3.4 曲線與方程（練習） - 解析版

33．4曲線與方程（練習）解析第頁3．4曲線與方程（練習）解析一．單項選擇題：（每小題5分，共6小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．下列各對方程中，表示相同曲線的一組是A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】選項A，表示直線，不表示直線，所以表示不同曲線；選項B，表示點，表示兩條直線和，所以表示不同曲線；選項C，與都表示雙曲線；選項D，中，而中，表示不同曲線．故選C．2．已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍，則動點的軌跡方程為A．B．C．D．【答案】B【解析】因為點到直線的距離是到點的距離的2倍，所以，化簡得，．即動點的軌跡方程為．故選B．3．設定點、，動點滿足條件，則點的軌跡是A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．不存在【答案】C【解析】因為，所以，所以，當時，點的軌跡為線段；當時，點的軌跡為橢圓．故選C．4．“點在曲線上”是“點到兩坐標軸距離相等”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由“點在曲線上”一定能推出“點到兩坐標軸距離相等”，故充分性成立；當“點M到兩坐標軸距離相等”時，點不一定在曲線上，此時，點也可能在曲線上，故必要性不成立．故選A．5．已知，為兩個不相等的非零實數(shù)，則方程與所表示的曲線可能是ABCD【答案】C【解析】由題意知：，當時，為焦點在軸上的橢圓，是過一、二、三象限的直線，故選項A不可能；當時，為焦點在軸上的橢圓，是過一、二、三象限的直線，故選項B不可能；當時，為焦點在軸上的雙曲線，是過一、三、四象限的直線，故選項C可能；當時，為焦點在軸上的雙曲線，是過一、二、四象限的直線，故選項D不可能；故選C．6．平面內到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，，，點滿足．設點的軌跡為，則下列結論正確的是A．軌跡的方程為B．在上到直線的距離為點有三個C．在上存在點，使得D．在軸上存在異于，的兩點，，使得【答案】D【解析】設，則，化簡得，，所以選項A錯誤；圓心到直線的距離，又半徑為，所以在上到直線的距離為點有兩個，所以選項B錯誤；若在上存在點，使得，可設，則，化簡得，與聯(lián)立，方程組無解，故不存在點，所以選項C錯誤；假設在軸上存在異于，的兩點，，使得，設，，則，化簡得，由軌跡的方程為，可得，，解得，或，（舍去），所以選項D正確．故選D．二．填空題（每小題5分，共6小題．）7．已知過平面外一點的斜線與平面所成角為，斜線交平面于點，若點與平面的距離為，則斜線段在平面上的射影所形成的圖形面積為．【答案】【解析】如圖，過點作平面的垂線，垂足為，連接，所以線段為線段在平面上的射影，為斜線與平面所成的角，則，又，所以，故射影形成的圖形為半徑為的圓面，其面積為．8．已知動圓經(jīng)過雙曲線的左焦點且與直線相切，則圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】因為動圓經(jīng)過雙曲線的左焦點，且與直線相切，所以圓心到點的距離與到直線的距離相等，均為的半徑．因此，圓心的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，所以其方程為．9．已知平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大，則動點的軌跡方程為．【答案】或【解析】設點的坐標為，則，兩邊平方并化簡，得，所以.于是動點的軌跡方程為或．10．下列關于曲線的說法正確的是_________．（填上所有正確的序號）①點在曲線上；②曲線關于直線對稱；③曲線是中心對稱圖形；④曲線圍成的區(qū)域的面積小于．【答案】①③【解析】對①，將點代入可得，故①正確；對②，替換可得，與原表達式不同，故②錯誤；對③，將替換成，替換成可得，故③正確；對④，因為，故，則，故，設為曲線上一點，故，說明在圓上或圓外，故曲線C圍成的區(qū)域的面積應大于或等于，故④錯誤．綜上所述，①③正確．三、解答題（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）11．（本小題滿分12分）設為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足．（1）求點的軌跡方程；（2）設點在直線上，且．證明：過點且垂直于的直線過的左焦點．【答案】（1）；（2）證明詳見解析．【解析】（1）設，，則，．由得．因為在上，所以，所以．因此點的軌跡為．由題意知，設，，則，由，得，即，又由（1）知，故．又，所以，.所以．又過點存在唯一直線垂直于，所以過點且垂直于的直線過的左焦點．12．（本小題滿分12分）已知平面內的動點滿足，記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設，，若過的直線與交于兩點，且直線與交于點．證明：點在定直線上．【答案】（1）；（2）證明詳見解析．【解析】（1）由題意可知：點到點與到點的距離之差為，且，所以動點的軌跡是