淺析解析幾何中的角度求法

精品文檔-下載后可編輯淺析解析幾何中的角度求法例1：已經知圓C：（x+4）+y=4和點A（-2，0），圓D的圓心在y軸上移動，且恒與圓C外切，設圓D與y軸相交于M，N兩點，問：∠MAN是否為定值？若為定值，求出∠MAN的弧度數(shù)；若不是，說明理由。

分析：判斷角是否為定值，只需判斷該角所對應的某一種三角函數(shù)值是否為定值即可，采用余弦定理可求得余弦值，采用到角公式可求得正切值，均可進行判斷。以下對兩種解法進行比較區(qū)別。

解：設圓D的圓心為（0，b），半徑為r，則M（0，b+r），N（0，b-r），由于圓C與圓D外切，

2+r=，即b-r=4r-12。

方法一（利用余弦定理）：AM=，AN=，MN=2r。在MAN中，利用余弦定理得：cos∠MAN===，將b-r=4r-12代入得：cos∠MAN==，所以∠MAN=。

方法二（利用到角公式）：tan∠MAN===，

將b-r=4r-12代入得tan∠MAN=，所以∠MAN=。

例2：橢圓+=1的左右焦點分別為F，F(xiàn)，P為橢圓左準線上的一個動點，問：當P處于何位置時，∠FPF取得最大值？并求出此最大值。

分析：求角的最值問題時同樣需要借助該角的某一三角函數(shù)值，同時還需結合三角函數(shù)的單調性進行判斷，采用余弦定理應用余弦函數(shù)單調性、采用到角公式應用正切函數(shù)的單調性均可解決問題。

解：依題意可得F（-1，0），F(xiàn)（1，0），左準線為x=-4，設P（-4，y），y＞0。

方法一（利用余弦定理）：|PF|=，|PF|=，|FF|=2。在PFF中，由余弦定理得：cos∠FPF===

==≥。

當cos∠FPF=時，

∠FPF取得最大值，為arccos，此時y=，即P（-4，），由對稱性知處于x軸下方的P的坐標為（-4，-），所以當P（-4，±）時，∠FPF取得最大值為arccos。

方法二（利用到角公式）：k=-，k=-，

tan∠FPF===≤=。

，當y=即y=時，∠FPF取得最大值，為arctan，此時P（-4，），再由對稱性知處于x軸下方的P的坐標為（-4，-），所以當P（-4，±）時，∠FPF取得最大值為arctan。

注：以上兩題對利用余弦定理及到角公式兩種解法進行比較，我們可以發(fā)現(xiàn)到角公式不僅減少了運算量，同時還降低了計算過程的技巧性難度。

例3：如圖，直線+=1與拋物線y=2px（p＞0）交于M（x，y），N（x，y）兩點，求當a=2p時，∠MON的大小。

分析：由于此題涉及的未知數(shù)較多，利用余弦定理必須求得三邊的長度，過程繁瑣復雜，計算量大，采用到角公式則可減少計算量，過程簡單。

解：把M（x，y），N（x，y）代入直線方程得：+=1，+=1，

所以x=a-y，x=a-y，再聯(lián)立+=1y=2px可得y+y-2ap=0，

y+y=-，yy=-2ap，

kk===

=，把a=2p代入得原式=-1，所以∠MON=。

例4：橢圓+=1（a＞0，b＞0）的離心率為，F(xiàn)為左焦點，A為左頂點，B為上頂點，C為下頂點，直線CF與AB交于D點，求∠BDC的大小。

分析：若采用余弦定理，則在求BD，CD的長度時就相當麻煩，而用到角公式時借助A點就可求得k，k，顯得簡單。

解：e==，所以a=2c，

又a=b+c，

b=c，

tan∠BDC==。

將a=2c，b=c代入得：tan∠BDC=-3。

∠BDC∈（0，π），∠BDC=π-arctan3。

綜合上面幾例我們可以看出，在求解與角度有關的問題時，雖然兩種方法均可以解決，可無論是解題的計算過程復雜程度，還是技巧能力要求方面，到角公式均有其優(yōu)越性。

解析幾何因其考慮問題方法多樣，計算過程較為繁瑣的特點一直以來都是學生較為畏懼的一部分內容，而作為高考的必考題型，掌握相對