投影變換旋轉(zhuǎn)法

§３旋轉(zhuǎn)法

如圖所示，空間點(diǎn)A繞直線OO旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A稱為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，直線OO稱為旋轉(zhuǎn)軸。自A點(diǎn)向OO軸引垂線，其垂足O稱旋轉(zhuǎn)中心，AO稱旋轉(zhuǎn)半徑，A點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，以AO為半徑的圓周，稱為軌跡圓，軌跡圓所在的平面與旋轉(zhuǎn)軸垂直。

按旋轉(zhuǎn)軸與投影面的相對(duì)位置不同，旋轉(zhuǎn)法分為：1)繞垂直于投影面的軸線旋轉(zhuǎn)，簡(jiǎn)稱繞垂直軸旋轉(zhuǎn)。2)繞平行于投影面的軸線旋轉(zhuǎn)，簡(jiǎn)稱繞平行軸旋轉(zhuǎn)。3)繞一般位置的軸線旋轉(zhuǎn)。3.1點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)

如圖所示，點(diǎn)A繞垂直于V面的OO軸(正垂軸)旋轉(zhuǎn)，其V投影反映軌跡圓實(shí)形，而H投影為過A點(diǎn)且平行于X軸的直線段，其長(zhǎng)度等于軌跡圓的直徑。

如圖所示，點(diǎn)A繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)，其H投影反映軌跡圓實(shí)形，即H投影ａ沿圓周旋轉(zhuǎn)θ角到ａ1，其V投影ａ′沿投影軸的平行線移動(dòng)至ａ1’，ａ′ａ1’∥ＯＸ。

由上可知點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律：當(dāng)點(diǎn)繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)在與旋轉(zhuǎn)軸垂直的那個(gè)投影面上的投影作圓周運(yùn)動(dòng)，而另一投影則沿與旋轉(zhuǎn)軸垂直的直線移動(dòng)。

3.2直線的旋轉(zhuǎn)

直線的旋轉(zhuǎn)，僅需使屬于該直線的任意兩點(diǎn)遵循繞同一軸、沿相同方向、轉(zhuǎn)同一角度的規(guī)則作旋轉(zhuǎn)，然后，把旋轉(zhuǎn)后的兩個(gè)點(diǎn)連接起來。如圖所示，直線AB繞鉛垂軸OO按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角，也就是使A、B兩點(diǎn)分別繞OO軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，按照點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律求得ａ1b1、ａ1’b1’。

1)直線繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線在旋轉(zhuǎn)軸所垂直的投影面上的投影長(zhǎng)度不變。2)直線對(duì)旋轉(zhuǎn)軸所垂直的那個(gè)投影面的傾角不變。3)直線在旋轉(zhuǎn)軸所平行的投影面上的投影長(zhǎng)度及對(duì)該投影面的傾角都改變。直線旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)

3.2.1把一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線

直線繞垂直軸旋轉(zhuǎn)一次，就能改變直線對(duì)一個(gè)投影面的傾角，因此，用繞垂直軸旋轉(zhuǎn)的方法，求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角時(shí)，只要旋轉(zhuǎn)一次即可實(shí)現(xiàn)。

［例1］已知一般位置直線AB的兩投影，試求直線AB的實(shí)長(zhǎng)和α角

分析：欲求一般位置直線AB的實(shí)長(zhǎng)和α角，需把直線AB繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)成正平線。為了作圖簡(jiǎn)便，使該軸過直線的一個(gè)端點(diǎn)，如A點(diǎn)，那么，只旋轉(zhuǎn)B點(diǎn)即可。

作圖步驟：1）過點(diǎn)A作鉛垂軸OO：ａ′∈ｏ′ｏ′，ｏ′ｏ′⊥ＯＸ2）求新投影ｂ1、b’1：將水平投影ｂ以ｏ（ｏ與ａ重合）為圓心，ａｂ為半徑旋轉(zhuǎn)至ｂ1，ａｂ1∥ＯＸ，b1’沿OX軸平行線平移至b’。3）連接ａ’ｂ1’、ａｂ1；ａ′ｂ1’反映AB的實(shí)長(zhǎng)。4）確定α角：ａ′ｂ1’與OX軸的夾角α即為所求。［例2］已知一般位置直線AB的兩投影，試求直線AB的β角

分析：欲求一般位置直線的β角，需把直線AB繞正垂軸旋轉(zhuǎn)成水平線。

3.2.2把投影面平行線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線

某投影面的平行線繞該投影面的垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，始終保持與該投影面平行，而能改變對(duì)另一投影面的傾角。所以投影面平行線可經(jīng)一次旋轉(zhuǎn)為投影面垂直線。

［例3］試將正平線AB旋轉(zhuǎn)成為鉛垂線

分析：正平線和鉛垂線都平行于V面，因此，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線對(duì)V面的傾角應(yīng)保持不變，只改變它對(duì)H面的傾角，所以應(yīng)取正垂線為旋轉(zhuǎn)軸。

作圖步驟：1）過點(diǎn)A作正垂軸OO：ａ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ；ａ′與ｏ′重合2）以O(shè)O為軸，將AB旋轉(zhuǎn)成鉛垂線：即將正面投影ｂ′沿圓周（以ａ′為圓心，以ａ′ｂ′為半徑）旋轉(zhuǎn)至ｂ1’。3）連接ｂ1’ａ′（ｂ1′ａ′⊥ＯＸ），水平投影ａ與ｂ1重合。3.3平面的旋轉(zhuǎn)

平面的旋轉(zhuǎn)是通過旋轉(zhuǎn)該平面所含不共直線的三個(gè)點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)的，旋轉(zhuǎn)時(shí)，必須遵循同軸、同方向、同角度的規(guī)則。

平面的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：1)平面繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，平面在旋轉(zhuǎn)軸所垂直的投影面上的投影，其形狀和大小都不變。2)平面對(duì)旋轉(zhuǎn)軸所垂直的那個(gè)投影面的傾角不變。3)平面的另一個(gè)投影，其形狀和大小發(fā)生改變，并且，該平面對(duì)旋轉(zhuǎn)軸所不垂直的那個(gè)投影面的傾角也改變。3.3.1把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面

只要將平面內(nèi)的一條投影面平行線旋轉(zhuǎn)成垂直于某投影面，則平面就垂直于該投影面。

［例1］試求一般位置平面ABC對(duì)V面的傾角β

分析：欲求一般位置平面ABC對(duì)V面的傾角β，須將平面ABC旋轉(zhuǎn)成為鉛垂面，為此，應(yīng)在平面內(nèi)取一條正平線（如CD），只要將正平線CD繞正垂軸(含C點(diǎn))旋轉(zhuǎn)成為鉛垂線，那么平面ABC就旋轉(zhuǎn)成為鉛垂面。

作圖步驟：1）含點(diǎn)Ｃ作正垂軸ＯＯ：C∈OO，ｏｏ⊥ＯＸ；ｃ′與ｏ′重合2）作平面ABC內(nèi)的正平線CD：ｃｄ∥ＯＸ，并求出ｃ′ｄ′。3）求平面的新投影：將ｃ′ｄ′旋轉(zhuǎn)至ｃ’ｄ1’，ｃ’ｄ1’⊥ＯＸ，ａ、ｂ旋轉(zhuǎn)相同的角度，平面△ＡＢＣ就成為鉛垂面，它的水平投影ａ1ｃｂ1積聚成一直線。正面投影ａ′、ｂ′依三同原則旋轉(zhuǎn)至ａ1’、ｂ1’位置。4）求β角：ａ1ｃｂ1與OX軸的夾角β即為所求。［例2］試求一般位置平面ABC對(duì)H面的傾角α

分析：欲求一般位置平面ABC對(duì)H面的傾角α，需把平面ABC旋轉(zhuǎn)成為正垂面。為此應(yīng)在平面內(nèi)取一條水平線CD，只要將水平線CD繞鉛垂軸（含C點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)成為正垂線，那么，平面ABC就旋轉(zhuǎn)成為正垂面。

3.3.2把投影面垂直面旋轉(zhuǎn)成為投影面平行面

投影面垂直面繞同一投影面的垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，可改變垂直面對(duì)另一投影面的傾角。所以只要經(jīng)一次旋轉(zhuǎn)，就能使垂直面旋轉(zhuǎn)成為另一投影面的平行面。

［例3］試將正垂面ABC旋轉(zhuǎn)成為水平面

作圖步驟：1）作β＝４５°的水平線ＭＮ1：作ｍｎ1，使ｍｎ1與