浙江省臺州市牧嶼中學高三數(shù)學文下學期摸底試題含解析

浙江省臺州市牧嶼中學高三數(shù)學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．參考答案：A考點：球內接多面體；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：壓軸題．分析：先確定點S到面ABC的距離，再求棱錐的體積即可．解答：解：∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴△ABC的外接圓的半徑∵點O到面ABC的距離，SC為球O的直徑∴點S到面ABC的距離為∴棱錐的體積為故選A．點評：本題考查棱錐的體積，考查球內角多面體，解題的關鍵是確定點S到面ABC的距離．2.已知點P（1，﹣），則它的極坐標是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】點的極坐標和直角坐標的互化．【專題】計算題．【分析】根據(jù)點的直角坐標求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得θ，從而求得點P的極坐標．【解答】解：∵點P的直角坐標為，∴ρ==2．再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，結合所給的選項，可取θ=﹣，即點P的極坐標為（2，），故選C．【點評】本題主要考查把點的直角坐標化為極坐標的方法，屬于基礎題．3.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）2，當-1≤x＜3時，f（x）=x..則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（

）A.

335

B.

338

C.

1678

D.

2012參考答案：【知識點】函數(shù)的周期性；函數(shù)的值．B1

B4菁【答案解析】B

解析：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6為周期的函數(shù)，又當﹣1≤x＜3時，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；當﹣3≤x＜﹣1時，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故選B．【思路點撥】由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6為周期的函數(shù)，可根據(jù)題目信息分別求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．4.已知拋物線上有一條長為8的動弦AB，則弦AB的中點到x軸的最短距離為（）A.2 B..3 C.4 D.5參考答案：B【分析】根據(jù)題意求得準線方程，分別過A作于A1，過B作于B1設弦AB的中點為M，過M作于M1,則可表示出,根據(jù)的范圍和拋物線定義可得.【詳解】由題意得拋物線的準線l的方程為，過A作于A1，過B作于B1，設弦AB的中點為M，過M作于M1，則，設拋物線的焦點為F，則，即（當且僅當A，B，F(xiàn)三點共線時等號成立），所以，解得，即孩AB的中點到x軸的最短距離為.選.故答案B.【點睛】本題主要考查了拋物線的基本性質．關鍵是對拋物線的定義的靈活利用．

5.已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，過且垂直于

軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由題設條件可知△ABC為等腰三角形，只要∠AF2B為鈍角即可，所以有

，即，所以，解得，選C.6.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入（萬元）8.28.610.011.311.9支出（萬元）6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為（

）A．11.4萬元

B．11.8萬元

C．12.0萬元

D．12.2萬元參考答案：B試題分析：因為過點，所以，因此當時，，選B.考點：回歸直線方程7.如圖，已知圓，四

邊形ABCD為圓M的內接正方形，E、F

分別為邊AB，AD的中點，當正方形ABCD繞圓心M轉動時，的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：B8.某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有(

)種.A.150

B.300

C.600

D.900參考答案：C略9.不等式的解集為A，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B不等式的解集為，若，則在恒成立，令當時，即時，在遞減，所以在遞減，，當0<時，即0<時，令得所以時，所以存在使在因為所以在上，不合題意舍掉當時，在遞增，所以在遞增，所以不合題意舍掉，綜上故選B

10.若關于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三個實根x1，x2，x3，且滿足x1＜x2＜x3，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＞ B．﹣＜a＜1 C．a(chǎn)＜﹣1 D．a(chǎn)＞﹣1參考答案：B【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點與方程根的關系．【專題】函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的綜合應用．【分析】由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，構造函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣x，利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的極值，即可得到結論．【解答】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，設f（x）=x3﹣x2﹣x，則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=3x2﹣2x﹣1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此時函數(shù)單調遞增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此時函數(shù)單調遞減，即函數(shù)在x=1時，取得極小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，在x=﹣時，函數(shù)取得極大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三個實根x1，x2，x3，則﹣1＜﹣a＜，即﹣＜a＜1，故選：B．【點評】本題主要考查導數(shù)的應用，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值是解決本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點P在圓x2+y2=1上運動，則P到直線3x+4y+15=0的距離的最小值為．參考答案：2略12.若x＞0，則的最小值為．參考答案：4略13.在平面幾何里，已知的兩邊互相垂直，且,則邊上的高；現(xiàn)在把結論類比到空間：三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直，平面,且,則點到平面的距離

．參考答案：14.將自然數(shù)按如圖排列，其中處于從左到右第m列從下到上第n行的數(shù)記為A（m，n），如A（3，1）=4，A（4，2）=12，則A（1，n）=；A（10，10）=．參考答案：，181。考點： 歸納推理．專題： 計算題；推理和證明．分析： 由題意，A（1，n）=1+2+…+n=，再求出A（1，10），即可求出A（10，10）．解答： 解：由題意，A（1，n）=1+2+…+n=，∴A（1，10）==55，∴A（10，10）=55+10+11+…+18=181，故答案為：，181．點評： 本題考查推理知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．15.已知,,則_____.參考答案：：,,所以.16.設函數(shù)若不存在，使得與同時成立，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：17.已知三棱錐S﹣ABC的體積為，底面△ABC是邊長為1的正三角形，三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，棱SC是球O的直徑，則球O的表面積為．參考答案：4π【考點】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質即可求出OO1，進而求出底面ABC上的高SD，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關于r的方程，即可求出r，從而解決問題．【解答】設球心為O，球的半徑r．過ABC三點的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，作SD⊥平面ABC交CO1的延長線與D．，∴OO1=，∴高SD=2OO1，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱錐S﹣ABC=，∴R=1．則球O的表面積為4π，故答案為：4π．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M、N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1、C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點縱坐標從大到小依次為A、B、C、D．（1）設e=，求|BC|與|AD|的比值；（2）若存在直線l，使得BO∥AN，求橢圓離心率e的取值范圍．

參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由題意設橢圓方程，聯(lián)立即可求得A和B坐標，當時，，分別用yA、yB表示A、B的縱坐標，；（2）分類，當t=0時的l不符合題意，當t≠0時，當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，根據(jù)斜率公式求得t，由，即可橢圓離心率e的取值范圍．【解答】解：（1）因為C1、C2的離心率相同，故依題意可設．設直線l：x=t（|t|＜a）分別和C1、C2的方程聯(lián)立，求得．當時，，分別用yA、yB表示A、B的縱坐標，∴．|BC|與|AD|的比值；（2）t=0時的l不符合題意，t≠0時，BO∥AN，當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即：，解得．因為|t|＜a，又0＜e＜1，所以，解得．∴當時，存在直線l，使得BO∥AN，即離心率e的取值范圍是，∴橢圓離心率e的取值范圍．【點評】本題考查橢圓離心率的應用，考查直線與橢圓的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題．19.如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=，AD=1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．(I)求三棱錐E—PAD的體積；(II)試問當點E在BC的何處時，有EF//平面PAC；(1lI)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PEAF．參考答案：考點：幾何體的體積，垂直關系，平行關系.

略20.（本小題滿分14分）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為此圓弧的中點）和線段MN構成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上．設OC與MN所成的角為．（1）用分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4:3．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．參考答案：解：（1）連結PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以OH=10．過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK=KN=10．令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）．當θ∈[θ0，）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是[，1）．答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）．

（2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．設f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），則．令，得θ=，當θ∈（θ0，）時，，所以f（θ）為增函數(shù)；當θ∈（，）時，，所以f（θ）為減函數(shù)，因此，當θ=時，f（θ）取到最大值．答：當θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

21.在直角坐標系xOy中，已知向量a=（-1，2），又點A（8，0），B（ksinθ,t)(其中0≤θ≤,t∈R).(1)若⊥a,且|

|=||，求向量;(2)若向量與向量a共線，當k>4，且tsinθ取最大值為4時，求·.參考答案：22.（本小題滿