精算學(xué)原理二

精算學(xué)原理

第二篇壽險精算數(shù)學(xué)第一章生存分布與生命表§1.1死亡年齡的概率1.1.1連續(xù)型死亡年齡的有關(guān)概率對于一個剛出生的嬰兒來說，其死亡年齡是一個連續(xù)型隨機變量，用表示這個隨機變量的分布函數(shù)，則（1.1.1）這里，通常假設(shè)假設(shè)隨機變量的分布函數(shù)是可導(dǎo)的，且用表示隨機變量的密度函數(shù)，則或（1.1.2)這時，其均值與方差分別是1.1.2離散型死亡年齡的有關(guān)概率若將新生嬰兒的死亡年齡取整數(shù)值（即取周歲數(shù)）并用字母表示，則，那么，離散型隨機變量的概率分布律可表述為死亡年齡（K）0123…….概率（q）…….其中，這時，其分布函數(shù)、均值和方差分別是§1.2生存分布1.2.1生存函數(shù)假設(shè)某一新生嬰兒群體的死亡年齡的分布函數(shù)為，則稱為生存函數(shù)，即（1.2.1）由于通常假設(shè)，則從分布函數(shù)的性質(zhì)，我們可得出生存函數(shù)的一些直觀性的性質(zhì)：①②③是單調(diào)遞減的函數(shù)是一個右連續(xù)的函數(shù)。關(guān)于生存函數(shù)的一般圖形X年齡0人的生命是有限的，通常人的壽險不會超過某一特定年齡。也就是說，存在一個正數(shù)，當時，當，這時，稱正數(shù)為極限年齡。

例如，某一群體人的生存服從生存函數(shù)新生嬰兒在年齡歲與歲之間死亡的概率是類似地，新生嬰兒在歲時仍活著的條件下，于年齡歲與歲之間死亡的條件概率是條件概率是類似地，新生嬰兒在歲時仍活著的條件下，于年齡歲與歲之間死亡的條件概率是新生嬰兒在歲活著的條件下，未來仍生存的時間（活生存期）是，那么稱為新生嬰兒在歲時的未來壽險，簡稱的未來壽命（或未來余命），并用符號表示。即新生嬰兒在時仍生存的條件下，有1.2.2連續(xù)型未來壽命的生存分布用概率來反映生存者的未來壽命是精算學(xué)中的一項基本內(nèi)容。我們用精算函數(shù)符號記

符號可解釋為（x）將在t年內(nèi)死亡的概率。從概率論的角度來說，是關(guān)于隨機變量的分布函數(shù)；從精算學(xué)的角度來說，是關(guān)于的生存函數(shù)。特別地，當年齡時，，即0歲新生兒的未來壽命就是剛出生嬰兒的死亡年齡，且（（x）將在1年內(nèi)死亡）將至少活到x+1歲）（x）生存t年后，在歲與歲之間死亡這一事件的概率，可用精算函數(shù)符號表示，即特別地，當，符號可簡寫成與生存函數(shù)之間的關(guān)系，，由于（x）的未來壽命，隱含著新生嬰兒在x歲時仍生存這一前提條件，所以事件與是同一事件，從而隨機變量的分布函數(shù)為1.2.3離散型未來壽命的生存分布設(shè)K（x）表示（x）未來壽命的周年數(shù)或（x）在未來生存的整年數(shù)，即則隨機變量的概率分布律又可表示為由于連續(xù)型變量，有故練習1、設(shè)生存函數(shù)，試計算（1）年齡為0歲的嬰兒在16歲到36歲之間的死亡概率；（2）年齡在16歲的人將生存到36歲的概率。2.設(shè)X的分布函數(shù)為，試計算：（1）年齡為20歲的人在40歲之前的死亡概率；（2）年齡為20歲的人在30歲到40歲之間的死亡概率。3、設(shè)生存函數(shù)，試計算（1）分布函數(shù)與密度函數(shù)；（2）（3）（4）與及4、若年齡為20歲的人再67.83歲時死亡，試求T(20)與K(20)1.3死力死力的定義及性質(zhì)所謂死力，是指在到達歲的人當中，在此一瞬間里死亡的人所占的比率。死力也稱瞬間死亡率或死亡密度，用表示則對上式從到進行積分，得或特別地，當時，上式轉(zhuǎn)化為從而隨機變量的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別是和的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別是和例1.3.1設(shè)死力試求：（1）隨機變量的分布函數(shù)與密度函數(shù)；（2）隨機變量的分布函數(shù)與密度函數(shù)；（3）（4）解：死力具有如下性質(zhì)：（1）當時，（2）對于任意，都有（3）是死力，則0.010.020.030.04104080年齡練習1、設(shè)是生存函數(shù)，函數(shù)，且試求：（1）生存函數(shù)及極限年齡；（2）（3）年齡為0歲的嬰兒在歲到歲之間的死亡概率。2、設(shè)生存函數(shù)，試求及3、設(shè)，試求、、1.5生命表1.5.1生命表函數(shù)1、生存人數(shù)（）與死亡人數(shù)（）表示考慮的零歲新生嬰兒的初始數(shù)目表示數(shù)目為個零歲新生嬰兒能活到歲的期望人數(shù)當時，簡寫成，則表示個零歲新生嬰兒在歲與歲之間死亡的期望人數(shù)的的數(shù)值表，如下表1.5.2、生命表的傳統(tǒng)形式將生命表定義為對應(yīng)于某些表1.5.1xS(x)01.0000010.99723520.99538130.99407340.9931131090.000011100.00000例1.5.1由上表計算：（1）0歲的人在3歲前死亡的概率；（2）1歲的人生存到4歲的概率。解：表1.5.2（表格生存模型）010000049931119972429953810913994071100生命表的傳統(tǒng)形式與表1.5.2有以下兩方面的差異：（1）該模型不使用的概率值，通常將的概率值乘以100000，使之成為整數(shù)（2）取=100000，令稱=100000為生命表基數(shù)，就表示歲仍然生存的人數(shù)。定義如下函數(shù)顯然，表示所研究的群體在歲到歲之間死亡的人數(shù)。并且于是還可得式中，表示歲的人生存到歲的條件生存概率。當時，有例1.5.1根據(jù)表1.5.1，求（1）在2歲與4歲之間的死亡人數(shù)；（2）1歲的人生存到4歲的概率。解：1.2.1由推導(dǎo)的其他函數(shù)（1）死力由于

可解釋為由初始人群規(guī)模遞減到歲的人群規(guī)模的遞減因子通過一個簡單的變量代換，式（2.1.8）可寫成平均余命生命表中年齡達到歲的人數(shù)，其以后生存的平均年數(shù)稱為歲時的完全平均余命，記作，則1.4.6隨機變量與的方差公式故同理，對于隨機變量的方差，我們有類似的公式例設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為計算：與解：依題意，則故運用式（1.4.23），可得練習1、設(shè)生存函數(shù)試計算和

2、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為試計算與方差3、設(shè)死力，計算：第二章躉繳純保費§2.1離散型的人壽保險模型所謂離散型的人壽保險模型，是指以離散型未來壽命為基礎(chǔ)，保險金是在被保險人死亡所處的保單年度末支付而建立的各種人壽保險的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)被保險人在投保（或簽單）時的年齡為歲，其未來壽命整年數(shù)為，則其概率分布律為假設(shè)金額在處給付，給付數(shù)額為元，記為在處給付1個單位在簽單時的利息貼現(xiàn)系數(shù)，為給付保險金額在簽單時的現(xiàn)值。則期望值現(xiàn)值隨機變量的期望值稱為躉繳純保費。躉繳意味著一次性繳付而不是按其他方式分期繳付。2.1.1死亡保險死亡保險分為年定期保險和終身人壽保險年定期保險，亦稱為年期死亡保險。假設(shè)簽約離散型的保險金額為1個單位的年定期保險，則現(xiàn)值函數(shù)是其躉繳純保費用符號表示記其中，稱為換算符號在式（2.1.2）中，用替代，可得其中，稱為利力故例2.1.1設(shè)年齡為35歲的人投保離散型的保險金額為5000元的25年定期保險。求該保單的躉繳純保費。解：根據(jù)式（2.1.3），則故該保單的躉繳純保費特別地，當時，式（2.1.3）轉(zhuǎn)化為在人壽保險中，純保費通常稱為自然純保費，并用表示，即對于投保離散型的保額為1個單位的終身壽險，其躉繳純保費（用符號表示）可在（2.1.2）中令而得若在式（2.1.5）的兩邊乘以，則得表明：保單簽發(fā)時個年齡為歲的被保險人所支付的繳純保費組成的基金總額等于按死亡預(yù)定流出資金的現(xiàn)值總額例2.1.2現(xiàn)有100個年齡為30歲的人，建立一筆基金，用于在他們每個成員死亡時給付其制定人1000原（給付時間是在死亡年度末）。經(jīng)商定：這筆基金總額是按1990-1993年中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)混合表）和年利率6%計算躉繳純保費的。若這個基金實際運作的結(jié)果是：在第二年與第五年分別有1人死亡，第一年的年利率是6%，第二年和第三年的年利率是6.5%，第四年與第五年的年利率是7%。試問每個成員需要繳納多少資金，并分析在第五年度末該基金按計劃之初決定的期望值與實際基金之間的差異。每個成員需要繳納的資金是則100個成員所建立的基金總額是在第五年度末該項基金按計劃之初決定的期望值是用表示第年度末的基金值，則實際結(jié)果是所以，兩者之間的差額是這一結(jié)果反映了五年間的投資與死亡的經(jīng)驗，一方面反映了實際投資收益超過了預(yù)期利率6%的年收益，而另一方面也反映了實際死亡人數(shù)2大大高于死亡人數(shù)0.4326練習：設(shè)年齡為35歲的人，購買一張保險金額為1000元的5年定期壽險保單，保險金額于被保險人死亡所處的保險年度末支付。試按附錄中的生命表及年利率，計算：（1）該保單的繳純保費；（2）該保單自35歲至39歲各年齡的自然保費之總額；（3）（1）與（2）的結(jié)果何以不同？2.1.2兩全保險n年兩全保險是有n年期生存保險和n年定期保險組成的，假設(shè)投保離散型的保額為1個單位的兩全保險，則其有關(guān)函數(shù)是則其躉繳純保費（用符號表示）是運用換算函數(shù)替代，可得例2.1.3設(shè)年齡為25歲的人購買離散型的保額為5000元的30年兩全保險，試求改保單的躉繳純保費（利率）解：根據(jù)式（2.1.11）和題意，則故該保單的繳純保費是記表示n年期生存保險的繳純保費，則練習：已知，年利率試計算：（1）（2）2.1.3延期壽險假設(shè)（x）投保離散型的保額為1個單位的年延期n年定期保險，則其有關(guān)函數(shù)是則其繳純保費記作或則用換算函數(shù)替代，可得設(shè)現(xiàn)年30歲的人，購買一張保險金額為4500元的30年定期壽險保單，保險金額于死亡者所處的保單年度末支付，試用附錄Ⅱ的換算表，計算該保單的躉繳純保費。現(xiàn)年45歲的人，繳付躉繳純保費5000元，購買一張20年定期壽險保單，保險金額于死亡者所處的保單年度末支付，試求該保單的保險金額。現(xiàn)年36歲的人，購買了一張離散型的終身壽險保單，并規(guī)定：若被保險人在10年