求離心率的取值范圍策略

求離心率的取值范圍策略圓錐曲線共同的性質(zhì)：圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線L（F不在定直線L上）的距離之比是一個(gè)常數(shù)e。橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率。求橢圓與雙曲線離心率的范圍是圓錐曲線這一章的重點(diǎn)題型。下面從幾個(gè)方面淺談如何確定橢圓、雙曲線離心率e的范圍。利用曲線的范圍，建立不等關(guān)系例1．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使，求離心率e的取值范圍。解：設(shè)

因?yàn)?，所以將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得例2．雙曲線在右支上存在與右焦點(diǎn)、左準(zhǔn)線長(zhǎng)等距離的點(diǎn)，求離心率e的取值范圍。解：設(shè)在雙曲線右支上，它到右焦點(diǎn)的距離等于它到左準(zhǔn)線的距離，即=二、利用曲線的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造不等關(guān)系例3．直線L過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，斜率k=2。若L與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上，求雙曲線離心率的取值范圍。解：如圖1，若，則L與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；若，則L與雙曲線的兩交點(diǎn)均在右支上，

例4.已知F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)。若△ABF2是銳角三角形，求雙曲線的離心率的取值范圍。解：如圖2，因?yàn)椤鰽BF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是銳角即可，即∠AF2F1<45°。則三、利用定義及圓錐曲線共同的性質(zhì)，尋求不等關(guān)系例5．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，求此雙曲線的離心率e的取值范圍。

解：因?yàn)镻在右支上，所以又

得

所以

又所以例6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，P到右準(zhǔn)線的距離為d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比數(shù)列，求雙曲線的離心率的取值范圍。解：由題意得因?yàn)?，所以，從?/p>

，。又因?yàn)镻在右支上，所以。

。。四、利用判斷式確定不等關(guān)系例7．例1的解法一：解：由橢圓定義知例8．設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點(diǎn)A、B。求雙曲線的離心率e的取值范圍。解：通過(guò)以上各例可以看出，在解決“求圓錐曲線離心率的取值范圍”的問(wèn)題，若能根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、c的不等式，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式進(jìn)行求解。練習(xí)1、設(shè)橢圓（a>b>0）的兩焦點(diǎn)為F1、F2，長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為A、B，若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使∠AQB=120o，求橢圓離心率e的取值范圍。（<1）.2、設(shè)橢圓（a>b>0）的兩焦點(diǎn)為F1、F2，若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使∠F1QF2=120o，求橢圓離心率e的取值范圍。()3、橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求橢圓的離心率e的取值范圍。（）。4、（2000年全國(guó)高考題）已知梯形ABCD中，，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍。2建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，設(shè)其中是梯形的高，由定比分點(diǎn)公式得，把C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程得，，兩式整理得，從而建立函數(shù)關(guān)系式，由已知得，，解得。5、已知雙曲線上存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求雙曲線離心率的取值范圍。PQ中點(diǎn)為M