)計(jì)知識(shí)的定義,屬于中檔題.
20.【答案】解:sin15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°=22×32?22×12=6?24,
由題意知:∠CAM=45°,∠AMC=105°,
所以∠ACM=30°,
在Rt△ABM中,【解析】根據(jù)題意結(jié)合正弦定理即可運(yùn)算求解.
本題考查解三角形問(wèn)題,正弦定理的應(yīng)用,化歸轉(zhuǎn)化思想,屬中檔題.
21.【答案】解:(1)由題知,f(x)=m?n=3sinxcosx+12cos2x=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6),
所以當(dāng)2x+π6=π2+2kπ,k∈Z,
即x=π6+kπ,k∈Z時(shí),f(x)最大,且f(x)最大值為1;
(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+π6),
則f(A)=sin(2A+π6)=12,
解得A=kπ,k∈Z或【解析】(1)利用向量坐標(biāo)運(yùn)算,二倍角公式和輔助角公式表示出f(x),即可求出其最大值以及相應(yīng)自變量的取值;
(2)結(jié)合(1)中的f(x),求出A=π3,再利用余弦定理和基本不等式變形即可求出結(jié)果.
22.【答案】解:(1)∵a=4,cosB+cosAcosCsinBcosC=43b,
由正弦定
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