淺析解析幾何中的角度求法

精品文檔-下載后可編輯淺析解析幾何中的角度求法例1：已經(jīng)知圓C：（x+4）+y=4和點(diǎn)A（-2，0），圓D的圓心在y軸上移動(dòng)，且恒與圓C外切，設(shè)圓D與y軸相交于M，N兩點(diǎn)，問：∠MAN是否為定值？若為定值，求出∠MAN的弧度數(shù)；若不是，說明理由。

分析：判斷角是否為定值，只需判斷該角所對(duì)應(yīng)的某一種三角函數(shù)值是否為定值即可，采用余弦定理可求得余弦值，采用到角公式可求得正切值，均可進(jìn)行判斷。以下對(duì)兩種解法進(jìn)行比較區(qū)別。

解：設(shè)圓D的圓心為（0，b），半徑為r，則M（0，b+r），N（0，b-r），由于圓C與圓D外切，

2+r=，即b-r=4r-12。

方法一（利用余弦定理）：AM=，AN=，MN=2r。在MAN中，利用余弦定理得：cos∠MAN===，將b-r=4r-12代入得：cos∠MAN==，所以∠MAN=。

方法二（利用到角公式）：tan∠MAN===，

將b-r=4r-12代入得tan∠MAN=，所以∠MAN=。

例2：橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，P為橢圓左準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問：當(dāng)P處于何位置時(shí)，∠FPF取得最大值？并求出此最大值。

分析：求角的最值問題時(shí)同樣需要借助該角的某一三角函數(shù)值，同時(shí)還需結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，采用余弦定理應(yīng)用余弦函數(shù)單調(diào)性、采用到角公式應(yīng)用正切函數(shù)的單調(diào)性均可解決問題。

解：依題意可得F（-1，0），F(xiàn)（1，0），左準(zhǔn)線為x=-4，設(shè)P（-4，y），y＞0。

方法一（利用余弦定理）：|PF|=，|PF|=，|FF|=2。在PFF中，由余弦定理得：cos∠FPF===

==≥。

當(dāng)cos∠FPF=時(shí)，

∠FPF取得最大值，為arccos，此時(shí)y=，即P（-4，），由對(duì)稱性知處于x軸下方的P的坐標(biāo)為（-4，-），所以當(dāng)P（-4，±）時(shí)，∠FPF取得最大值為arccos。

方法二（利用到角公式）：k=-，k=-，

tan∠FPF===≤=。

，當(dāng)y=即y=時(shí)，∠FPF取得最大值，為arctan，此時(shí)P（-4，），再由對(duì)稱性知處于x軸下方的P的坐標(biāo)為（-4，-），所以當(dāng)P（-4，±）時(shí)，∠FPF取得最大值為arctan。

注：以上兩題對(duì)利用余弦定理及到角公式兩種解法進(jìn)行比較，我們可以發(fā)現(xiàn)到角公式不僅減少了運(yùn)算量，同時(shí)還降低了計(jì)算過程的技巧性難度。

例3：如圖，直線+=1與拋物線y=2px（p＞0）交于M（x，y），N（x，y）兩點(diǎn)，求當(dāng)a=2p時(shí)，∠MON的大小。

分析：由于此題涉及的未知數(shù)較多，利用余弦定理必須求得三邊的長(zhǎng)度，過程繁瑣復(fù)雜，計(jì)算量大，采用到角公式則可減少計(jì)算量，過程簡(jiǎn)單。

解：把M（x，y），N（x，y）代入直線方程得：+=1，+=1，

所以x=a-y，x=a-y，再聯(lián)立+=1y=2px可得y+y-2ap=0，

y+y=-，yy=-2ap，

kk===

=，把a(bǔ)=2p代入得原式=-1，所以∠MON=。

例4：橢圓+=1（a＞0，b＞0）的離心率為，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，C為下頂點(diǎn)，直線CF與AB交于D點(diǎn)，求∠BDC的大小。

分析：若采用余弦定理，則在求BD，CD的長(zhǎng)度時(shí)就相當(dāng)麻煩，而用到角公式時(shí)借助A點(diǎn)就可求得k，k，顯得簡(jiǎn)單。

解：e==，所以a=2c，

又a=b+c，

b=c，

tan∠BDC==。

將a=2c，b=c代入得：tan∠BDC=-3。

∠BDC∈（0，π），∠BDC=π-arctan3。

綜合上面幾例我們可以看出，在求解與角度有關(guān)的問題時(shí)，雖然兩種方法均可以解決，可無論是解題的計(jì)算過程復(fù)雜程度，還是技巧能力要求方面，到角公式均有其優(yōu)越性。

解析幾何因其考慮問題方法多樣，計(jì)算過程較為繁瑣的特點(diǎn)一直以來都是學(xué)生較為畏懼的一部分內(nèi)容，而作為高考的必考題型，掌握相對(duì)