（新教材）【人教A版】必修一2.2.1（數(shù)學(xué)）

2.2基本不等式第1課時(shí)基本不等式1.重要不等式與基本不等式【思考】(1)基本不等式中的a,b只能是具體的某個(gè)數(shù)嗎?提示:a,b既可以是具體的某個(gè)數(shù),也可以是代數(shù)式.(2)基本不等式成立的條件“a,b>0”能省略嗎?請(qǐng)舉例說(shuō)明.提示:不能,如是不成立的.(3)若a≠b,基本不等式會(huì)怎樣?提示:若a≠b,(a,b>0)中的等號(hào)不成立.2.基本不等式與最值已知x,y都正數(shù),則(1)若x+y=s(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取得最大值

.(2)若xy=p(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值

.【思考】通過(guò)以上結(jié)論可以得出,利用基本不等式求最值要注意哪幾方面?提示:求最值時(shí),要注意三個(gè)條件,即“一正”,“二定”,“三相等”.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)不等式a2+b2≥2ab與成立的條件是相同的. (

)(2)當(dāng)a>0,b>0時(shí),a+b≥2.(

)(3)當(dāng)a>0,b>0時(shí),ab≤.(

)(4)函數(shù)y=x+的最小值是2. (

)提示:(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R;不等式成立的條件是a>0,b>0.(2)√.基本不等式的變形公式.(3)√.基本不等式的變形公式.(4)×.當(dāng)x<0時(shí),x+是負(fù)數(shù).2.下列不等式正確的是 (

)【解析】選C.因?yàn)閍2>0,所以a2+≥2成立.3.不等式a2+1≥2a中等號(hào)成立的條件是________.

【解析】當(dāng)a2+1=2a,即(a-1)2=0時(shí)“=”成立,此時(shí)a=1.答案:a=1類型一對(duì)基本不等式的理解【典例】1.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是 (

)A.a2+b2>2ab

B.a+b≥2C. D.2.不等式a+1≥2(a>0)中等號(hào)成立的條件是 (

)世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)A.a=0 B.a=C.a=1 D.a=2【思維·引】利用基本不等式時(shí)需注意使用條件.【解析】1.選D.對(duì)于A項(xiàng),當(dāng)a=b時(shí),應(yīng)有a2+b2=2ab,所以A項(xiàng)錯(cuò);對(duì)于B,C,條件ab>0,只能說(shuō)明a,b同號(hào),當(dāng)a,b都小于0時(shí),B,C錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng),因?yàn)閍b>0,所以所以.2.選C.因?yàn)閍>0,根據(jù)基本不等式,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,故a+1≥2中當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立.【內(nèi)化·悟】1.使用基本不等式的前提條件是什么?提示:a>0,b>0.2.基本不等式中,等號(hào)成立的條件是什么?提示:a=b.【類題·通】在基本不等式應(yīng)用過(guò)程中要注意“一正、二定、三相等”.一正,a,b均為正數(shù);二定,不等式一邊為定值;三相等,不等式中的等號(hào)能取到,即a=b有解.【習(xí)練·破】設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是 (

)【解析】選B.因?yàn)?<a<b,所以0<<,所以a<,同樣由0<a<b得,所以<b,由基本不等式可得,,綜上,.【加練·固】已知正數(shù)0<a<1,0<b<1,且a≠b,則a+b,2,2ab,a2+b2,其中最大的一個(gè)是 (

)A.a2+b2

B.2

C.2ab

D.a+b【解析】選D.因?yàn)閍,b∈(0,1),a≠b,所以a+b>2,a2+b2>2ab,所以,最大的只能是a2+b2與a+b之一.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,所以a-1<0,b-1<0,因此a2+b2<a+b,所以a+b最大.類型二直接利用基本不等式求最值【典例】1.設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為

(

)A.80

B.77

C.81

D.822.當(dāng)x>1時(shí),的最小值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【思維·引】根據(jù)已知條件,直接利用基本不等式求最值.【解析】1.選C.因?yàn)閤>0,y>0,所以,即xy≤ =81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí),(xy)max=81.2.令 ,因?yàn)閤-1>0,所以t≥+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=4時(shí),t取最小值為8.答案:8【內(nèi)化·悟】能利用基本不等式求最值的題目的原型是什么樣的?提示:一般條件中有“和為定值”或“積為定值”,要求的結(jié)論是“積的最大值”或“和的最小值”.【類題·通】當(dāng)a>0,b>0時(shí),1.若a+b=p(和為定值),則當(dāng)a=b時(shí),積ab有最大值,可以用基本不等式求得.2.若ab=S(積為定值),則當(dāng)a=b時(shí),和a+b有最小值,可以用基本不等式a+b≥2求得.3.不論哪種情況都要注意等號(hào)取得的條件.【習(xí)練·破】已知m,n>0,且m+n=16.求mn的最大值.【解析】因?yàn)閙,n>0且m+n=16,所以由基本不等式可得mn≤=64,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=8時(shí),mn取到最大值64.所以mn的最大值為32.【加練·固】已知a>0,b>0,則+2的最小值是(

)

A.2 B.2 C.4 D.5【解析】選C.因?yàn)閍>0,b>0,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) 即a=b=1時(shí),等號(hào)成立.類型三間接利用基本不等式求最值角度1“不正”問(wèn)題【典例】已知x<0,則3x+的最大值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【思維·引】變形為各項(xiàng)均大于0后利用基本不等式求最值.【解析】因?yàn)閤<0,所以-x>0.則 ,當(dāng)且僅當(dāng)

=-3x,即x=-2時(shí),3x+取得最大值為-12.答案:-12【內(nèi)化·悟】使用基本不等式的前提條件必須是所給的式子均大于0嗎?提示:當(dāng)所給式子均小于0,也可以利用基本不等式求最值,但是要注意不等號(hào)方向的變化.角度2“不定”問(wèn)題【典例】1.已知x>2,求x+的最小值. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)2.已知0<x<,求x(1-2x)的最大值.【思維·引】先對(duì)式子變形,湊定值后再利用基本不等式求最值.【解析】1.因?yàn)閤>2,所以x-2>0,所以=x-2+≥+2=4,所以當(dāng)且僅當(dāng)x-2=(x>2),即x=3時(shí),x+的最小值為4.2.因?yàn)?<x<,所以1-2x>0,所以x(1-2x) ,當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x,即x=時(shí),x(1-2x)的最大值為.【素養(yǎng)·探】本例考查利用基本不等式求最值,突出考查了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).若把本例1改為:已知x<,試求4x-2+的最大值.【解析】因?yàn)閤<,所以4x-5<0,5-4x>0.所以4x-5+3+=≤ =1.當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=時(shí)等號(hào)成立,又5-4x>0,所以5-4x=1,x=1.所以當(dāng)x=1時(shí),4x-2+的最大值是1.【類題·通】通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵,利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題:(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用